逻辑学论文
新西兰着名逻辑学家 A. N. 普莱尔( Arthur N.Prior) 是时态逻辑的创始人,他之所以能提出时态逻辑,在于他对命题的真值有不同于经典逻辑的看法.经典逻辑的创立者弗雷格认为,命题或句子的真值就是命题的指称,句子的涵义是思想,而思想是无时间性的,因此命题的真值不随时间的变化而变化.罗素认为,真值是命题的性质和标志,命题的真值也不能随时间而变化.现代经典逻辑关于命题真值的看法一度成为主流.但是,经典逻辑显然不能很好地处理用自然语言表达的日常推理,因为自然语言中的句子和经典逻辑中的句子或命题有很大区别.经典逻辑中的命题没有时态的标志,其真值不会受时态的影响,而自然语言中的陈述句显然并非如此.普莱尔吸收了古代逻辑学家和近现代逻辑学家的一些有益的思想,用模态逻辑的方法建立了时态逻辑,其影响是深远的.本文将对普莱尔早期的时态逻辑思想进行梳理.在此需要提示读者,命题、句子和陈述在不同的逻辑学家看来有不同的含义,为了叙述的方便本文对三者不加区分.
一、关于命题的真值
经典逻辑学家认为命题的真值不能随时间而变化,导致经典逻辑不能很好地处理自然语言中的时间因素和日常推理.为了更好地刻画自然语言中的推理,逻辑学家对经典逻辑进行了补充.
罗素认为,自然语言中的句子更像命题函数而不是命题,如"苏格拉底是不死的"可以看作"如果 t是任何时间,苏格拉底在 t 时活着"[1].蒯因持有和罗素类似的观点,认为时间可以和地点、个体一样成为专名,真正的命题是包括时间因素的,命题的真假没有时间的问题.
普莱尔指出,从文艺复兴时期开始人们就有了类似上述的观点,逻辑学家不再对模态和时间因素感兴趣了.如波尔 - 罗亚尔逻辑认为,动词( 在陈述句中) 的唯一普遍的功能是表达断定,"是"( is) 作为纯粹的动词是命题中主要的形式元素.这时的逻辑学家可能是受观念论的影响,认为命题是通过系词把两个观念连接起来的,时间因素不应进入系词,而应进入词项之中[2]104 -105.普莱尔引述了哈密尔顿派的逻辑学者怀特利( Richard Whately) 、曼塞尔( H. L. Mansel) 、博文( Francis Bowen) 、福勒( Thomas Fowler) 等人的观点,说明在文艺复兴之后到现代逻辑产生之前,人们普遍认为系词在命题中只有现在时态,而指称时间是词项的任务.普莱尔认为,这种观点没有提供足够的证据,只是把原来的陈述粗暴地重新表述为一个多余的从句.如把陈述 p 重新表述为"that p,is the case"的形式.但是,这样一来人们对逻辑的兴趣转移到词项上了,而时态因素同样就在词项上,词项仍然可能有一个逻辑形式.怀特利和博文分别把"This man was honest"和"Hecame yesterday"转化为"He is one formerly-honest"和"He is the person who came yesterday",普莱尔认为这种转化会带来一定的问题,假如当"he"指称的对象在过去那个时间之后去世了,把这样的句子转化为现在时态后,其主语就是不存在的对象[2]106,按照弗雷格或罗素的观点,这样的句子是无意义的或假的.福勒对此似乎不能给出满意的说明.文恩注意到命题真值可以随时间而变化,但他并不认为这有什么特殊的重要性,因为我们也可以和对待时间一样对待地点.约翰逊( W. E.Johnson) 反对出于符号化的目的把两个命题之间的蕴涵关系看作全称直言判断的主项和谓项之间的关系.他认为在假言演绎推理( hypothetical syn-thesis) "如果命题 A 真,那么命题 B 真"中,说 A 和B 在有些情形或时间为真,在另一些情形或时间为假,这样的情形和时间的差异是不存在的.他还说,提及不同时间的命题是不同的命题[2]110.尽管汉密尔顿派的观点在这一时期一直占主流地位,但其他一些逻辑学家也提出了一些有价值的不同的观点.密尔( John Stuart Mill) 认为,我们断定的过去、现在和未来不是主语或谓语所表示的东西,而是整个句子要表示的东西.可是,这种思想在当时没有引起足够的重视,没有发展出时态逻辑[2]107.凯恩斯 ( J. N. Keynes) 认为判断( judgment) 包含着对时间的指称,一个判断在一定的时间内为真,在另一些时间为假.他还引用博桑斯特( Bosanquet) 的观点,在判断的时间和谓词的时间之间做出了区分.布尔在 An Investigationof the Laws of Thought( 1853) 中把"X 蕴涵 γ"看作"X 为真的时间完全包含在 γ 为真的时间中",他把每个命题符号看作代表该被符号化的命题为真的时间[2]108 -109.
