逻辑学论文
摘 要： 对于概率哲学, 睡美人悖论是无法回避的一个问题。按照这一悖论的设置, 概率哲学的基本预设将导出和直觉极不一致的结论。对在这一问题上学者所持的两种不同观点进行分析, 可以发现他们在理解这一悖论的设置上有着根本性的互相误解, 即对于相对频率和概率倾向未做适当区分。多世界解释为概率性事件的描述提供了新的理论框架, 即将某一概率性事件的不同后果描述为分裂的世界枝结构。借用这一描述方式, 可以明确区分不同的概率类型, 避免误解, 消除睡美人悖论。
关键词： 概率哲学; 睡美人悖论; 量子力学哲学; 多世界解释;
Abstract： For the philosophy of probability, sleeping beauty paradox is an unavoidable problem. According to this paradox, the basic presuppositions of the philosophy of probability lead to inconsistent conclusion. By analyzing the two major views about this problem, it can be found that they have a mutual misunderstanding of the paradox, that is, there is no proper distinction between relative frequencies and probability tendencies. The many worlds interpretation of quantum mechanics provides a new theoretical framework for the description of probabilistic events, that is to illustrate the different consequences of a certain probability event as a branching structure. With this description, we can clearly distinguish different types of objective probability, avoid misunderstanding and eliminate the sleeping beauty paradox.
Keyword： philosophy of probability; sleeping beauty paradox; philosophy of quantum mechanics; many worlds interpretation;
“睡美人悖论”是由亚当·艾尔加 (Adam Elga) 首先提出的一个概率哲学悖论。在这一悖论所设计的实验中, 被试者在严格遵守概率哲学的理性原则、完全按照概率哲学的要求分配自己置信度的情形下, 出现了和概率哲学中被广泛接受的原则, 即反思原则 (reflection principle) 相矛盾的情况[1]146。
此后, 关于这一问题学界进行了热烈的讨论。各种各样的新论证被提出, 不同的经过调整的睡美人实验也不断出现。在这诸多讨论之中, 有一种进路十分值得关注, 那就是由列夫·魏德曼 (Lev Vaidman) 在2001年首先提出[2]、并由彼得·刘易斯 (Peter J Lewis) 在2007年再次推上争论热点的以量子力学多世界解释 (MWI) 为工具对睡美人问题进行探讨的“量子睡美人进路” (QSBP) [3]。这一进路中的部分讨论已由国内学者章澹做出了较为详细的介绍[4]。本文将基于这一思路对睡美人问题争论双方的代表人物, 艾尔加和大卫·刘易斯 (David Lewis) 的代表性论证进行分析, 并由此揭示出他们的分歧实际上来自于一种对概率性事件结构的不够清晰的描述, 即未能对概率性事件的倾向和相对于某一主体的相对频率之间做出充分的区分。MWI的图景将帮助我们简洁明了地澄清这一混淆, 并直截了当地对睡美人问题给出自己的回答。
一、睡美人问题和量子睡美人进路
首先我们以艾尔加本人的说法来陈述睡美人悖论的实验设置:
