彩票中奖概率数学模型探析

　　一、提出 & 分析问题

　　1. 假如有一个投资商想在公园投资开办一个类似彩票的抽奖娱乐项目，投资费用如下：房租：12 万元 / 年；公园管理费及工商税：2000 元 / 月；雇两个职员，每人 3000 元 / 月。

　　预设有两个抽奖规则方案： A.抽奖项目规则如下 在一个不透明的红色箱里有 10 个同样规格的乒乓球，上面分别标着数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数字，每次抽奖费用为 2 元，抽奖办法是： ⑴每次从箱中取出一个球，连续取四次，不计取球顺序，规定如果4个球的数字连续，如0123、1234……等数字（每组四个数的最大数字不超过 9），那就是一等奖。

　　2. 每次从箱中取出一个球，连续取三次，不计取球顺序，规定如果 3 个球的数字连续，如 012、123……等数字（每组三个数的最大数字不超过 9），那就是二等奖。如果连续取四次，只有三个数字连续，3. 计和概率问题 以 A 抽奖方案建立模型 摸第一个球时有 10种选择，第二个则有 9 种选择，第三个有 8 种选择，第四个有 7种选择。所以总共有 10×9×8×7=5040 种组合。 一等奖四个球的数字组合为 0123、1234、……5678、6789 共 7 种。以数字组合0123 为例分析一等奖的抽法种类的数量：序号 1 2 3 4 5 6 … … 19 20 21 22 23 24 第一个球 0 0 0 0 0 0 …… 3 3 3 3 3 3 第二个球 1 1 2 2 3 3 … … 0 0 1 1 2 2 第三个球 2 3 13 1 2 … … 1 2 0 2 0 1 第四个球 3 2 3 1 2 1 … … 2 1 2 0 1 0由上表可见每组数字有 4×3×2×1=24 种抽法，所以一等奖四个球的数字组合的中奖抽法共有 7×24=168 种。 那么一等奖的中奖率为 168÷5040 ≈ 3.3%. 同理：二等奖摸三个球，所以有10×9×8=720 种组合，二等奖的数字组合为 012、123……789 共8 种 同上表的的排列方法一样，每组数字有 3*2*1=6 种摸法，所以二等奖中奖摸法共有有 6*8=48 种。 那么二等奖的中奖率为48÷720 ≈ 6.7%.

　　解：设每月有 X 个人抽奖。 500*3.3%X+50*6.7%X+3000*2+2000+120000/12=2X X ≈ -1008 所以 A 方案不可行，按照依据概率统计分析只要营业就亏损。 以 B 抽奖方案建立模型4. 摸第一个球时有 10 种选择，第二个则有 9 种选择，第三个有 8 种选择，第四个有 7 种选择。所以总共有 10×9×8×7=5040种组合。 一等奖四个球的数字组合为 0123、1234、……5678、6789 共 7 种。由于 B 方案中一等奖的每种数字组合中的 4 个数字不分摸球的顺序，所以一等奖四个球的数字组合的中奖抽法也是7 种。 那么一等奖的中奖率为 7÷5040 ≈ 0.14%.

　　同理：二等奖摸三个球，所以有 10×9×8=720 种组合，二等奖的数字组合为 012、123……789 共 8 种，同上 B 方案中二等奖的每种数字组合中的 3 个数字不分摸球的顺序，所以二等奖三个球的数字组合的中奖抽法也是 8 种。 那么二等奖的中奖率为8÷720 ≈ 1.1%. 解：设每月有 X 个人抽奖。 500*0.14%X+50*1.1%X+3000*2+2000+120000/12=2X X=24000 因此 B 方案要每月卖出 26000 张票才能收支持平。

　　二、结论及思考

　　通过以上的概率数学模型计算，得出结论：每月必须卖出26000 张彩票，即每天卖出约 766 张，才能收支平衡，因此对于该项目的投资前景还不能做出结论，还要调查该公园的月平均客流量和客人的抽奖类消费金额等数据，进行综合分析。 思考：通过对上述数学模型计算时发现，如果象福利彩票要奖的方式，那么中奖率和中奖数字的位数、参与摸奖的球的数量的关系：中奖率 1*110~1*2 10~1.4*3 10~2*4 10~9*7 10~3.5*810~2.5*9 10~1.9*10 10~中奖号位数 1 2 3 4 5 6 7 8 摸奖球数量 10 10 10 10 20 20 20 20以上是各个位数的中奖率，我们可以看出，投资一应定要精打细算，将实际问题通过一种数学模型来进行投资受益分析，这样才能减少投资风险反思数学建模是一个长期对于生活观察积累的过程，正因为如此，我们才能有所进步。希望自己通过此次训练得到应有的水平提高。希望能够更加贴近生活进行学习。