逻辑学论文
彩票悖论通常被学界认为是三大归纳悖论之一。自其被发现以来，哲学家和逻辑学家顺着不同的路径提出了多种不同的解决方案。考察主要的解决方案，我们不难发现，无论技术细节如何不同，它们共同的哲学出发点都是一致的，即把彩票悖论当作合理信念悖论，或信念（知识）的合理接受悖论。尽管这种范式下的研究取得了不少成果，譬如解决方案的多样性以及解悖形式技术上的简单性，但没有哪一种方案得到学界的共识。本文拟运用当代形式知识论研究领域的最新研究成果，从作为言语行动的断言视角重新阐释并解决彩票悖论。
一、彩票悖论的提出彩票悖论最早由亨利·凯伯格（Henry E.Kyburg）于1961年在其著作《概率与合理信念的逻辑》中提出[1]（P197.199），尔后在1970年的一篇论文中又对之进行讨论[2]（P56）。凯伯格列举的例子概述如下。
已知在一次有一百万张彩票的公平抽彩活动中，有且仅有一张彩票中奖。根据无差别原则，每张彩票中奖的概率只有一百万分之一。这样，我们似乎可以合理地相信其中任意的第k张彩票中奖的概率只有一百万分之一。相应地，根据概率演算的析取规则，第k张彩票不中奖的概率高达0.999999.根据非确定的高概率命题也足可接受这一洛克论点（又称高概率临界值规则），可以合理接受"第k张彩票不中奖".同理，可以合理接受"第k+1张彩票不中奖".于是有"第k张彩票不中奖"并且"第k+1张彩票不中奖".由于k是任意的，这意味着所有彩票都不会中奖。根据活动规则，有且仅有一张彩票中奖，于是似乎可以得出：对于某个i,1≤i≤1000000,第i张彩票不会中奖且第i张彩票会中奖，即可得出具有p∧~p这一形式的悖谬性结论。分析后我们不难发现，这一貌似悖谬的结论的得出依赖以下几个条件：
（1）洛克论点：存在某个临界值ε，1/2<ε<1.如果一个命题的主观概率大于ε，那么，这个命题是可以合理接受（相信）的。（2）信念的合取封闭原则：如果Φ是合理可接受（相信）命题的汇集，φ∈Φ且ψ∈Φ，则（φ∧ψ）∈Φ，即φ∧ψ也是合理可接受（相信）的。（3）协调性原则：一个被合理接受（相信）的命题的汇集应该是协调的，即该汇集不能包含矛盾命题。以上三个条件中，洛克论点是关于合理相信（接受）的实质性条件，后两者是对认知活动的逻辑要求。在日常实践和关于实际的推理中，一个具有很高概率为真的命题通常被合理地相信甚至接受，因此，洛克论点高度符合人们的日常直觉和认知实践。但容易看出，无论概率临界值ε有多高，只要它小于1,这三个条件的结合都会产生类似的彩票悖论。这一点只需不断增大总彩票的数量即可。后两个条件是逻辑条件。在彩票案例中，信念的合取封闭原则表现为：如果你相信p,并且你也相信q,那么你相信（p并且q）。显然这一原则高度符合直觉。协调性条件是对理性主体的合法要求，如果认知主体足够理性，在其信念集中不应该包含矛盾信念，至少不应包含显性的矛盾信念这三个条件都可算作日常认知主体公认的背景知识，前面矛盾命题的得出也符合演绎推导规则。因此，学界通常将凯伯格这一彩票例子所展示的理论性认知状况称为"彩票悖论".二、彩票悖论的主要解决路径得出彩票悖论的原则高度合理，并且与人类日常及理论认知都密切相关。在人类日常生活中，人们碰到的经验现象多是非确定性事件；在科学认识中，科学家们发现或构建的经验理论或假说也大多不是逻辑确定的命题，即其概率不是先验为1.尽管在语言表达形式上它们都不必使用概率形式，如天气预报不必使用"明天会下雨的概率是80%"而是使用"明天会下雨"这种语句形式，但这类事件显然可用概率性命题来更精确地表征。因此，自彩票悖论提出后，哲学家和逻辑学家积极探寻其解决方案。根据解悖的一般方法论，可以通过拒斥或修改引发悖论之关键条件中的一个或几个来解决相应悖论。这样，彩票悖论之解决方案可以分别在修改或拒斥洛克论点、合取闭合原则或协调性条件这几个路径上寻找。（一）弱化逻辑条件这一路径以悖论的发现者凯伯格的方案为代表。其具体策略是保留洛克论点这个合理信念的实质性条件，将协调性原则弱化为弱协调性原则，摒弃合取闭合原则而代之以弱演绎闭合原则，并将它们分别表述为自己逻辑系统中的公理1和公理2（为与本文行文一致，符号稍有改动）。