“一些研究人员将让你睡着。在你睡眠将要持续的两天时间内, 他们将会短暂地叫醒你一次或两次, 这次数取决于一个均匀硬币的抛掷 (正面:一次;反面:两次) 。每次醒来, 他们都会让你服一种药物, 使你忘记你曾经醒来过。那么当你第一次醒来的时候, 你对硬币是正面的置信度有多大?”[1]143
这个实验的特殊之处就在于, 服用失去记忆的药物使得睡美人无法区分每一次被叫醒是哪一次被叫醒。艾尔加认为, 睡美人第一次醒来的时候对硬币是正面的置信度显然应该是1/3。而睡美人在进入实验之前, 即最初睡着之前, 对这一硬币抛掷结果为正面的置信度显然应该是1/2, 因为这是一枚均匀的硬币。然而, 按照反思原则, 如果一个主体能够确定自己在明天对于某一命题r的置信度会是x, 那么他现在对于命题r就应该有置信度x[5]。睡美人在最初睡着之前, 如果她知道这一实验的设置, 那么她就可以通过一系列概率演算得出自己在明天被叫醒时对于硬币抛掷结果是正面的置信度是1/3;那么她现在对这一命题的置信度也应该是1/3, 但这是不合理的。这就对概率哲学本身的一致性造成了威胁。
面对这一问题, 以艾尔加为代表的学者认为存在和反思原则相冲突的不正常的置信度变化, 他们一般被称为“三分之一派” (the thirder) ;而以大卫·刘易斯为代表的学者则认为不存在这种置信度变化, 反思原则没有被违背, 他们一般被称为“二分之一派”。量子睡美人进路在这一激烈争论中脱颖而出得到广泛的关注和讨论, 正是由于这一进路本身有其特殊的值得关注之处。
这一进路之所以值得关注, 并不仅仅由于其最初提出者魏德曼和后续的讨论者们居然得出了截然相反的结论 (魏德曼将MWI和睡美人问题结合, 导出了三分之一派的结论, 而同样采取这一进路的彼得·刘易斯则恰恰相反, 得出了二分之一派的结论) , 更是由于MWI本身独特的对概率性问题的理解方式。MWI认为, 概率性的事件, 严格来说是量子力学中通常被理解为具有概率性的事件 (最具代表性的就是量子测量) , 并非如经典概率理论中所理解的那样, 是多个不相容的可能结果中的某一个随机地实现了;而是这些可能结果同时全都实现了, 只不过是以不同的“权重”各自实现为相互独立的一系列世界枝。这样一来, 世界按照权重不断展开为树状结构, 而所有可能的结果都确定的显现出来, 让我们可以一览无遗。这一理论将确定性重新带入量子力学之中, 具有物理学上的独特意义;同样地, 在概率问题中, 它使得所有可能的后果完全清晰而且确定的展现出来, 可以有效地清除一切相关的模糊和混淆。因此, 在试图解决睡美人问题这一概率哲学中的困难时, 引入多世界理论来对问题做出澄清是有帮助的, 也是十分必要的。
在用MWI处理睡美人问题的过程中, 本文将继承魏德曼及其团队的做法, 即:用一个“量子硬币”代替睡美人实验中的宏观硬币, 准确地说, 是以一次量子测量的结果来决定对睡美人的叫醒是一次还是两次。对此可以如此简要地描述:在实验开始后, 由一位工作人员进行一次对某个由固定装置制备的电子的x轴方向自旋的测量。如果这一测量的结果为向上, 则视为“硬币投出正面”, 即“量子正面” (QH) ;如果这一测量的结果为向下, 则视为“硬币投出反面”, 即“量子反面” (QT) 。其后的实验步骤, 则和原始的实验设置完全一样, 除了以QH代替H, QT代替T之外[6]。
这一处理方式有两方面的好处:其一, 以量子硬币产生实验所需的概率, 相较原始的宏观硬币而言产生出的概率可能是较为真实的概率。部分学者认为, 硬币的性质会影响到实验的结果[7], 因为众所周知, 宏观硬币的抛掷结果其实在相当大的程度上是个被决定的事件, 而非纯粹的概率性事件;对极端决定论者来说, 某次宏观硬币的抛掷结果甚至是在抛掷之前完全确定的。这样一来睡美人问题是否还是一个概率问题就是可争议的了。而如果使用量子硬币, 由于量子测量结果的不确定性至少目前是不容置疑的, 这一问题上争议就可以完全得到避免。
其二, 则是可以在更严格的意义上使用MWI的理论, 最大程度地避免由于误用MWI而导致新的困惑。在MWI中, 世界枝分裂仅仅发生于广义上的量子测量进行的时刻;唯有当处于量子力学所描述的叠加态中的物理系统在与世界其他部分进行关联并形成互相独立的多个全域波函数的态的时候, 才有世界枝的分裂发生。那么在原本的睡美人问题的设定中, 到底哪些事件能够对应一次世界枝分裂就是需要严格考察的。彼得·刘易斯对MWI的使用就面临这一问题, 因为他并未严格按照“测量进行时世界分裂”来引入树形结构, 而是以被试者由于记忆消除药物导致的心理状态的不连续性即相互独立性, 类比于量子测量中测量者在多个世界枝中的后继者之间的心理状态的相互独立性, 并由此在被试者的第一次被唤醒和第二次被唤醒之间设置了世界枝的分裂[8]。这一对MWI的类比式使用显然是不严格的, 有可能会引发新的问题。而如上述对MWI的严格使用, 则可以免于这一担忧, 因为世界枝的分裂严格上是由量子测量所带来的, 在这里不存在任何对MWI的误用的可能。
