中美两国中学生数学能力目标设置的差异

　　近年来，PISA、TIMSS、IAEP等国际数学教育研究结果显示，中美两国学生的数学成绩及数学能力存在较大差异，这与中美两国数学能力目标的设置有密切关系。中美两国数学教育都在不断改革和发展中，从两国近六十余年的历史演进来看，中国以三大能力为基础，不断拓宽能力范畴，数学能力目标具有系统性和连续性：运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力是中国历史上根深蒂固的基本数学能力，与问题解决能力、推理能力、数学表达和交流能力构成当前中国数学能力框架体系；美国以问题解决能力为核心，不同时期能力导向各异，数学能力目标具有波动性和跳跃性：问题解决、数学推理、数学联系、数学交流、数学表达能力构成当前美国数学能力框架体系。六十余年来，中美两国数学能力目标有不断趋近的趋势，但中美学生数学能力的差异可能会长期存在。了解中美两国学生数学能力目标设置的差异，探求其根源，批判地借鉴和吸收美国初中学生数学能力目标的合理之处，认识其不足，对我国初中学生数学能力培养目标的制定有一定的启示。

　　一、中美两国初中学生数学能力目标整体范畴的对比。

　　以中美两国现行的数学课程标准为文本依据，比较中美初中学生数学能力目标的整体范畴和具体设置。其中，中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“中国《标准》”）由中华人民共和国教育部制定，是我国义务教育的纲领性文件；《美国学校数学教育的原则和标准》（以下简称“美国《原则和标准》”）由美国国家数学教师理事会 （NCTM） 于 2000 年 制定并颁布，是各州制定各自标准和学校开展数学教育的指导性文件。

　　（一） 能力目标均以“内隐”形式出现。

　　中国和美国均未在课程标准中明确提出初中学生的数学能力目标，数学能力均以“内隐”的形式蕴含在标准之中。其中，中国《标准》以“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”的内容标准为主，通过总目标和学段目标中的知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等渗透数学能力目标；美国《原则和标准》的内容标准和过程标准并重，过程标准包括问题解决、推理与证明、交流、关联、表征，体现了在获得和应用数学知识方法上的要求，数学能力目标与五个过程标准相对应。美国数学能力目标尽管同样“内隐”,但相对中国模糊的提法要更为明确。

　　（二） 能力目标范畴设置存在区别。

　　中美两国相同的初中学生数学能力目标是：问题解决能力、推理能力、数学表达和交流能力等，不同的是：仅在中国提及的有广义的运算能力（含数感、符号意识、运算能力、数据分析能力）、思维能力 （含抽象思维能力和形象思维能力）、空间观念 （含几何直观），仅在美国提及的有数学关联能力和数学表征能力。

　　二、中美两国初中学生数学能力目标具体设置的对比。

　　（一） 相近能力目标的对比分析。

　　1. 问题解决能力是学生发展的关键能力。

　　第一，中美两国初中学生问题解决能力目标的相同之处是：①通过问题解决过程加深对数学概念的理解；②注重分析和解决日常生活中的问题；③注重问题解决中不同方法的运用；④问题解决过程包括反思环节。

　　第二，中美两国初中学生问题解决能力目标的不同之处是：①美国数学课程整体上以问题解决为基础，问题解决是学生数学学习的核心；②美国问题解决能力培养的首要目的是，“在遇到不熟悉的问题时知道该做什么”[1],培养学生善于思考的习惯；③中国针对当前学生数学能力的薄弱提出发现和提出问题的能力；④美国认为解决概率、统计、几何和有理数的综合问题比解决生活中的问题更为复杂；⑤美国通过问题解决培养学生检查自己思维的习惯，认识自己的优势和不足；⑥美国提出运用计算机和图形计算器解决复杂问题；⑦美国强调问题的设计对激发学生兴趣的作用和价值，中国还未将问题解决与学生兴趣培养建立起更为紧密的联系。