（1）弱协调性原则（公理1,又称对偶协调性）：在给定语言L中，B为合理信念或者背景知识汇集，S为L中的任一陈述， （S）（S∈B）劢~（~S∈B）。凯伯格还将这一原则推广为：对任意的S1,……Sn.1,如果它们分别都属于B,那么~（S1∧……∧Sn.1）不属于B.（2）弱演绎闭合原则（公理2）：如果S劢T是语言L中的定理，且S∈B,那么T∈B.[2]（P78）根据凯伯格的弱协调性原则和弱演绎闭合原则，很容易消解彩票悖论。由于根据弱演绎闭合原则，无法从合理信念或背景知识汇集中演绎出"所有彩票都不会中奖",推不出某个任意的"第i张彩票不会中奖",从而得不出矛盾命题"第i张彩票会中奖（第i张彩票不会中奖）",悖论被消解。但演绎闭合是经典逻辑的基本特性之一，而合取闭合更是广为接受，凯伯格修改经典逻辑的策略不足以令逻辑保守主义者信服。因此，更多哲学家和逻辑家的立场是对合理相信和接受的实质性条件洛克论点进行限制或修改。（二）限制洛克论点这一路径以范·弗拉森（van Fraassen）、瑞恩（Sharon Ryan）、尼尔金（Dana K.Nelkin）、都汶（IgorDouven）等人为代表。范·弗拉森认为，信念被接受的必要条件是它是确定性的而非概率性的[3],从而完全抛弃了高概率接受的洛克论点。他的这一观点在接受的意义上显然太强，除非他所说的接受是指将信念接纳为知识。毕竟在信念接受的日常意义上，我们是承认高概率接受规则的。譬如当下手机天气预报的常见形式是："某月某日14时至16时降雨的概率是80%."我们通常会接受这一预报并采取相应的防雨措施。与范·弗拉森不同的是，瑞恩、尼尔金、都汶等人将相关的竞争性概率陈述看作一个汇集，在该汇集内讨论相干陈述可以合理接受的各种原则。瑞恩的避免错误原则：对任何相竞争陈述的集合L,如果（1）S有良好理由相信L中每个元素为真，并且（2）S有良好理由相信L中至少有一个成员为假或者对L中是否至少有一个成员为假悬置判断是得到辩护的，那么，S相信L中任何相竞争的单个陈述都是没有得到认识论辩护的。[4]
显然，在彩票案例中，根据抽奖活动的规则，认知主体S有良好理由相信相关竞争陈述汇集中至少有一个为假。根据瑞恩的避免错误规则，我们不能从认识论上有根据地接受其中的任何一个命题，悖论得到消解。尼尔金认为，瑞恩的避免错误原则特设性太强，不能解释我们不能合理相信"第i张彩票不会中奖"的深层原因。在尼尔金看来，认为认知主体S关于"第i张彩票不会中奖"的信念，建基于他对该张彩票不会中奖的概率的信念，即S根据的是这样一种P形式的推理：P具有统计概率n（n非常接近于1）→P.以此为出发点，尼尔金对我们不能合理相信"第i张彩票不会中奖"给出的理由是存在这样一种"P推理".她把这种理由称为"统计性支持理由".[5]因为P推理显然是概然性推理，依据这种推理，关于某些相干概然性命题的信念集有可能是不融贯的。都汶进一步对这种相干陈述或命题汇集中的元素进行限制，即其中的某个（些）元素基于其他某个（些）元素及背景信念的条件概率比其原来的概率低。[6]