另一个值得注意的逻辑学家是皮尔士( Charles Sanders Peirce) ,他虽然没有提出时态逻辑,但认为时间因素应该是逻辑学感兴趣的问题.
他说,没有发展到对其形式引进时态修饰的逻辑会导致极大的混淆.他还把时间和模态联系起来.皮尔士与文恩和麦科尔( Hugh MacColl) 一样都认为两个命题之间的蕴涵关系应该被看作全称直言命题的主项和谓项之间的关系.他还进一步认为所有条件句都包含一个暗含的量化,如果没有其他的东西,就是在可能事态上的量化,可以引进时间作为这样的变量[2]112.这些思想是普莱尔时态逻辑思想的重要来源.
此外,斯特劳森的思想也对普莱尔有所启发.
普莱尔认为,1906 年之后,形式逻辑学家对于时间相当 一 致 地 采 取 了 凯 恩 斯 - 约 翰 逊 - 罗 素( Keynes-Johnson-Russell) 路线,直到斯特劳森( P.F. Strawson) 才打破了这种束缚.斯特劳森并不主张引进时态 - 差别( tense-distinctions) 的逻辑,而是认为时态 - 差别是形式逻辑不能处理的重要的东西.他也不主张陈述在一个时间真而在另一个时间假,而是认为同一个句子在一些场合( occa-sion) 真,在另一些场合假.这种观点和罗素没有本质不同,只不过罗素主张通过改造公共语言,避免公共语言的缺陷,而斯特劳森更倾向于保持自然语言免受形式逻辑的攻击[2]116.普莱尔指出,遗憾的是公共语言的主要用途直到斯特劳森才受到逻辑学家的注意.
斯特劳森认为,用适当的陈述代换陈述的"形式"对于形式逻辑学家研究的衍推( entailment) 关系是不充分的,会带来通常所说的"蕴涵怪论"问题[4].斯特劳森认为"衍推理论"必须由"指称理论"去补充,这里的指称是指时态以及"这里"、"那里"、"他"、"这个"、"我"等代词.从形式上看,斯特劳森的逻辑与罗素和文恩的逻辑并没有什么本质的不同[2]116 -117.
普莱尔关于命题的真值随时态的不同而变化的思想主要来源于古希腊逻辑和中世纪经院哲学.他指出: "古代和中世纪逻辑学家认为如下两条是理所当然的: ( i) 时态 - 差别是逻辑思考的真正主题,( ii) 在一个时间为真的东西在另一个时间为假,反之亦然."[2]104这种现象在亚里士多德的逻辑着作中可以见到,麦加拉学派的第奥多鲁更把时态看作模态,并进行讨论.
经典逻辑认为时间因素是命题本身所包含的一个因素,而普莱尔认为最基本的原子命题只有现在时态,时态算子和原子命题的复合才能表示时态命题.从下面普莱尔对巴坎公式的分析可以看到,只有认为命题的真值是可以随时间的变化而变化的,才能用模态逻辑的方法灵活处理用自然语言表达的逻辑和推理.
二、时态与模态
普莱尔认为命题的真值可以随时间的变化而变化.在此基础上,他用模态逻辑的方法来处理时态问题.普莱尔指出,自然语言中的模态词"可能的"、"必然的"可以有多种意思,正如刻画条件句中的"如果,那么"关系可以产生很多蕴涵一样.
因此,必须给模态词一个确定的意义,规定一定的标准.波兰逻辑学家卢卡西维茨在这方面已经做出了贡献,他给出了模态逻辑的 8 个标准: 1. NLN与 M 等价;①2. NMN 与 L 等价; 3. CLpp; 4. CpMp;5. CMpp 是被排斥的; 6. CpLp 是被排斥的; 7. Mp是被排斥的; 8. NLp 是被排斥的.卢卡西维茨称满足这些条件的模态逻辑系统为"基本模态系统"[3].这里 M 和 L 分别表示弱模态算子"可能的"和强模态算子"必然的",它们是从陈述得到陈述的一元算子.普莱尔采取对模态的广义的理解,放弃了 1 和 2[2]3.