　　2.推理能力均包含合情推理和演绎推理。

　　第一，中美两国初中学生推理能力目标的相同之处是：①重视推理能力；②包含推理和证明两部分，推理是发现规律作出猜想，证明是检验猜想证明结论；③推理能力包括合情推理和演绎推理，合情推理用于探索思路发现结论，演绎推理用于检验规律证明结论。

　　第二，中美两国初中学生推理能力目标的不同之处是：①提出的时间起点不同：中国逻辑推理能力的萌芽自 1952 年第一个中学数学教学大纲提出，到 2001 年演变为推理能力，增加了合情推理，至今已有六十余年，而美国推理与证明能力在1989年首次提出，至今已有二十余年；②美国注重发现和探究能力；③中国合情推理重在归纳与类比，美国重在归纳，且学生需了解归纳的可能性及不足；④中国明确提出合情推理和演绎推理的关系；⑤中国强调个人活动发展推理能力，美国则强调团体交流发展该能力；⑥美国注重检验推理的可靠性，即证明的依据是否可以接受、是否正确、是否完整；⑦中国重视通过几何问题中作图、证明、计算的训练培养推理能力，但中国学生反证能力不强，而美国很重视反证法的应用，提倡学生辩论和质疑。

　　3.重视与自我和他人的数学表达和交流能力。

　　第一，中美两国初中学生数学表达与交流能力目标的相同之处是：①涉及学生与同伴、教师或其他人数学思维的交流互动；②包括分析和评价他人的思考方式、策略及结论的能力。

　　第二，中美两国初中学生数学表达与交流能力目标的不同之处是：①中国对数学交流能力的两种类型--自我交流和他人交流都比较重视，对自我交流的重视由来已久，强调自我思考和反省，与他人交流能力目标在近十年才开始关注，而美国近四十年都注重学生与他人交流，提倡合作互动，但未提及自我交流能力；②美国对数学表达和交流能力要求明确，认识深刻，而中国并未将其看作数学教育中的重要组成部分；③能力要求有所区别：中国要求“有条理、清晰地表达”[2],美国要求“精确地表达”[3],中国注重条理性，美国注重准确性；④美国对数学表达和交流能力的要求考虑了不同年级学生的年龄特点和心理特征。

　　（二） 不同能力目标的对比分析。

　　1. 中国以运算能力、思维能力和空间观念为基本能力。

　　（1） 含数感、符号意识、数据分析观念的运算能力内涵不断丰富。

　　中国六十余年来非常注重运算能力，且运算能力的内涵不断扩充。广义的运算能力包括数感、符号意识和数据分析观念，注重培养学生在数量关系、运算结果估计等方面的感悟，要求学生能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，根据法则和运算律正确地运算。美国自 1950 年至今的六十余年间，只在20世纪70年代初期“回到基础 （Back to Basis） ”运动的主旨思想影响下，将数学能力的培养重点转向读、写、算，注重再现性而非创造性的基本能力，其中就包括了数学运算能力。在此之后，美国没有再将运算能力作为一个独立能力明确提出。

　　（2） 增加形象思维和创造性思维作为思维能力目标的重要组成。

　　近四十年来，中国对思维能力的重视程度一直较高，且由单纯培养学生的逻辑思维能力转变为重视学生的抽象思维、形象思维和创造性思维等综合的思维能力，要求学生体会数学的基本思想和思维方式，运用数学的思维方式去观察、分析现实社会和解决问题。

　　美国并未将思维能力作为单独目标提出，但大量现实、情境化的案例显示：美国更加重视形象思维能力，图形、文字、实物多于符号，符号化和形式化不及中国，对抽象思维能力的重视不足。美国认为形象思维能够促进抽象思维的自然形成。然而事实上，具象化的表征和操作只能对培养抽象思维起到辅助作用。思维能力应是从具体到抽象、从思维的低层次向高层次发展。数学是锻炼学生思维能力的最好载体，过分关注形象思维的培养，甚至重于对抽象思维的培养，可能妨碍学生思维水平的提升。“绝大多数美国学生到8或9年级才学习代数，对算术到代数的过渡感到困难。其国内和国际评估（NAEP,TIMSS） 结果不理想，需要从更低年级开始发展学生的抽象思维能力”[4].