都汶的非概率性自毁原则：对于时间t的某个认知主体S来说，（1）如果根据S在时间t的信念状态，命题φ的概率超过ε；（2）命题φ不是一个概率性自毁集中的元素，那么，他接受命题φ是合理的。都汶在如下意义上使用概率性自毁集这一概念：相对于一个认知主体某时的信念状态，一个命题集是概率性自毁集，仅当，只根据该主体此时的背景信念而没有其他证据的情况下，他对该集合中的每个命题的相信程度超过ε，而根据他的背景信念以及该命题集中的m个或更多个元素，他对该集合中的每个命题的相信程度等于或低于ε。
在此，ε是一个假定的概率临界值；1≤m且小于该命题集中元素的个数。根据概率性自毁集概念，由"第i张彩票不会中奖"构成的信念集显然是自毁集，从而理性主体不能合理地接受该信念集中任何一个信念，悖论被消解。（三）修改洛克论点莱维（I.Levi）是采取这一路径的代表人物，他认为，信念的接受不能仅建立在概率之上，而要考虑信念的认知效用。[7]（P2.5）为此，他提出认知效用接受规则：拒绝接受基本划分Ue中的假说ai,P（ai,e）<q（cont（┓ai,e）），即如果EU（ai,e）<0,则拒绝接受假说ai.将基本划分Ue中所有未被拒绝的假说的析取（记为h*）接受为最强的假说。q（cont（┓ai,e））指假说ai的拒绝程度。在采用标准信息测度的情况下，对于有n个元素的基本划分Ue中的所有基本假说a来说，它们的拒绝度都是q/n.当P（ai,e）<q/n时，ai被拒绝。具体到彩票案例，基本划分Ue是由100万个形如"第i张彩票会中奖"的基本假说构成的集合，每张彩票中奖的概率P（ai,e）=1 / 1000000.根据莱维的标准正则信息测度定理m（a,e）=cont（┓a,e）=1/n,可以得知每张彩票的信息概率m（a,e）=1 / 1000000,其拒绝度q/n等于q/1000000.由于0<q<1,所以，P （ai,e）>q（cont（┓ai,e）），即EU（ai,e）>0,从而没有一个假说被拒绝。根据认知效用接受规则（1），我们应该接受的是a1∨a2∨……∨a1000000,但并没有断定是否可以接受合取式语句。这样，彩票悖论就不会产生。这一路径上的新进展是凯文·凯利（KevinT.Kelly）等人最近提出的几何。逻辑方案[8],它界定了一个能接受非确定性命题但不会产生矛盾的非限定性接受规则。尽管它们都能解决彩票悖论，但学界普遍认为认知效用路径上的方案技术上过于复杂，并且不符合认知实践。
三、彩票悖论是断言悖论而非信念悖论尽管前述方案在形式技术上都能较好地消解矛盾，但它们都有一些实质性缺陷。[9]（P176.210）既然如此，厘清所有这些方案共同的前提或出发点，对之加以反思、修正或拒斥可能是更好地解决彩票悖论的一个新路径。前述所有代表性方案的一个共同出发点是：彩票悖论是关于合理相信或接受的悖论；共同的消解策略是制订合理相信或接受的必要条件，即合理相信或接受的规范（norms），其差别在于制订的规范不完全一样。并且，这些方案基本上都是质疑作为信念合理相信或接受之实质条件的洛克论点（凯伯格方案例外）。作为逻辑保守主义者，笔者认为，彩票悖论的导火索可能正是洛克论点，或者，更准确地说，是对洛克论点的误读或误表达。回到彩票悖论案例。根据抽奖活动规则及相关背景知识，现在所有的证据是：（1）有一张彩票会中奖；（2）一百万张彩票中的任意一张中奖的概率是1/1000000,从而任意的第i张彩票不中奖的概率是0.999999.根据洛克论点，从上述证据可以得到的命题是"S可以合理相信（接受）第i张彩票不会中奖",而不是"第i张彩票不会中奖".前者的逻辑形式是BSpi,而后者的形式是pi.也就是说，依照洛克论点，严格说来，从现有证据能得到的命题集只是{1≤i≤1000000|BS~pi}.经典合取闭合可以保证从~p1,~p2, ……~pn得到~p1∧~p2……∧~pn,但它不能保证从BS~p1,BS~p2…… BS~pn可以演绎地得到BS（~p1∧~p2……∧~pn）。认知逻辑中没有这样一个闭合规则。即便有这样的信念合取闭合规则，我们能得到命题"S相信所有彩票都不会中奖",从而得到对任意的i,"S相信第i张彩票不会中奖",但根据证据我们能断定的命题是"第i张彩票会中奖",而BS~pi∧pi无论如何不是矛盾命题，因此，学界广为讨论的彩票悖论也许只是一种幻象，并不是严格的悖论。
