射影几何学的历史脉络探讨

几何学论文精选10篇之第六篇：射影几何学的历史脉络探讨

　　摘要：射影几何属于非欧几何范畴， 主要研究几何图形的射影性质。19世纪， 利用综合法研究射影几何取得令人瞩目的丰硕成果， 并促使得射影几何发展为一门独立的学科。本文以射影几何中的重要概念、思想、方法为出发点， 围绕研究核心数学家的学术背景、思想来源和理论拓展， 力图为综合法射影几何学勾勒出一条较为清晰的历史脉络。

　　关键词：综合法； 射影几何； 历史；

　　Abstract:

　　Projective geometry belongs to the category of non Euclidean geometry, and the projective properties of geometric figures are mainly studied.In nineteenth Century, the comprehensive method was used to study projective geometry with remarkable achievements, and the projective geometry was developed into an independent subject.In this paper, some important concepts, ideas and methods as the starting point, to expand the research on core mathematicians academic background and sources of thought and theory, trying to outline a clear historical context for the comprehensive method of projective geometry.

　　Keyword:

　　Comprehensive method; Projective geometry; History;

　　射影几何学是17世纪最伟大的数学发现之一， 是研究几何图形射影性质的一门几何学， 拥有对偶原理、连续性原理、蝴蝶定理等优美的数学原理和内容。追溯射影几何的发展过程， 可以发现射影几何学的发展伴随着综合法和解析法两种研究方法的发展。19世纪， 在法国数学家蒙日及其数学学派的研究下， 利用综合法来研究射影几何， 使沉寂了一百多年的射影几何其得到了前所未有的复兴和繁荣， 将射影几何的研究推向了一个新的历史发展局面。

　　一综合法射影几何学的复兴

　　蒙日是19世纪法国伟大的数学家， 于1799年创立了画法几何学。在画法几何学中， 蒙日利用斜截和透视的思想讨论了将三维图形投影到二维图形的方法， 即用二正交投影面定位的正投影法， 该方法被广泛的应用在建筑学、透视学等领域。投影法在蒙日的画法几何学中发展的投影法日趋科学化、系统化， 为射影几何学的诞生奠定了良好的理论基础。特别的， 在代数学盛行的学术背景下， 缘于蒙日在科学界、教育界的伟大影响力， 有众多的学生受其影响投身于几何学的研究中去， 并形成了特点鲜明的蒙日数学学学派为数学的发展贡献了巨大的力量。

　　卡诺， 法国著名的数学家， 是蒙日在皇家军事工程学院的学生。受蒙日影响， 喜欢研究几何问题。区别于蒙日的解析法， 卡诺更倾向于使用纯粹几何的方法研究问题。对卡诺而言， 解析方法破坏了几何学自身的美好和论证技巧， 为此他投身于纯粹几何的研究之中。利用纯粹几何方法研究射影问题， 就是综合射影几何学。卡诺在著作《位置的几何学》、《斜截理论》中， 讨论了完全四边形和完全四角形的性质， 分析了四个点和四条直线的交比和及其射影不变性， 为射影几何做出了突出贡献， 展示了应用纯粹综合方法研究几何的途径， 开启了综合射影几何的复兴之路。

　　二综合法射影几何学的繁荣

　　射影几何作为独立的数学分支， 主要源于庞斯列的工作。庞斯列， 也是蒙日在皇家军事工程学院的学生。1813年， 受法国动乱影响庞斯列毕业后成为拿破仑军队的军事工程师， 并在入侵俄国的战争中成为战俘被囚禁于俄国的监狱中。尽管监狱中的生活非常困苦， 庞斯列仍然坚持不懈的进行研究， 重新整理了从蒙日和卡诺那里学到的几何知识， 并成为综合几何学的忠实支持者。在狱中， 庞斯列撰写了《分析学和几何学的应用》、《论图形的射影几何》两部著作。正是这两部著作的内容， 奠定了庞斯列的射影几何之父的地位。