　　（3） 发展学生的空间观念和几何直观等空间想象能力。

　　从 1952 年到 2011 年，中国由空间想象能力转变为空间观念和几何直观，边界更清晰。空间观念主要是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等”;几何直观主要是指“利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果”[5].

　　2. 美国重视数学关联能力和数学表征能力。

　　（1）认识并应用数学观念间的相互联系美国数学关联能力目标是，“培养学生认识并应用数学观念间的联系”,“理解数学观念形成的整体”,“将数学应用于数学以外的情境”[6].美国认为，当学生能将数学观念联系在一起时，他们的理解会深刻而且牢固，会从中发现数学内容间的联系、数学和其他学科的关联。初中学生应认识到数学是一门包含观念相互关联的学科，应经常问自己这样的问题：“这一内容与我以前学过的内容有什么类似的地方？”当学生形成了数学是相互关联的整体观念后，他们将数学知识、数学技能、数学方法与实际应用结合起来的可能性就更大。

　　（2）强调多种表征形式的重要性。

　　美国要求学生能够“创造和利用各种数学表征来组织、记录和交流数学观念，选择、应用和互换各种数学表征方法解决问题，应用表征模拟并解释物理的、社会的和数学中的现象”[7].美国认为，表征数学知识的方式对于人们如何理解和应用这些知识至关重要。美国的数学表征强调多种表征的重要性，包括实物操作、图、表、图像、文字、符号化等形式。美国学生与中国学生在认知表征上的差异较大，中国学生在符号表征上远比美国同龄学生要好。

　　三、中美两国初中学生数学能力目标差异原因探析。

　　中美两国数学能力目标的差异根源在于中美两国具有不同的文化传统和教育思想。中国五千年的文化积淀，以儒家文化为主导，文化传承稳定性强，文化构成相对单一，外来文化的影响相对较小。美国是有两百年历史的移民国家，短时间内发展为政治经济强国，文化的传承性较小，不同种族的文化交融性很强，合作与交流在美国文化传承中的作用远大于中国。美国的“改造自然”与中国的“顺其自然”的认知世界方式，使得美国注重通过客观分析、实证调查、科学研究培养学生的科学精神和创新能力，而中国注重人对自然的有机适应，对创新能力重视不足。中国文化在于求人生之道，美国文化在于求事物之理。中国文化的内倾精神有助于人的修身自省，美国文化的外倾精神有助于科学的系统发展。由此引发的差异根源具体反映在思维方式、教育体制及目标、教育理念、数学文化及数学教育价值观等方面。

　　（一） 思维方式方面。

　　1. 中国注重数学的联系性，美国更看重数学的本质属性。

　　中国思维方式的联系性认为，世界万事万物是紧密联系在一起的，没有任何事物可以脱离其他事物而独立存在；看问题时要将其放入一个与之相联系的环境或事物中去，才能真正理解和把握这个事物。美国思维方式的物体本性则更看重事物本身，即事物的固有属性和特征。中国教师普遍认为数学知识是相互联系的，美国教师由于对基础知识的理解不够深刻，因而可能看不到数学知识之间的本质联系。部分美国教师甚至认为基础的数学知识是一些事实和法则的任意组合，只要依照一系列的程序，就可以按部就班地获得答案。因此，中国历来注重数学内容之间的联系，要求学生“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”[8].美国对数学的认识由“固定不变”逐渐转变为“相互关联”,认为“数学并不是互不关联的科目和固定不变的简单综合，尽管人们通常用此种方法来划分和介绍”[9],并将数学关联能力作为学生的一个重要数学能力单独提出。

