电梯等待时间最短的数学模型研究

　　摘    要：　本文以电梯的停靠方案为研究对象, 通过建立优化模型, 表述电梯的调度的方案, 并由蒙特卡罗方法进行模拟, 最终得到合理的调度方案。

　　关键词：　电梯调度; 模特卡罗算法; 优化方案;

　　在日常生活中, 高楼层的住户由于等候电梯时间过久, 导致无法正常出行。现在电梯的停靠方案是不动时回到一楼, 或者停靠在上一次使用的楼层。于是, 我便想通过优化电梯不用时所停放的位置来使一天内人们等候电梯所用的总时间最少, 来达到方便人们出行的目的。[1,2]

　　1、问题假设

　　根据电梯乘坐的实际情况, 假设如下:

　　(1) 假设一栋楼一共有n层 (n=10, 20, 30...) , 每层楼有m户人居住, 每户每天平均乘坐电梯的人数是3个人, 每人平均每天乘坐2次, 则每层乘坐电梯的人数为6m;

　　(2) 假设有i个电梯 (i=1, 2, 3...) , 其中第i个电梯不动时停在第ji层 (j=1, 2, 3...) ;

　　(3) 假设楼层高度为h, 电梯运行速度为v, 则t1=h/v表示电梯通过每层楼的时间;

　　(4) 假设一部电梯一次最多容纳13人;

　　(5) 假设乘坐电梯的人数有早高峰和晚高峰, 且近似服从正态分布;

　　(6) 假设不考虑电梯开门时间对等待时间的影响;

　　(7) 假设一天中人们的出去和回来的人数相同, 那么在一楼的等待人数为其他楼层等待人数之和, 即可假设50%的人从1楼上电梯, 50%的人从其他楼层上电梯;

　　(8) 假设当等待人数超过电梯人数时, 电梯不会回到指定的停靠楼层。

　　2、模型的分析与建立

　　为达到方便人们出行本文主要是通过使一天以内所有人出行时等待所消耗的总时间最少, 而这个目标可以通过优化电梯不用时所停放的位置来实现, 比如一个电梯停在一层, 一个电梯停在15层等, 通过控制其位置来控制不同楼层的人等待电梯所消耗的时间, 找出一天内所有人等电梯的时间之和最小则为调度的最优方案。[3]

　　2.1、决策变量

　　xij表示第i个电梯停在第j层

　　2.2、目标函数

　　目标是使得整个电梯出行人的等待总时间最短, 设第j层楼等待的时间为tj, 则

　　2.3、约束条件

　　根据假设和实际情况分析, 电梯的乘坐满足以下约束:

　　(1) 由假设5, 设在第k个时刻第l层楼的等待电梯的人数是tkl, 则tkl有早高峰和晚高峰, 且近似服从正态分布。

　　(2) 当按下按钮时, 离得最近的电梯所达到需要的时间为等待时间 (电梯最近接待原则) 。

　　(3) 每次电梯容纳人数不超过13人的限制。设在第k个时刻乘坐第i个电梯的人数是tki

　　3、算法

　　对于电梯优化问题的求解, 如果穷举本文采用的是蒙特卡罗算法来求解, 其具体步骤如下:[4,5]

　　(1) 生成k个满足假设5和假设6的随机整数xk, 表示第k个时间段乘坐电梯的人数, 并将xk个人随机的分到第l楼;

　　(2) 穷举第i个电梯停靠在第j楼的情况, 计算全天整栋楼所有人等待最小的总时间;

　　(3) 比较等待的总时间, 如果小于原等待时间, 则更新最小等待时间, 否则, 不变;

　　(4) 重复 (1) - (3) 无数次, 给出总等待时间最短的电梯调度方案。

　　4、求解

　　为了求出tmin, 本文采用蒙特卡罗算法, 生成k个随机整数xk, 表示第k个时间段乘坐电梯的人数, 然后根据电梯不用时所停放的层数、每一层人数的不同、电梯行驶每一层所消耗的时间、电梯最近接待原则等影响因素, 考虑每个人等待电梯消耗的时间总和。

　　根据现实生活中的情况, 本文取h=3米, v=2米/秒, 则t1=1.5秒, 即电梯通过每层的时间是1.5秒;取i=2, n=30, 由于两个电梯是相同的, 则电梯的停靠方案共有30×30=900种;取m=5, 则每天乘坐电梯的人数是 (30-1) *3*5*2=870。

　　5  结论

　　通过上述研究我们可以得出在这种情况下把第1个电梯停在1层, 把第2个电梯停在第12层时可以使得一天当中人们出行等待电梯所消耗的时间最少, 可以达到方便出行的目的。

　　但在实际上公寓不一定为这种情况, 可能存在其他模型, 此时我们需要通过类似的方法来找出不同情况下的电梯调度优化。本文在理论上研究了等待时间最短的数学模型, 通过控制电梯的停放来达到节约时间的目的, 但在现实生活中需要对此方法进行修正和补充以达到更加符合现实情况的调度优化。[6,7]

　　本文的研究方法并不是十分地全面, 也不是十分地简洁, 有许多的方面没有考虑到, 以后的研究可以考虑不同情况下的电梯停放优化, 比如早上、中午、晚上分别是不同的停放位置, 一个电梯同时接多个人等, 用多种方法的组合以到达最大化地节约时间。

　　参考文献：

　　[1]Custom e r serv ice in an e leva to r system during uppeak., M ar ja-Liisa Siikonen, T ranspor ta tion Resea rch, 1997, 31 (2) .
　　[2]宗群.基于排队论的上高峰电梯群控调度的研究[J].系统工程与电子技术, 2003, 25 (6) .
　　[3]刘桂雄, 朱海兵, 何若泉, 等.电梯能效实时记录仪及系统研制[J].中国测试, 2012, 38 (6) :44-48.
　　[4]朱辉, 刘义保, 游运.蒙特卡罗方法与拟蒙特卡罗方法的历史、现状及展望[J].东华理工大学学报 (自然科学版) , 2010, 33 (4) :357-362.
　　[5]吴海霞, 刘潞锋.蒙特卡罗方法在实际问题中的应用[J].太原师范学院学报 (自然科学版) , 2009, 8 (1) :76-79.
　　[6]肖若.电梯群组能效实时监测装置研发与排班算法[D].广州:华南理工大学, 2013.
　　[7]刘耀武, 聂风华, 苏强, 等.具有时间约束的电梯节能调度算法[J].系统工程理论与实践, 2013 (9) :2339-2346.