卢卡西维茨把模态逻辑看作多值逻辑[2]6,因为二值逻辑中没有满足"基本模态逻辑"条件的可充当模态算子的函数,但是在三值以上的逻辑中有这样的函数.普莱尔用多值逻辑的方法对时态逻辑进行了研究.
普莱尔引进时态算子 P 和 F,其意思分别是"It has been the case that"和"It will be the casethat".普莱尔不把"It has been the case that p"这种形式的陈述看作关于陈述 p 的陈述,而是看作由模态算子 P 作用于 p 而形成的新陈述[2]8.可以看出,普莱尔对陈述的观点与经典逻辑是不同的,这是能构造时态逻辑的关键.经典逻辑把"相信p"这样的陈述看作是关于 p 的陈述,普莱尔把它看作关于 p 的主语的陈述.普莱尔引进时态算子是作用于命题的,时态命题和不含有时态算子的命题都被看作是命题.如果认为时态算子不能作用于命题,就会毁掉整个时态逻辑,因为这会导致不能对时态命题使用时态算子,时态算子不能有复合形式.普莱尔又引进时态算子 S,表示"It isthe case that",并得到等式: SSp = Sp = p,SFp = FSp= Fp 和 SPp = PSp = Pp[2]10.
引进时态算子会带来一些问题,如 NFp 和FNp 不一定相等,NPNp 和 Pp 有所不同.但是普莱尔暂时假定它们被看作相等的,首先建立了类似于刘易斯的 S4和 S5的时态系统[2]11.
普莱尔认为可以采用二价的时态算子,从而引进了 Pnp 表示"It was the case n days ago that p"( 以"天"为时间单位) ,P1p 表示"It was the casethis time yesterday that p".类似地,Fnp 表示"Itwill be the case n days hence that p",F1p 表示"Itwill be the case this time tomorrow that p",F0p 表示"It will be the case no time-units hence thatp"[2]11 -12.普莱尔指出,如果把 M( 或"可能的")定义为"It either is or will be the case that",把 L( 或"必然的") 定义为"It either is and always willbe the case that",这些算子将满足卢卡西维茨的模态算子条件,并且会有刘易斯 S4系统的 M 和 L 的所有形式性质.这些模态词与麦加拉学派逻辑学家第奥多鲁的模态一样[2]12.普莱尔给出了如下类似于 S4的时态系统:
定义: Df. L: Lp = ΠnFnp
Df. M: Mp = ΣnFnp
规则: 代入,分离,引进量词 Π1,Π2,Σ1,Σ2的卢卡西维茨规则,和特殊的规则
RF: 如果 α,那么 Fnα.
公理: 任何经典命题逻辑的完全的公理集合,以及
1. CFnNpNFnp
2. CNFnpFnNp
3. CFnCpqCFnpFnq
4. CFopq
5. CFmFnpFSmnp
6. CFmΣnFnpΣnFmFnp
其中公理 5 的 Smn 表示区间 m 和 n 的和[2]13.在假定时间只有两天( 今天和明天) 的情况下,普莱尔为该系统的联结词和模态词构造了四值真值表.但是须要在时间为无穷的情况下,用真值组成的无穷序列作为命题的取值对象,才能刻画类似于 S4的时态系统[2]6.
普莱尔引进了洛斯( os') 所用过的概念 Utp 来建立类似于 S5的模态系统.Utp 的意思是"p 在t".这个系统包括如下定义、规则和公理[2]19 -20:
定义: Df. M: Mp = ΣtUtp
Df. L: Lp = ΠtUtp
规则: 代入,分离,引进量词 Π1,Π2,Σ1,Σ2的卢卡西维茨规则,和特殊的规则
RU: 如果 α,那么 Utα.
公理: 任何经典命题逻辑的完全的公理集合,以及
1. CUtNpNUtp
2. CNUtpUtNp
3. CUtCpqCUtpUtq
4. CΠtUtpp
5. CΠt'UtpUtp
普莱尔同样假定了两个时间( 今天和明天) ,给出了该系统的联结词和模态词的多值真值表.要确定公式是否为定理,须构造二值的无穷序列作为真值的真值表或无穷值真值表来判定[2]22.