接下来, 我们将按照上述方式对艾尔加和大卫·刘易斯的基本论证作出考察。
二、艾尔加的三分之一派论证
艾尔加对1/3这一结果的推导是这样的:
首先, 规定P为睡美人在第一次被叫醒时的置信度函数。假设第一次叫醒一定发生在第一天, 而第二次叫醒 (如果硬币抛掷出了反面) 则发生在第二天。P (H1) 是她对硬币抛掷出正面并且现在是第一天的置信度, P (T1) 是她对硬币抛掷出反面并且现在是第一天的置信度, P (T2) 是她对硬币抛掷出反面并且现在是第二天的置信度。
那么, 假设在第一天叫醒她之后, 告诉她硬币抛掷的结果是反面。在这个时候, 她并不知道现在是第一天还是第二天, 因为她不知道这是她第几次被叫醒。又因为每一次叫醒对于她来说都是无法区别的, 所以基于一种高度限制的无差别原则她一定会认为, 现在是第一天还是第二天的概率是一样的。所以可以得出P (T1) =P (T2) 。
然后, 假设在第一天叫醒她之后, 告诉她今天是第一天。由于试验并没有规定硬币要在什么时候被抛掷, 而且不管硬币被抛掷的结果是什么睡美人在第一天都会被叫醒, 所以可以假设硬币是在第一天叫醒睡美人之后被抛掷的。那么, 睡美人此时对于硬币抛掷结果是正面的置信度应该是什么呢?显然应该是对于一个均匀硬币被抛掷结果是正面的置信度, 即1/2。而此时睡美人对硬币抛掷结果是正面并且现在是第一天的置信度, 即P (H1) 应该是什么呢?由于她已经知道现在是第一天, 所以这一置信度应该等于她对于硬币抛掷结果是正面的置信度, 即1/2。同理, P (T1) 也是1/2, 那么P (H1) =P (T1) 。
因此, 可以得到P (H1) =P (T1) =P (T2) 。由于此时对于睡美人来说这三种可能性是穷尽的, 所以它们之和为1, 因此它们各自的值都是1/3[]。
在艾尔加的推导过程中, 显然变更了实验设置。在他对P (T1) =P (T2) 的推导中, 由于他在睡美人醒来之后就告诉她硬币抛掷的结果, 那么硬币抛掷就是发生在唤醒之前的。在对P (H1) =P (T1) 的推导中, 硬币抛掷是发生在唤醒之后的。将试验设置变更为前述的量子睡美人实验之后, 按照多世界解释的世界枝结构, 这两种实验设置可以分别用一个简单的分枝结构图表示 (图1) 。
图1 睡美人实验分支结构图
在第一种情况中, 量子硬币的抛掷, 即量子测量, 发生在睡美人第一次被叫醒之前;在第二种情况中, 量子测量发生在睡美人第一次被叫醒之后。这就意味着, 在第一种情况中世界分裂于睡美人第一次被叫醒之前, 而第二种情况中则发生在她第一次被叫醒之后。由于实验设置的变更, 第一种情况中醒来时硬币已是反面的睡美人, 和第二种情况醒来时硬币还未投出的睡美人, 很难被看作是同一个个体, 而她们持有的置信度函数, 也没有充分的理由被认为是完全相同的。
艾尔加显然没有注意到这一点, 所以他也没有注意到, 他所得出的P (H1) 、P (T1) 和P (T2) 并不是睡美人在第一天被唤醒时对这几个事件的真正的置信度。第一组推导中的P (T1) 和P (T2) 是睡美人得知硬币抛掷结果为反面之后对当下所处时间的置信度, 也就是对自己所处的这一世界枝中两个事件发生频率的置信度;第二组推导中所谓的P (H1) 和P (T2) 是睡美人得知当下时间之后对即将发生的世界分裂的世界枝权重的置信度。一方面, 获得这两组置信度的睡美人都不是刚刚被叫醒的睡美人, 而是分别获得了不同新信息的睡美人, 她的置信度函数分别经历了一次不同的升级, 这两组置信度之间的相等关系都是在新的置信度函数中的而非在原有的置信度函数P中的;另一方面, 这两组置信度一个是关于某个世界枝中事件的频率的, 另一个是关于世界枝分裂的权重的。因此, 认为这两组置信度的相等关系可以有传递性, 并且这两组置信度还能够统一在同一个置信度函数下, 保证其加和为1, 是不够合理的。多世界的概率事件模型有效地反映出了艾尔加论证中的漏洞, 并指出了睡美人悖论的核心问题:我们到底问的是什么问题?是关于世界枝权重的, 还是关于频率的?