　　2. 中国从整体上理解数学，美国偏重数学能力的结构层次。

　　中国以“天人合一”的整体思维为主导，倾向于将事物的各种属性、方面、特征等结合起来，得到一个完整的认识，通过整体理解局部，强调对立中的统一。美国以“天人相分”的分析思维为主导，倾向于将一个完整的对象分解为各组成部分，逐一研究，通过局部认识整体，强调统一中的对立。因此，中国要求学生从整体上理解数学，特别注重围绕运算能力、空间观念、推理能力、问题解决能力、思维能力等数学能力整体设计教学内容，体现数学学习的整体性。美国提出五个内容标准体现数学知识，五个过程标准反映数学能力，结构性很强，体现了美国分析思维的特点。

　　3. 中国以曲线方式迂回解决和表达问题，美国以直线方式直入主题。

　　中国看待世界是圆的，以曲线式思维为主；美国看待世界是线性的，以直线式思维为主。在解决问题的方式上，中国主要是围绕某个中心问题迂回靠近，美国则是直接切入主题。在交流方式上，中国讲究委婉含蓄，不言自明，强调隐喻；美国注重有话直说，直抒胸臆，强调直白。因此，中国对学生数学能力目标的培养体现螺旋上升的原则，在目标的深度和广度上曲线式发展，在运算能力、空间观念、思维能力、问题解决能力、数学表达和交流能力等目标均涉及关注“变化”.中国数学表达和交流能力目标要求学生“能较好地理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识”[10],对学生数学表达和交流方式的要求比较委婉。而美国要求“学生要与教师经常性地讨论解题过程”、“将数学论证的听众扩大到教师和同学以外，并使其信服”、“解释猜想的依据”、“分析和评价他人的数学思维”、“精确地表达数学观点”,[11]对学生数学表达和交流能力的要求高而且方式直接。

　　（二） 教育体制及目标方面。

　　1. 中国提出的数学能力目标是基本要求，而美国是最高期望。

　　中国对学生数学能力目标的要求“仅规定学生在相应学段应该达到的基本水平”[12],是对所有学生最基本的要求。而美国是“对全体学生寄以高度期望并提供有力支持”[13],即需要努力才能达到的程度。中国的“基本水平”和美国的“最高期望”

　　与两国的教育行政管理体制有关。中国教育总体上要求一致，国家教育部的权责较大，省及以下的教育行政部门权责相对较小，数学能力目标注重统一性，提出的是对学生的最低要求；美国是联邦制的国家，教育体制高度分权，各州、学区有很大的灵活性，目标制定要为各地区更为严格的要求留有空间，提出的数学能力目标是对学生的高度期望。

　　2. 中国数学能力要求和标准普遍高于美国研究发现，中美对问题解决能力、推理能力、数学表达和交流能力要求程度存在差异，中国对数学能力的具体要求普遍高于美国。比如问题解决能力，中国要求初中学生“掌握分析问题和解决问题的方法”,“综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题”;[14]美国并未提出“掌握方法”的能力要求，解决问题也并未要求到“综合运用”的程度。中国初中阶段是 7~9 年级，初中学生是 12~14岁，美国初中阶段是 6~8 年级，初中学生是 11~13岁；中国初中学生比美国初中学生的年龄稍大一些，这也是中国数学能力的要求程度比美国要高的可能的原因之一。

　　（三） 教育理念方面。

　　1. 中国认为基础是创新的前提，美国强调创新的首要地位。

　　中国侧重基础，而美国侧重创新。中国的数学教育注重教给学生基础知识、基本技能、基本思想方法和基本的活动经验，强调基础性在学生数学能力培养中的关键作用；美国的数学教育注重培养学生的创新意识和能力，鼓励学生思考并获得结论，至于结论的正确与否并不重要。中国的数学教育注重训练，要求学生熟练掌握直至“炉火纯青”;美国的数学教育基本上是“点到为止”,学生大致明白是怎么回事即可。中国认为技能是第一位的，然后才谈得上创造；美国认为探索是第一位的，然后再发展相关的技能。中国认为“创新”可以表现为“深思熟虑的增添，新的解释与巧妙的修改”[15],而美国认为“创新需要全新的表述”（H. Stevenson,J. Stingler）[16].按照中国的教育思想，基础被看作是创新这一更高境界的必要准备和条件。

