1 中国早期数学文献简介
2007 年 12 月湖南大学岳麓书院从香港抢救性收购了一批秦代竹简，这批竹简是继 1975 年云梦睡虎地秦简和 2002 年湘西里耶秦简之后的又一次重要发现。 其中涉及数学内容的竹简二百四十余枚，总字数 6300 字左右，完整算题 80 余例，另有解决某一类问题的单独术文。按照原简背面的标题，这部分被称为《数》，经研究确定其成书时间早于 1983 年出土于湖北张家山汉墓的《算数书》，成为迄今为止所发现的最早的系统性中国数学文献。
秦汉时期的数学史料极其稀缺， 每一次考古发现涉及数学的部分，都值得深入研究。但其他一些涉及数学内容的竹简，仅记载零星的数学资料， 如清华大学所藏战国竹简中有记载乘法运算的 《算表》，2002 年发现的里耶秦简中也有 “九九乘法口诀 ”，其能提供的数学史信息均不够丰富。 少有像《算数书》和《数》这样较为完整具、编排较成体系的着作。《算数书》自 2001 年简文公布以来，在数学史界产生了重大影响，关于其作者以及与《九章算术》的关系等问题，学界均作了深入研究和讨论，中国数学史的开篇将因此改写，《算数书》成为不可不书的重要一章。 2012 年 12 月《数》的原简照片出版公布，经考古学界和数学史界的初步研究发现，与《算数书》一样，《数》的题目类型、内容、表述方式和解题思路跟汉代成书的经典传世文献《九章算术》有密切联系，与《算数书》也有部分呼应，另外还出现了其他早期数学文献中罕见的驻扎营军问题。
而一直作为数学史界研究重点的《九章算术》，在有了《算数书》和《数》这两部出土文献作为文本上的 “他者 ”（the other）的对照 ，也隐隐凸显出以往被忽略的一些特性，如更宏大的问题背景、更严谨的数据处理和更复杂的制度设计思想等。 这或许意味着，在中国传统数学实用取向的基础上，还分化出不同的层次。 有必要将传世文献《九章算术》与出土文献《算数书》《数》就其中的典型问题进行深入比较，进一步解释这三者之间的联系与区别，这将有助于我们加深对中国早期数学的理解和认识。
2 秦汉时期的土地面积单位转换问题
上述三种文献中，关于面积单位换算有“平方步与亩”的换算和“平方里与亩”的换算两种。 前一种在三文本中均比较常用 ，而换算的方式往往没有明确给出，有时暗含在术文之中，基本上可以认为这种换算是极为普通的背景知识，且亩在实际运用中是记录面积的最普遍单位标准。 我们看到三种文本中凡是结果超过二百四十平方步的答案，全部转换为一亩（又）多少步的形式。
而对于第二种转换，三文本中都专门提及，称为“里田术”，但显然应用率不高，《数》中只有里田术文，无算例；《算数书》中有两种术文，一道算例；《九章算术》中有术文，配合两道极为简单的算例。 除此之外，未有以里作为单位记录的长度，以及把平方里转换为亩的情况。这与单位里的长度过大有关，依秦制，一里等于 300 步，在日常的土地测量中用到这么大的计量单位较少。《算数书》中里田术仅有的一道例题后，“直（置）提封以此为之”一句也为我们提示了这一点。提封，亦称提封田。《汉书﹒地理志下》“提封田一万万四千四百一十三万六千四百五倾”，师古曰：“提封者，大举其封疆也。”
看来“平方里”的面积单位，在涉及边疆土地的丈量和划界中会使用到。 但是，即便在经常处理宏大问题的《九章算术》中，这种计量和换算也很少见。
2.1 平方步与亩之间的转换
《九章算术》中首次提到平方步与亩之间的换算是在方田术文里 ，“以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一倾”。《算数书》中第 64 题启广题题中使用了一亩等于 240 平方步的关系。 “启广 回从 （纵）卅步，为启广几何而为田一亩？ 曰：启【广】八步。 术曰：以卅步为法，以二百卌步为实。 启从（纵）亦如此。 ”
求为田一亩时的广长，直接以 240（平方）步作为被除数，显然是默认了这一转换关系。 而在《数》中的第1714 号简记录的 “除田之术 ”为 《算数书 》和 《九章算术 》所没有 ，肖灿博士认为此处模糊的首字可训解为开、启，给出或张开、伸展之意，并转引邹大海先生的观点，认为这与《算数书》中的“启广”、“启从”问题同意，但从内容来看，这却为“启广”、“启从”的逆运算。