世界枝权重和频率, 不仅都以概率表示, 还都被归入客观概率的范围。世界枝权重表征概率性事件发生的可能性分布, 和概率的倾向性解释完全一致;频率解释则是概率客观解释的另一大类, 频率的值由相应概率性事件的发生次数和总实验重复次数的比值确定。这两者之间的区分一向是不够清晰的, 我们一般认为它们是对客观概率的两种不同解释方式。但在多世界的概率事件模型中我们可以清晰地看出, 这两者是完全不同的:世界枝权重是纵向的, 严格符合客观概率本身的;频率则是某一世界枝中的, 是客观概率的一种表现形式, 并且和客观概率本身只有概率性的关联, 这一关联服从伯努利大数定律。
在睡美人悖论中, 这一区分就反映在我们可以对艾尔加向睡美人问出的那个较为模糊不清的问题做出更精细的追问:我们问的到底是哪一个问题呢?是“你对一个均匀硬币抛掷结果为正面的置信度”?还是“你对那个决定实验进程的硬币抛掷结果为正面的置信度”?还是“你对现在那个决定实验进程的硬币是正面朝上状态的置信度”?接下来我们将会看到, 在这一问题上的含混是如何导致了二分之一派和三分之一派之间的分歧。
三、大卫·刘易斯的二分之一派论证
大卫·刘易斯的论证是从另一个角度出发来进行的。他认为, 首先, 在实验开始之前睡美人对那个即将被抛掷的决定实验进程的硬币的抛掷结果是正面的置信度是1/2。其次, 只有新的相关证据会导致置信度变化。最后, 睡美人从实验开始之前到被叫醒, 得到的唯一一个证据就是, 现在一定是H1、T1、T2三个状态中的一个。因为不论硬币抛掷的结果是正面还是反面, 她都会进入这三个状态中的某一个, 而她得到的证据不足以在这三个状态中做出任何有效的区分, 所以这一证据和硬币抛掷的结果无关。那么, 睡美人醒来时相对于睡着前的状态, 关于硬币抛掷结果的置信度不应该有任何变化, 因为她没有获得任何相关证据。所以睡美人第一次醒来时对硬币抛掷结果是正面的置信度应该是1/2, 和她睡着前的置信度一致;这一结论和反思原则也是不矛盾的[9]。
然而艾尔加的另一个较为朴素的论证却从这一结论中引出了矛盾:
“当然是1/3!想象这个实验重复了许多次, 那么在这个长事件序列中, 大约1/3的唤醒将是正面向上的唤醒, 也就是在硬币抛掷结果是正面的情况下的唤醒。所以在任何一次唤醒中, 你都应该对于这次唤醒是一次正面向上的唤醒有1/3的置信度, 因此对硬币抛掷结果是正面向上有1/3的置信度。这一考虑在现在的实验设置, 即实验只发生一次的情况下仍然保持着它的力量。”[]
在足够长的序列中, 硬币正面向上相对于睡美人被唤醒的频率是1/3;而如果睡美人持有正面向上1/2的置信度, 由于她的置信度和相对频率不一致, 那么假如我们就这一事件和她打赌, 她很可能会因此陷入不利的境地。
但是, 难道大卫·刘易斯的论证真的是错误的吗?并非如此。我们注意到, 艾尔加的论证中有这样的论断:因为你应该对于这次唤醒是一次正面向上的唤醒有1/3的置信度, 所以你应该对硬币抛掷结果是正面向上有1/3的置信度。“是正面向上的唤醒”是关于硬币当下的状态的;“硬币抛掷的结果是正面向上”则是关于硬币抛掷, 也就是某一次概率性事件的结果的。这就涉及到之前分析中指示出来的问题:我们到底问的是哪一个问题呢?这两个问题是不是等价的呢?