　　2. 中国注重知识积累和静态接受，美国注重能力培养和动态改变。

　　中国的数学教育长期注重知识的积累，注重培养学生对知识体系的建构和对知识内容的掌握，是对知识的静态接受；美国的数学教育更注重培养学生运用知识解决问题的能力，注重培养学生对知识的拓展和创新，是对知识的动态改变。从现行的课程标准来看，中国的数学教育目标已不局限于知识与技能的掌握，处理好知识目标、能力目标与情感目标之间的平衡，不顾此失彼，是中国数学教育需要特别注意的问题。

　　3. 中国学生形成固定一致的解题思维模式，美国学生敢于冒险、试误和质疑。

　　中国侧重求同思维的培养，注重对知识和权威的尊重和维护，引导学生寻求标准答案或解决问题的最优方法；美国侧重求异思维的培养，鼓励学生有自己的见解，很多问题禁止教师提供唯一正确的答案，注重培养学生的批判性思维。中国学生在解决问题时，不太愿意去“冒险”尝试或猜测答案，对于没有思路的问题，很可能跳过去并留下空白；而美国学生往往会试探性地写一些，即使写下的东西是不正确的或没有意义的。在解决问题的方法选择上，中国学生主要运用学科知识、算术或代数方法；美国则更为多样，除了算术、代数之外，表格、图示、描述性说明分析、试误法等都是可供学生选择和尝试的方法。中国过于严谨化、程序化和结构化的解题思路，使学生逐渐形成了固定的思维模式，学生不需要太多的思考就可以解决问题，思维趋于一致；美国个人主义的教育理念和开放自由的教学氛围，使得学生敢问敢想，敢于质疑，思考和解决问题的思维方式更加发散。

　　4. 中国认为记忆与理解相互促进，美国认为记忆无助于理解。

　　中国认为，“记忆”与“理解”是相互促进的辩证关系，理解有助于记忆，记忆能加深理解；美国认为，“记忆”与“理解”是相互排斥的对立关系，记忆无助于理解。中国一直重视培养学生的运算能力，重视的并不仅仅是运算的结果和速度，还有通过熟练的运算不断深化认识，从而达到对数学内容的真正理解，认识程度由“表层结构”过渡到“深层结构”.中国数学教师与美国数学教师相比一个明显的优点就是，达到了对于数学知识的“深刻理解”（profound understanding），具体体现于知识的深度、广度和贯通度。

　　（四） 数学文化及数学教育价值观方面。

　　1. 中国数学文化以技艺致用为根本，美国从哲学理性层面理解数学本质。

　　技艺致用是中国数学文化的根本特征，数学被当作一种“济世之术”,学会了可以“用世”,天道、颁历、丈量土地等都需要数学，运算能力、问题解决能力、空间观念、模型思想等能力目标的设置均与技艺致用的数学文化有关。中国古代数学缺乏在哲学层面的锤炼，学生掌握了数学的内容、思想方法及应用，但缺少数学理性精神和哲学思想的熏陶。理性思辨是美国数学文化的根本特征，沿袭了古希腊借助于数学解释一切的文化传统，数学被看作是一种思考世界的哲学理性。美国数学家怀尔德 （R.L.Wilder） 从数学人类学的角度提出了“数学--一种文化体系”的数学哲学观。美国数学能力目标注重思考能力、探究能力、发现能力和创新能力，旨在通过开拓和发展学生数学的研究能力和创造能力产生具有社会意义和价值的重大成就，是美国数学教育追求科学理性精神的体现。

　　2. 中国注重抽象的理论理解，美国注重真实的情境应用。

　　中国的数学教育更注重数学知识、概念、定理、方法等抽象理论，多年来注重逻辑思维能力的培养，数学教学内容比较抽象，近年来开始注重数学知识在其他领域和现实生活中的应用，但应用的情境大部分是虚构而非真实的；美国的数学教育用学生实际生活中会遇到的真实情境为背景，将数学知识、概念融入其中，在解决问题的过程中理解知识和概念。中国数学教育注重的是间接应用型的理论，着力点是对已有理论的理解和应用；美国数学教育的应用以其深厚的数学理论基础作后盾，并不是在数学课程中加入定理、命题、公式，而是理性的沉淀，着力点是为了真理而应用。