把时态命题逻辑推广到谓词逻辑,会面临巴坎公式带来的问题.按经典逻辑的观点,只有在命题的逻辑主语指称的对象存在的情况下命题才有真值.但是对量化理论中的变元 x 和 y 的存在有不同的理解,一种理解是把它们看成潜在的存在,一种理解为现存的存在,它们分别类似于蒯因的替换量化和指称量化[5].普莱尔的时态逻辑采取后一种理解,由此带来的问题反映在巴坎公式中.巴坎公式是由美国逻辑学家巴坎( Ruth Bar-can Marcus) 于 1946 年把刘易斯模态系统和量化理论合并而得到的,表述为 CMΣxxΣMxx,在类似于 S5的 时 态 逻 辑 系 统 中 可 表 述 为CΣtUtΣxxΣxΣtUtx.巴坎公式解释为"如果存在时间使得某事物在该时间 无时间地为真,那么存在某事物使得它在某时间 无时间地为真",如果前提中的时间是将来的时间或过去的时间,而某事物现在还未存在或已经不存在了,会导致巴坎公式不成立[2]26 -27.特别是当巴坎公式变成CFΣxxΣFxx 时,被解释为"如果情况将是某物,那么存在某物将要 "( If it will be the case thatsomething 's,then there is something which will) .结论断定已经存在的某物将要 ,而前提并没有作这样的担保[2]29.
三、巴坎公式的消解
巴坎公式给普莱尔时态逻辑带来了困难,只有在假定了在某未来时间将要存在的东西已经存在或一直存在,即假定所有真实的个体都是永恒的( sempiternal) ,才能承认该公式的合理性.普莱尔设想了对这个假定的形而上学辩护.一个例子是可能将存在某个飞到月球的人,虽然它将不是现存的任何人,符号表示为 FΣxx.但是,人不是量化理论中的 x 和 y 这样意义上的个体,x 和 y 这样的个体只代表个体的名字,而所有真正的个体确实一直是存在的.因此,虽然将飞到月球的真正的个体还没有成为人,但是这些真正的个体现在确实是存在的,并且一直存在.这样将拯救巴坎 公 式,因 为 这 时 FΣxx 和 ΣFxx 变 成 了FΣxKψxx 和 ΣKψxFxx,分别解释为"It will bethe case that something is a person and flies""Some-thing is a person of whom it will be the case that heflies"[2]29 -30.作上述设想就像假定了对象的永久的池塘( permanent pool of things) 一样,这些对象可以只是潜在地存在着,还不是现实的存在.这类似于中世纪的扩大( ampliatio) 理论[2]30.这种理论认为,尽管对象还没有存在,但已经有关于它们的事实.普莱尔拒绝这种假设和辩护,他认为时态 - 差别的逻辑在不作这种假定的情况下仍然能产生,假定永恒的( sempiternal) 个体存在的逻辑不是好逻辑[2]30.
拒绝接受永恒个体的存在,会导致量化理论的改变.按照普莱尔,假定没有永恒个体的情况下专名必须限制为只能指称现存的( 在作出命题的当时存在的) 个体.这样就有下述结论: "我现在不存在"意为"现在没有关于我的事实",这句话是自相矛盾的.但是 PnNΣx,"It was the case ndays ago that x does not exist",和 FnNΣx,"It willbe the case n days hence that x does not exist"只能代表假命题,而 NPnΣx,"It was not the case ndays ago that x exists"很可能是真的.同样道理,NLp 和 MNp,NLNp 和 Mp 也不等价[2]35.
对于普莱尔来说,当 x 代表一个专名时,"x 存在"逻辑上等价于"存在关于 x 的事实".如果对于不再存在和还没有存在的个体现在也有关于它的事实,普莱尔认为我们不知道关于它的现在的事实是什么.对于不再存在和未出生的人,你说他是蓝眼睛的和不是蓝眼睛的都无法判定真假.
普莱尔指出,我们需要一个把"x 存在"和"存在关于 x 的事实"等价的时态逻辑[2]31 -32.如果 x 不存在,就没有关于 x 的现在的事实.这样,普莱尔把对象和它存在的时间相关联起来.
现在普莱尔的量化方式导致 Lp 和 NMNp,NLNp 和 Mp 不等价,也导致巴坎公式不成立.因此,普莱尔想要建立的系统是一个巴坎公式在其中不可证明的系统,而不是类似于 S5的系统.否定NLNp 和 Mp 等价,可能导致量化理论的不一致,因为在量化理论中"某物 "( Something 's) 和"并非所有事物非 "是等价的.怎样避免这种情况呢?