　　1822年， 在庞斯列出狱的第8年， 著作《论图形的射影几何》才得以发表。在《论图形的射影几何》中可以发现， 庞斯列已经认识到射影几何是一个具有独特方法和目标的数学分支。区别于以往只讨论特殊问题的数学家， 庞斯列考虑了射影几何学中更为一般和本质的问题：几何图形在任意投影下所有截影都具有的共同性质， 即投影变换下截影的不变性。[1]不仅如此， 庞斯列给出了射影几何与度量几何的区别。为使射影几何从欧式几何中抽离出来， 从而确立起射影几何的属性， 庞斯列发展了利用中心投影来研究对合与调和点列的理论并在射影图形、连续性原理、以及圆锥曲线的极点与极线中得到开拓性的重要研究。

　　深受庞斯列射影几何工作的影响， 瑞士数学家施坦纳1832年发表了《几何学相互依赖性的系统发展》， 发展了从简单图形导出复杂图形的新的综合几何方法， 并将点、线上的对偶原理扩充圆锥曲线和圆锥曲面上， 成为综合射影几何学的集大成者。施坦纳将圆锥曲线看作两个射影相关线束对应射线的交点的轨迹， 是第一个不把圆锥曲线看作圆的投影的人。通过这种途径， 施坦纳在点列、线束、基本形、高阶曲线、曲面等之间建立了1-1对应的关系。这种创造性的构想为施坦纳进一步研究射影几何中更为抽象、复杂、纯粹的领域开辟了便捷的道路， 并使综合法的技巧发展到了炉火纯青的地步。但是， 这里需要指出的是， 无论是庞斯列还是施坦纳， 在他们的工作中仍难以避免使用距离这个度量概念， 而度量概念是不属于射影几何的。这意味着无论是多么精妙的综合法， 最终也无法真正揭示射影几何的本质， 更无法厘清射影几何与欧式几何之间的逻辑基础。

　　直到1847年， 德国数学家施陶特在《位置的几何学中》， 用完全摆脱长度的方式重新阐述了射影几何学的思想。施陶特用"投"的几何作图法， 引入相应点的坐标。这些坐标不具有度量概念， 但服从代数运算。施陶特用纯几何的方法建立了关于射影直线上点的射影运算理论， 并给出了交比的现代表达式。施陶特的方法具有显著的普适性， 能轻而易举地适用于实、虚不同的情况。在施陶特的工作下， 证明了射影几何学不需要借助欧氏几何学的任何结果来理解， 是一门比欧式几何还要基础的几何学。至此， 施陶特的工作将综合射影几何推至最巅峰的时期。

　　三射影几何几何研究的代数化

　　受法国资产阶级大革命影响， 19世纪民主精神和重视数学教育的风尚遍及法国。当人们惊叹于蒙日课堂上三维图像形象、科学的跃然于工程图纸上时， 在许多青年学者心中早已种下了追随传统几何的种子。以蒙日为首的数学家， 引领鼓励着大批的青年学者步入几何的研究领域， 并推动了综合射影几何学的复兴和繁荣。但是， 利用综合法研究射影几何也不免存在弊端。利用综合法研究射影几何， 不仅需依赖研究者高超的几何证明技巧， 还很难将取得结论在涉及虚元素、高维空间时一般化推广。所以， 从19世纪30年代开始， 以麦比乌斯、普吕克为首数学家开始致力于用解析的方法研究射影几何， 并取得丰厚的成果。自施陶特之后， 繁盛长达半个世纪的综合射影几何学逐渐被解析射影几何学代替， 成为研究的主流。1872年， 以抽象几何学本质属性为目标， 克莱因在《爱尔兰根纲领》中提出"几何学只是研究空间形式相对于一条已知的固定圆锥曲线 （无穷远虚圆） 的射影性质", [2]至此利用综合法研究射影几何完全退出历史舞台。

　　参考文献
　　[1]莫里斯·克莱因。古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社， 2002
　　[2]邓明立， 张红梅。群论统一几何学的历史根源[J].自然辩证法通讯， 2008, 1:75-80.