　　3. 中国将数学的人文价值观与科学价值观相互融合，美国以科学价值观为主。

　　中国传统文化注重真、善、美的统一，数学教育价值观以人文主义为核心价值取向，学生数学能力目标长期以逻辑思维能力为核心。近几十年来，中国的数学教育逐渐开始从人文主义价值观向科学主义价值观转变，教学内容中增加了大量应用数学知识的案例和情境，数学能力目标增加了问题解决能力、数学表达和交流能力，在培养学生数学能力的同时，对数学情感态度价值观也非常重视，人文主义与科学主义在中国数学教育中逐渐融合。美国的数学教育价值观一贯以科学主义为主，认为数学具有巨大的经济价值，生产力的发展需要大量的数学知识，数学知识和能力的学习成为谋职、就业的必要准备，加强应用教学、提高学生问题解决能力成为美国数学教育中的一个响亮口号，但数学严密的逻辑体系等并未在美国受到重视。

　　四、对我国数学能力目标设置的启示。

　　上文以六十余年数学教育的发展为背景，以中国《义务教育数学课程标准（2011 年版）》和美国2000 年《美国学校数学教育的原则和标准》为主体，比较了中美两国初中学生数学能力目标的历史演进、现状特点和差异原因，这些可以为我国数学能力目标的设置提供一些启示。

　　（一） 明确提出数学能力目标，建立数学能力标准。

　　中国数学课程标准以知识为主线，能力为辅线，并未明确提出初中学生的数学能力目标，结构零散，表述模糊。笔者建议深入研究学生数学能力目标，明确提出能力目标的结构、内涵、要求及实施策略，并将其作为独立的目标体系在数学课程标准中明确地加以清晰阐述。制定与数学能力目标对应的数学能力标准，即达到数学能力目标程度的尺度和准则，并将其作为数学课程标准的一部分，与内容标准并列；对数学能力的各要素作出不同水平的描述，用定性或定量方法刻画学生应达到数学能力的程度，为评价学生的数学能力提供依据。

　　（二） 重新思考基础与创新的关系，为创造性思维提供空间。

　　建议重新思考基础与创新的关系，理清创新是必须建立在基础之上还是处在先于基础或与基础同时发展的地位。增加数学发现能力和数学探究能力作为学生数学能力的目标之一，从而培养学生的创新能力和科学精神。中国长久以来缺乏营造培养学生创造性思维的良好环境，需要给学生适当的挑战，教师要更多地放手，给学生更多思考的空间。

　　解决问题可不局限于学科知识、代数方法，美国教学案例中的表格、图示、描述性说明、试误法等缺乏“数学味儿”的方法同样可供选择。

　　（三） 为学生提供个体构建数学表征的机会，将数学应用于数学以外的情境。

　　建议为中国学生提供个体构建数学表征的机会，教师一开始就鼓励学生运用直观表征或具体操作等自己的策略理解数学，可以是教师教过或没教过的。随着学生对数学概念的深入理解，教师再引导学生形成更多概括性的表征和策略，搭建起学生个人表征和通用表征之间的桥梁，从而发展学生对数学的抽象思维和概念性理解，不可过分追求直观形象表征。数学表征要同时注重结果和过程，同时注重外显和内隐的表征，并增加将数学应用于数学以外的情境中的机会，如数学与自然科学、社会科学、医学、金融、商业和日常生活之间的联系，让学生有足够的机会体验在特殊情境中数学是如何发挥作用的。