可能有这样一种反对意见：根据抽奖规则，作为证据的命题pi"第i张彩票会中奖"是我们的知识，根据知识是得到辩护的真信念这一经典知识定义，可以从现有证据衍推出"S相信第i张彩票会中奖".从而可以得到："S相信第i张彩票不会中奖"并且"S相信第i张彩票会中奖".似乎我们还是可以得出"矛盾",人类理性仍然面临彩票悖论的挑战。但情况并非如此。这一命题的逻辑形式为（BS~pi∧BSpi），而不是BS（~pi∧pi），更不是（~BSpi∧BSpi）。（BS~pi∧BSpi）最多只表明认知主体S的信念系统不一致，它没表明主体S相信了一个矛盾，更不用说它根本不是矛盾命题。根据悖论的一般定义，如此理解的彩票案例显然不满足悖论的必要条件，因此作为合理相信和接受的"彩票悖论"并不是悖论。上述论证表明，从作为内在心智状态或命题态度的信念视角来看，凯伯格的彩票案例向我们展示的并不是学界通常认为的较为严格的合理信念或知识接受悖论，因为它不满足任何合理意义上的悖论的构成要素之一，甚至从该案例不能得出真正的矛盾命题。如果我们转化视角，从外在的言语行动视角来看，彩票案例可能会是另一番景象，它可能是一个真正的悖论，是对人类认知理性的真正挑 战。基 于 证 据 每 张 彩 票 中 奖 的 概 率 是1/1000000,在说出（uttering）"第i张彩票不会中奖"时，实际上是在作一个断言（asserting）的言语行动，该言语行动断定的内容是第i张彩票不会中奖，不是表达"我相信第i张彩票不会中奖"这个信念，也不是断定"我相信第i张彩票不会中奖".因为如果是后两者，我们又回到了前面论证过的合理相信或接受视角，从而彩票案例不构成悖论。断定某个命题意思是说断定该命题为真。由于i从1到1000000的任意数字，断定第i张彩票不会中奖时，实际上就断定了所有彩票都不会中奖。于是对任意的i都有~pi.根据背景知识有pi,从而~pi∧pi,即得到了一个严格意义上的矛盾命题。不难看出，得出这一矛盾依赖的条件为：（1）不矛盾律；（2）经典合取闭合原则；（3）断定原则：如果一个命题具有很高的概率，那么可以合理断定该命题。前两个条件为逻辑条件，第三个是非逻辑的实质性条件。需要强调指出的是，此处两个逻辑条件比信念版本的彩票悖论依赖的协调性原则和信念的合取封闭原则更严格。
不矛盾律是人类思维的三大基本规律，如果没有这一要求，显然得不出任何悖论。此处涉及的合取闭合原则与前述信念的合取封闭原则不同，它是经典命题逻辑的基本逻辑特性。第三个条件则是前述洛克论点的"断言"形式。"断定原则"在科学和日常生活中都一直实质性地起作用。科学家在大量科学证据的基础上提出某个理论，在说出或使用肯定性语句将它们表达出来的时候，他们实际在下断言。这些断言断定的东西就是断言的内容，或者说命题内容。某人说"我明天出门不会遇车祸"时，他在断言明天没有车会撞上他，他不会受伤，并且他认定事实会是如此。在这些案例中，我们通常不会认为科学家和他人作这样的断言是非理性的。换句话说，我们作这样的断言是高度合理的。这些案例为"断定原则"的合理性提供了辩护。在从公认的背景知识出发，经过较严密的逻辑推导得出一个矛盾命题这个意义上，前述彩票案例是一个货真价实的悖论。矛盾命题之得出所依赖的三个条件的高度合理性为它的严格性提供了辩护。综上所述，信念视角下的凯伯格彩票案例实际不像学界通常所认为的是一个较为严格的悖论；使之严格悖论化的一个途径是在作为言语行动的断言视角下看待凯伯格的彩票案例。也许有另外的途径可以将彩票案例悖论化，但这不是本文必须处理的问题。因此，如果彩票案例要成为悖论，那么它可能是作为断言的悖论，而不是作为合理信念的悖论。