除田之述（术）曰：以从（纵）二百卌步者，除广一步，得田一亩，除广十步，得田十亩，除广百步，得田一顷，除广千步得田【十倾】 1714而笔者认为此处的意义更在于告诉了当从为 240 步、广为 1 步时的面积，240（平方）步即为一亩。并且间接提到了单位倾与亩之间的关系，“除广百步，（得百亩），得田一倾”。 在简 0829、0954、0976、0761 中都运用到了平方步与亩的换算。 而可以推测简 1714 所在原简编连中的位置有可能在这些简之前，否则给出这样简单、化整的数据来说明一条术文，意义并不大。 然而这个换算关系并非一直是统一的，“周代的田亩制度，一亩是一百平方步，到秦孝公时，商鞅废井田，开阡陌，制定的亩制是二百四十平方步。在汉武帝之前，周制与秦孝公之制并存，在秦地用的一直是二百四十平方步一亩， 到了汉武帝时统一规定，均以二百四十平方步为一亩。 ”在三种文献的少广问题中，都暗含着一亩等于二百四十平方步的条件，这种换算是直接拿来使用的。
2.2 平方里与亩之间的转换
我们再看介绍平方里与亩换算关系的里田术。《数》中的里田问题比较简单：
里田述（术）曰：里乘里=，〔里〕也，因而参之，有（又）参五之，为田三顷七十五亩。 0947“叁之，有（又）叁五之”表示用 3 称，再用 5 连续称三次，这样一平方里就转化成了 375 亩，即三倾七十五亩。 算术表示为：1（平方里）=1×3×5×5×5=375 亩=3 倾 75 亩。 这与《算数书》中的一种表述十分类似：
里田术曰：里乘里，里也，广、从（纵）各一里，即直（置）一因而三之，有（又）三五之，即为回三顷七十五敌。 其广从（纵）不等者，先以里相乘，已乃因而三之，有（又）三五之，乃成。我们先对这个 1 平方里=375 亩的结果作个解释。 因为 1 里等于300 步，那以平方步来算，其面积为 300×300 平方步，再结合一亩等于240 平方步的默认条件，得到（300×300）/240=375 亩。 这个结果与上面3×5×5×5 的结果是完全一致的 。 但这个连乘式有何数学意义，分别为《算数书》和《数》作注释的彭浩先生和肖灿博士都没有给出。 彭先生认为“此算法把一平方里为田三百七十五亩以 3×（5×5×5）表示，省去把里化作平方步相乘，再以亩法相除的复杂数字计算，并以一位数代替多位数相乘，大大简化了运算。 ”
其实这里只是找到了一种等价的算式，而非简化了运算，（300×300）/240 不能直接化简为 3×（5×5×5）。 其他数学换算思路也都无法得解。 这里的算式有拼凑结果之疑，这种做法在《数》中一道盈不足算题里也可以体现。那《九章算术》在里田术方面是怎样记述的呢？
里田术曰：广从里数相乘得积里。 以三百七十五乘之，即亩数。亦是直接给出了换算结果，没有数据得来过程。即便连向来全面、严谨的刘徽在这里的注释也只写了“按：此术广从里数相乘得积里。故方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即得商数也”，没有提到任何 3×（5×5×5）的步骤。 另查沈康身、李继闵两位先生对《九章算术》的经典注释，也都是用（300×300）/240 来解释此结果。 我们可以怀疑是张苍、耿寿昌在编纂《九章算术》或刘徽在注释《九章算术》时，将当时流传的这个不合理的运算给删去了。 若是这样，对数学结果的接受，但不取其不合理的运算过程，这是数学知识的进步，或是更严谨的数学体系（如《九章算术》）对非理性的运算的筛选和过滤。
此外，《算数书》中的里田术还记载了另外一种转换方式，“有（又）曰：里乘里，里也，【因而三之】，以里之下即予廿五因而三之，亦其顷亩数也。”忽略其三或五相乘的部分，最终其表示的是将三百七十五亩先化为三倾七十五亩，把三倾七十五亩按单位拆分为三倾+七十五亩。这样在转换平方里为“倾-亩”的单位时，分别拿平方里数乘以“三倾”和“七十五亩”，前者得到的结果单位是倾，后者得到的结果单位是亩。 彭浩先生认为这使得庞大的数字计算简化，并为《夏侯阳算经》中“身外加（减）法”之先声。固然对于以算筹计算大数据相乘是有很大不便，但是后一种方法也需要在乘以七十五亩之后，将得到的结果再转化为“倾-亩”制，并与前一项以“倾”为单位者相加方可得到结果。
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