答案是否定的。硬币当下的状态是世界枝上的一个事件;硬币当下状态相对于唤醒的频率, 是某一个世界枝上的频率。而硬币抛掷的结果, 是某次世界分裂时的世界枝权重, 是这一概率性事件的客观概率。这两者在多世界的概率事件模型中, 一个是纵向的权重分布, 一个是横向的统计数据, 是全然不同的。因此这两个问题绝不是等价的, 艾尔加在这里仍然犯了他另一个论证中所犯的错误。
贝里·格罗伊斯曼 (Berry Groisman) 对此问题做了清晰的陈述。他用一组特别的装置来代替睡美人实验:有这样一个装置, 它关联于一个不断抛掷的硬币。当硬币投出一次正面, 它就放一个绿球到桶中;当硬币投出一次反面, 它就放两个红球到桶中。当它放了一些球之后, 有另一个装置开始从桶中随机的取出球来, 一次一个。硬币抛掷就相当于睡美人实验中的硬币抛掷, 取球就相当于睡美人实验中的叫醒。显而易见, 硬币抛掷的结果的概率分布是正反面各1/2;而取出球为绿色、红色的概率则分别是1/3、2/3。这两个装置一个反映着硬币抛掷结果的概率分布, 即抛掷硬币这一概率性事件的客观概率, 或者说倾向;另一个反映着球的颜色相对于取球的概率分布, 即球为绿/红色相对于取球的频率。同样的, “硬币抛掷结果为何”这一问题对应着硬币抛掷结果的客观概率, “叫醒时硬币状态为何”这一问题对应着硬币为正/反面状态相对于叫醒的频率。这两者的区别是显而易见的[10]。
四、“多世界睡美人”的回答
对于一个使用多世界概率事件模型的人来说, 睡美人实验会有何种结果呢?当一个“多世界”睡美人被唤醒并被提问时, 她会反问:你问的是我关于世界枝权重的置信度?还是关于相对频率的置信度?如果是关于世界枝权重的, 那么她会回答“1/2”, 因为她的知识告诉她由一个均匀硬币的抛掷带来的世界分裂一定是两个1/2权重的世界枝。如果是关于相对频率的, 那么她会做一个计算:按照这一实验的设置, 每次实验世界分裂为两个世界枝, 每个世界枝的权重是1/2;在一个世界枝中, 我被唤醒一次, 硬币是正面向上;在另一个世界枝中, 我被唤醒两次, 硬币都是反面向上。我被唤醒这一事件发生三次, 其中一次硬币正面向上, 两次反面向上;硬币正面向上相对于我被唤醒的相对频率是1/3, 所以答案是1/3。
因此, 1/2和1/3的回答其实都是正确的, 只不过他们回答的是不同的问题。而在这一问题上的不加区分, 实际上是由概率性事件结构的不清晰导致的, 更准确地说, 是由对概率性事件的频率和倾向, 即多世界概率事件模型中的世界枝上事件间的相对频率和世界枝权重, 不加区分导致的。多世界解释的概率模型明确地体现出了这一区别, 为加深我们对概率的理解提供了一条特别的进路。
参考文献：
[1]ELGA A.Self-locating belief and the sleeping beauty problem[J].Analysis, 2000, 60:143-147.
[2]VAIDMAN L, SAUNDERS S.On sleeping beauty controversy[EB/OL]. (2001-07-17) [2018-04-21].http:∥philsci-archive.pitt.edu/324/1/SBC.ps.
[3]LEWIS P J.Quantum sleeping beauty[J].Analysis, 2007, 67:59-65.
[4]章澹.多世界中的睡美人问题[J].自然辩证法研究, 2015 (9) :15-19.
[5]VAN FRAASSEN B C.Belief and the will[J].Journal of philosophy, 1984, 81 (5) :235-256.
[6]GROISMAN B, HALLAKOUN N, VAIDMAN L.The measure of existence of a quantum world and the sleeping beauty problem[J].Analysis, 2013, 73 (4) :695-706.
[7]WILSON A.Everettian confirmation and sleeping beauty[J].The British journal for the philosophy of science, 2014, 65 (3) :573-598.
[8]PAPINEAU D, DURA-VILA V.A thirder and an everettian:a reply to Lewis’s“quantum sleeping beauty”[J].A-nalysis, 2009, 69:78-86.
[9]LEWIS D.Sleeping beauty:reply to Elga[J].Analysis, 2001, 61:171-176.
[10]GROISMAN B.The end of sleeping beauty’s nightmare[J].The British journal for the philosophy of science, 2008, 59:409-416.