四、对作为断言悖论的彩票悖论的消解作为断言悖论的彩票悖论之构造所依赖的三个条件都具有很强的合理性。根据拉卡托斯（Imre Lakatos）的科学研究纲领方法论，后两个逻辑条件属于"硬核",而笔者所称作的"断定原则"则属于"保护带".科学研究纲领方法论建议我们在遇到反常时先修改"保护带".于是，彩票悖论的解决就转化为认知主体在何种情境下才可以合理地下断言，或者说，断言的规范是什么。假设在凯伯格所说那样的公平抽奖活动中，我对朋友说"你的彩票不会中奖",但不告诉他理由。此时，我在对我朋友的这次抽奖行动的结果下断言，断定他不会赢得那笔奖金。我的断言高度合理：我作这番断言是基于强有力的证据…每 张 彩 票 不 会 中 奖 的 概 率 高 达0.9999999.但事实上彩票悖论还是产生了。这说明断言的规范不能仅仅是证据甚或是非常强有力的证据。也就是说，断言的下述证据规范不能避免悖论，从而是不合理的：S断定p,仅当S对p有很强的支持性证据。因此，需要寻找比证据规范更强的规范。在我向朋友断言他的彩票不会中奖时，我就向他传达了我有下此断言的权威这一信息。
这种权威可能是我有关于此次抽奖活动的"内幕消息".但断定为真的命题不一定事实上为真，被断定为真和事实上为真不是同一回事。有可能我朋友的那张彩票恰好就中奖了。于是我（并非虚假地）作了一个虚妄断言。这是因为我事实上没有这种权威，即我本来没有下这样断言的权利。又如，一个股票经纪人对他的客户说"（我推荐的）这支股票会大涨",他给客户传达的信息是：股票经纪人断定这支股票会大涨，很可能因为他有该股票的内幕信息。但这支股票可能会跌，因为他没有这样的内幕信息，他没有作这样断言的权威。换句话说，在这两种情况下，断言者都不满足下断言的必要条件。
不难看出，上面两个案例有一个共同点："我"和"股票经纪人"断定的东西都不一定事实上是真的。反过来，如果我们要求被断定的东西必须在事实上是真的，情况会如何呢？也就是，我们可以提出下述关于断言的原则：断定的知道原则：断言者S断定p,仅当S知道p是真的。笔者不打算对断言的知道原则进行系统性辩护，原因在于这一原则的强化形式是威廉姆森的"断言的知识规范",而威廉姆森对该规范所做的有力辩护均可用于对知道原则的辩护[10]（P243.260）。在此，笔者只指出如下共识我们只能对我们知道的东西下断言，这是（真实的）言语行动所应遵循的准则，否则是妄言而不是断言。另外，这一规范具有强大的解题能力，即利用断定的知道规范可以有效地避免彩票悖论。在彩票案例中，由于我没有内幕消息，我不知道我朋友的那张（任意的）彩票是否会中奖，因此，我没有权利断定他的那张彩票不会中奖，从而我没有权利断定所有彩票不会中奖。彩票悖论不会产生。如果我有内幕消息，譬如我事先知道中奖的号码，我知道朋友的那张彩票没有中奖，我有权下此断言，但我没权断言那张印有中奖号码的彩票没有中奖，彩票悖论也不会产生。
如果我根据内幕消息知道我朋友的彩票会中奖，我无权也不会（真实地）断定他的彩票不会中奖，悖论也不会产生。这一方案的实质是强化断定的要求，用断定的知道原则来替代产生悖论的断定的（高概率证据）原则。也许，我们可以构想出断定的其他规范，这一（些）规范可以有效地消解彩票悖论但不会产生新的悖论，并且与我们的日常言语行动实践高度吻合，这正是本文所揭示的进一步研究方向。