　　（四） 以个性发展为出发点设置数学能力目标，重视求异思维。

　　中国在共性发展基础上的能力培养观念，对学生个性和能力的自由发展产生了一定限制。过于严谨化、程序化和结构化的教学内容设计和解题思路，使得学生逐渐形成了固定的思维模式。建议尝试从个性发展的前提出发研究、设置数学能力目标，从理念上真正调整为以学生为主体，从而培养学生自己的能力而非教师规定好的思路和模式；创设开放自由的教学氛围，鼓励学生冒险尝试，培养学生的发散性和批判性思维。

　　（五） 合情推理与演绎推理能力并重，不弱化抽象思维能力。

　　坚持合情推理能力与演绎推理能力并重的原则，注重发展学生推理与证明过程的评价能力，不弱化抽象思维能力。大量的跨文化研究表明，“美国学生的抽象思维能力较差，对数学内容及方法的理解有时仅停留在具体水平上”,“美国数学教师主要依靠模型教具的充分使用帮助学生理解数学内容，并形成抽象思维”.[17]随之中国出现了一种错误的观念，即弱化长期以来对抽象思维能力的重视，转而增强对形象思维能力的培养，并以动手操作模型教具作为途径。然而，事实上，直观的、具体的、可操作的动手操作仅仅只是教学的一种辅助工具，只能帮助学生理解抽象的数学内容，但不能直接实现学生对数学的真正理解。只有通过思维才能认识到数学内容是具体模型的抽象化，认识到事物的本质。

　　（六） 深刻认识表达和交流能力的价值，加强学生与他人有效的数学交流。

　　中国需要深刻认识交流和表达是分享观点和澄清理解的一种方式，它有助于理解观点的意义，使学生思维和推理更清晰，更令人信服。学生在与同伴讨论时，也会加深自己对数学的理解，并有助于学生发展表达数学思维的语言。培养学生数学表达和交流能力是数学教育的使命之一。尽管中国已经明确提出培养学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果的目标，但这一目标还需要加强。中国学生在数学课堂上表现出很大的被动性，需要在不弱化自我交流的前提下强化与他人的交流。经历与他人共同参与思考问题的过程，向他人表达自己的观点，相互质疑、辩解并澄清，能够帮助学生更深入地理解数学。

　　注释：

　　[1][3][6][7][9][11][13] 美国国家数学教师理事会。美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金法，等，译。北京：人民教育出版社，2004:235、244、249、255、62、58-60、14.

　　[2][5][8][10][14] 中华人民共和国教育部。义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012:9、6、6、14、14.

　　[4][17] 蔡金法。中美学生数学学习的系列实证研究--他山之石，何以攻玉[M].北京：教育科学出版社，2007:187、271.

　　[12] 中华人民共和国教育部。全日制义务教育·数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001:5.

　　[15][16] 转引自：郑毓信。文化视角下的中国数学教育[J].课程·教材·教法，2002,（10）；原文引自：H.Stevenson & J.Stingler.The Learning Gap 一 Why our school are failing and whatwe can learn from Japanese and Chinese Education.Simon& Schuster,1992.

　　参考文献：

　　[1] 张维忠。论数学文化研究及其对数学教育研究的启示[J].教育研究，1994,（3）。

　　[2] 曹一鸣。数学教育价值观的嬗变与重构[J].教育研究，2005,（12）。

　　[3] 梁贯成。中国传统的数学观和教育观对新世纪数学教育的启示[J].数学教育学报，2001,（8）。

　　[4] 郑毓信。国际理论视野下的中国数学教育[J].全球教育展望，2010,（3）。

　　[5] 张国骥。美国教育理念之探析--赴美考察笔记[J].湖南师范大学教育科学学报，2005,（5）。

　　[6] 孙宏安。中美科学课程（教育）标准比较[J].比较教育研究，2003,（10）。

　　[7] 谢益民。新世纪美国数学课程的原则与标准[J].外国中小学教育，2003,（10）。

　　[8] 蔡金法，聂必凯“.美国2000‘数学课程标准”简介及反思[J].数学通报，2001,（9）。

　　[9] 王林全。近十年美国数学课程思想的演进[J].课程·教材·教法，2000,（10）。