普莱尔的处理方式是,在所建立的 Ut 系统中让 M等价于 ΣtUt,"对某个 t,在 t",而不是 Σt,"对某个t".类似地,L 等价于 ΠtUt.由此得出 ΣtUtp 等价于 NΠtNUtp 而不是 NΠtUtNp.同样,排中律也可采用适当的形式,变成 AUtpNUtp 而不是 AUtpUtNp.
巴坎公式也可采用 CΣtΣxUtxΣxΣtUtx 形式而不是 CΣtUtΣxxΣxΣtUtx 形式,前者是成立的.这样既避免了 NLNp 和 Mp 等价,又避免了巴坎公式的困难[2]36.由此可见,解决问题的关键是引进了 U算子.这样一来,我们必须放弃把 M 定义为 NLN,虽然 CNLNpMp 不成立,但是 CMpNLNp 成立.我们还有规则"若 α,则 NMNα".CMLpLp 成立,但CNLpLNp 不成立[2]37.普莱尔指出,按照蒯因的逻辑不能作出上述两种区分[2]36.
普莱尔首先构造的满足上述条件( 避免巴坎公式的) 不包含 M 和 NLN 或 L 和 NMN 等价的系统,是 Heyting 的直觉主义演算基础上增加卢卡西维茨系统的规则 L1,L2,M1,M2 得到的系统.但是这个系统也不能满足他的需要.虽然 CMpNL-Np 和 CLpNMNp 成立,但也会产生太多的东西,如CNMpLNp.该系统增加 CNNpp 将会得到 CNMN-pLp.再者,我们没有采用直觉主义逻辑而抛弃经典逻辑的充分理由[2]38.
普莱尔想构造的系统 Q 满足: ( a) 包含在 S5中但不包含 S5,包含经典命题系统但不被它包含.( b) 不包含较弱的刘易斯系统 S1-S4,或者模态化的直觉主义演算,或者 -模态系统( 注: 卢卡西维茨建立的一个模态系统) ,也不包含在这些系统之中.该系统满足卢卡西维茨模态逻辑的前 6 个条件[2]39.但是普莱尔没有进一步地详细给出公理系统,只证明了它的大致特征[2]48.普莱尔只是给出了在假定有两个时间( 今天和昨天) 的情况下系统 Q 的联结词和模态词的 6 值真值表,但是要确定出 Q 的定理必须用在时间无穷的情况下的真值表,其中的真值也可以看作由数字 1,2 和 3 组成的序列.
罗素逻辑系统要求逻辑专名必须存在,而弗雷格的专名所指不一定存在,但是包含这样的专名的句子无真值.普莱尔把时态逻辑系统 Q 与罗素的名字谓词演算合并的量化时态逻辑系统称为ΣT1,也建立了另一个适应于 Les'niewski 本体论改造的时态逻辑系统,被称为 ΣT2.在 ΣT2中,任何时间作出的表达式在所有时间都构成陈述,并且也有真值.得到这样的结果不需要改造量化理论,也不承诺所有个体都是永久性( sempiternity) 的[2]63.
四、结束语
普莱尔采用和经典逻辑不同的哲学观点建立时态逻辑.他认为原子命题和带有时态算子的命题都是同样的命题,原子命题只有现在时态,命题的真值随时间的不同而变化,充当命题逻辑主语的专名只能指称现存的对象,永恒的个体是不存在的.但是,普莱尔的方法也带来了一些问题,说不能真正命名还未产生的未来的个体是自然的,但是说不能命名不再存在的个体似乎有违自然语言的习惯.普莱尔最初给出的时间单位是天,但是到底该如何确定时间的单位也成为有争议的话题.普莱尔认为承认永恒个体的逻辑不是好逻辑,但似乎没有给出充分的论证,事实上像数字这样的永恒个体还是存在的.尽管如此,时态逻辑仍然发展成内容丰富的逻辑学分支,它在许多领域都有着巨大的应用价值,这是因为时态逻辑更接近于自然语言的表达方式,能更灵活地处理日常推理.
参考文献:
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[5] 涂纪亮,陈波. 蒯因着作集: 第二卷[M]. 北京: 中国人民大学出版社,2007:396.