不同尺度模型的界面连接原理和算例

　　引言

　　随着有限元技术的迅猛发展，工程计算的准确性和效率越来越受到重视。目前常用的计算类型有：(1)基于杆系模型、壳模型等宏观模型的整体结构的非线性计算；(2)基于实体单元的微观模型精细化分析。

　　宏观模型的物理意义明确，计算效率高，但不能反应出结构局部损伤的发展过程和破坏机理，如结构的局部失稳、节点疲劳破坏等。微观模型的精细化分析，虽然可以较好演示结构的局部破坏过程，但由于目前计算能力的限制，实际复杂结构完全依赖于实体单元的精细模型是不现实的。而从整体结构中取出局部构件进行精细分析，又难以准确模拟其边界条件。因此，目前工程计算需要一个同时能够控制计算量和反映结构局部损伤过程的计算模型。多尺度计算模型就是其有效的解决途径。

　　近些年来，国内外的研究人员对于多尺度模型进行了一些研究探索和实践，为结构损伤分析提供了有效的模拟方法。多尺度模拟计算也逐步得到广泛地应用，但是如何保证不同尺度模型之间界面连接的科学合理仍有待商榷。由于不同尺度单元结点自由度和精度的不同，计算时单元之间的界面连接需要根据变形协调或力的平衡进行处理，既不损失宏观模型自由度，也不增加微观模型的额外约束。因此，如何实现模型单元在不同尺度之间的过渡是必须解决的问题。

　　本文试图从研究结构构件在宏观、细观尺度下的不同特征出发，通过有限元软件 ABAQUS 建立多尺度模型，对比两种界面连接方法(变形协调和力的平衡)的影响，进而对某三层钢筋混凝土框架进行多尺度计算分析。结果表明，多尺度模型不仅能实现整体结构受力行为的模拟，并且能反映出关键部位的受力变化，是准确研究结构损伤的有效途径之一。

　　1、 不同尺度模型的界面连接原理

　　目前，工程结构中不同尺度单元的连接情况有三种：梁单元与实体单元、梁单元与壳单元、壳单元与实体单元。因为不同尺度模型单元之间的连接原理基本相同，下面以梁单元-实体单元的连接为例，说明连接处理的基本原理和方法。三维空间中，由于实体单元节点只有三个平移自由度，而梁单元还存在三个旋转自由度，本文遵循平截面假定原则实现多尺度模型的界面连接。

　　1.1 变形协调原理

　　图1为梁单元与实体单元在弯矩和轴力作用下节点位移协调的二维示意图。设实体单元节点Si的X轴向位移为△xsi，Z轴向位移为△zsi；梁单元节点B的X轴向位移△xB，Z轴向位移为△zB，Y方向转角为α。显然梁单元节点B和实体单元节点Si的位移耦合。

　　当实体单元主动变形时，梁单元节点B的位移可以由实体单元界面上的所有节点决定，表示为：

　　1.2 力的平衡原理

　　式中，A为实体单元截面面积；Ai为实体单元节点Si的影响面积；I为实体单元截面形心轴方向的惯性矩。

　　2、 界面连接算例

　　根据上述原理，本文利用通用有限元软件 ABAQUS，实现不同尺度单元的连接。以一个边长 0.2m，长为 2m，一边固定端，另一边自由的正方形混凝土柱加载算例来验证连接方法的准确性。材料的弹性模量为 30GPa，泊松比 0.2，建立的有限元模型如图 3 所示。A 模型全部采用实体单元；B1、B2、B3 均为多尺度模型，一段采用实体单元，另一段采用纤维梁单元，分别运用变形协调和力的平衡处理连接方法进行多尺度连接，三个模型的差别在于多尺度界面位置不同；C 模型全部采用梁单元。

　　2.1 静荷载作用影响

　　在模型顶端施加剪力 1000kN 或轴力 100kN，其应力分布分别。施加剪力时，无论是运用变形协调处理连接的模型还是运用力的平衡方法，五个构件的变形和应力云图都非常一致，且界面区域未出现应力集中问题，说明界面单元连接实现了变形协调。当施加轴力时，运用力的平衡方法处理连接的模型，其变形和应力云图均非常一致，如图 5(b)所示。

