摘要：反证法是间接证明的一种重要方法, 本文结合数学分析这门课程, 归纳了几种可以用反证法证明的命题类型。
关键词：反证法; 类型; 命题; 证明;
1 反证法是什么
反证法是一种论证方式, 他首先假设某命题不成立, 然后推理出明显矛盾的结果, 从而下结论说原假设不成立, 原命题得证。牛顿曾说:“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲, 反证法常用证明正面证明有困难, 情况多或复杂, 而逆否命题则比较浅显的题目, 问题的解决就变得相对容易。
反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始, 得出矛顿, 达到新的否定, 可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。如果结论的情况有多种, 则必须将所有的反面情况一一驳倒, 才能推断原结论成立。
2 适合用反证法的命题
2.1 正面证明有困难的命题
例.设α是有理数, x是无理数, 证明:a+x是无理数.
反证:假设a+x是有理数, 根据有理数对四则运算的封闭性知, (a+x) -a=x是有理数, 与题意矛盾.故假设不成立, 原命题成立.
2.2 有关唯一性的命题
例2.若数列{an}收敛, 则它的极限唯一.
证明:设a, b都是an的极限.且a≠b.由极限的定义, 对任意的ε>0, 存在N, 当n>N时, 有|an-a|<ε, |an-b|<ε。则
由ε的任意性得a=b, 从而得矛盾。
2.3 有关至多…, 至少…, 不可能…等的命题.
例3. (1) 方程x3-3x+c在区间[0, 1]内不可能有两个不同的实根. (2) 方程xn+px+q当n为偶数时至多有两个不同的实根.
证明: (1) 设f (x) =x3-3x+c, 若方程x3-3x+c在区间[0, 1]内有两个不同的实根记为x1, x2。不妨设x1<x2。f (x) 在[x1, x2]上满足罗尔中值定理的条件, 从而有存在一点ξ∈[x1, x2]且f' (ξ) =0。但方程f' (x) =3x2+3在 (0, 1) 内没有实根得矛盾。 (2) 类似证明。
2.4 有关””或恒…的命题
2.5 有关否定性的命题
例5[2]若f在有限区间 (a, b) 上可导但无界, 证明:其导函数f' (x) 在区间 (a, b) 上无界。证明:若f' (x) 在区间 (a, b) 上有界, 不妨设|f' (w) |≤M。固定c∈ (a, b) , 对任意的x∈ (a, b) , 则f (x) 在[x, c]上满足罗尔中值定理的条件, 从而有至少存在ξ∈ (x, c) 使得f (x) -f (c) =f' (ξ) (c-x) , 由此得|f (x) |≤|f (c) |+|f' (ξ) (c-x) |≤|f (c) |+|M (b-a) |。
既得f (x) 在区间 (a, b) 上有界, 这与题设矛盾。
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 2008.
[2]沐定夷, 谢惠民.吉米多维奇数学分析习题集学习指引[M].北京:高等教育出版社, 2012