　　当运用变形协调处理连接时，中间 3 个多尺度模型与完全是实体单元模型的应力不一致，界面区域与柱底固结区域一样，出现应力分布不均现象，如图 5(a)所示，实体单元界面上的节点由于“泊松效应”在截面内出现了约束。因为梁单元是一维模型，在对称轴力作用下节点 B 垂直梁轴线方向的位移为 0，所以由等式(1)可知，实体单元界面上的节点 Si相应的位移也为 0。

　　2.2 动荷载作用影响

　　选用 1940 年 El Centro 波的峰值段，对五个模型施加地面运动加速度时程，曲线如图 6 所示。图 7(a)、(b)、(c)分别为运用变形协调或力的平衡方法连接的 B1、B2、B3 模型的柱顶位移时程曲线。可以看出，两种界面连接方法的计算结果十分一致。图 8 为 A 模型、B 模型、C 模型的柱顶位移时程曲线图。五个模型的位移反应曲线在地震荷载前段非常一致，但在后段其反应幅值存在差异。主要原因是由于梁单元和实体单元在判别材料进入塑性的准则有所不同以及不同单元尺度本身的动力特性的差别。

　　算例表明，在静荷载作用下，运用力的平衡方法处理界面连接比运用变形协调方法更准确。在动荷载作用下，两种界面连接方式都是可行的。比较而言，运用力的平衡连接方法可以实现单元不同尺度间的过渡，从而可以将精细模型植入整个宏观梁单元模型结构中，进行多尺度结构计算。

　　3、 结构算例

　　钢筋混凝土框架结构是比较常用的建筑类型之一，国内外的模型研究主要针对实体模型或者杆模型，对多尺度模型研究较少。因此，本文以某三层钢筋混凝土框架结构为研究对象，进行结构损伤多尺度计算分析。框架底部固定，在底层柱脚设计了拉梁，以考察拉梁对柱子的约束影响。在柱顶施加固定竖向力，梁端按比例递增方式施加位移，简化示意图见图 9。通过有限元软件 ABAQUS 建立的结构多尺度模型如图10 所示。由于结构节点处是易损区域，所以在多尺度模型中，将节点作为损伤的关键部位建立实体模型，其他部分则采用宏观尺度的梁单元，运用力的平衡方法进行不同单元之间界面的连接。实体部分采用分离式模型，见图 11。混凝土材料本构采用 Jeeho Lee(1998)的混凝土塑性损伤模型，钢筋为双折线模型。

　　图 12 为整体框架的荷载-位移滞回曲线。将计算结果与试验结果进行比较，发现在框架加载后期，随着荷载循环次数的增多、位移的增大，钢筋混凝土框架受拉区域承载力及刚度不断降低。模型的滞回曲线与实测曲线虽有一定的偏差，但基本能反映出曲线的变化趋势。可见，多尺度模型不仅能实现整体结构受力行为的模拟，并且能反映出关键部位的受力变化，因而是准确研究结构损伤的有效途径之一。

　　4、 结论

　　(1) 根据变形协调原理处理多尺度模型界面连接时，在轴力作用下，由于材料的“泊松效应”，导致实体单元界面节点在截面内产生约束，出现应力不均匀现象，与实际受力状态不符。运用力的平衡方法处理多尺度模型界面连接时，可以有效实现不同尺度单元之间的过渡，从而可以将精细模型植入整个宏观梁单元模型结构中，进行多尺度结构计算。在静荷载作用下，运用力的平衡方法处理界面连接比运用变形协调方法更符合实际受力情况。在动荷载作用下，两种界面连接方式都是可行的。

　　(2) 本文给出了钢筋混凝土框架结构的多尺度计算算例，运用力的平衡原理处理界面连接，将精细节点模型植入由梁单元构成的宏观框架模型中。结果表明，多尺度模型不仅能实现整体结构受力行为的模拟，并且能反映出关键部位的受力变化，是准确研究结构损伤的有效途径之一。

　　参考文献：
　　[1] 林旭川, 陆新征, 叶列平. 钢-混凝土混合框架结构多尺度分析及其建模方法[J]. 计算力学学报, 2010, 27(3): 469-475.