同伦论诞生时期的分析学背景研究,数学史论文

　　摘要：　同伦论是代数拓扑学的重要研究内容, 其思想起源可以追溯到分析学中的许多问题。柯西在研究复函数的积分值与积分路径的关系时提出了柯西积分定理, 黎曼为处理多值函数而引入的黎曼面, 皮瑟在处理代数函数时引入的连续变换思想以及若尔当有关闭曲线的研究等, 都为庞加莱定义基本群产生了非常重要的影响。通过研究同伦论的分析学溯源, 可以使我们更清楚地认识到同伦论的历史演变过程, 同时为理解近现代几何学的发展状况提供一个窗口。

　　关键词：　数学史; 拓扑学史; 同伦论; 分析学;

　　Abstract：　The homotopy theory is an important research content in algebraic topology, and its ideological origin can be traced back to many problems from analytics. The Cauchy integral theorem proposed by Cauchy in studying the relationship between the integral values of complex functions and the integral paths, the Riemann surface introduced by Riemann to deal with multivalued functions, and the continuous transformation thought introduced by Puiseux to deal with algebraic functions and the studies of the closing curve of Jordan, all have had a very important influence on the definition of the fundamental group of Poincaré. By studying the analytical origin of homotopy theory, we can better understand the historical evolution of homotopy and provide a window for understanding the development of modern geometry.

　　Keyword：　history of mathematics; history of topology; homotopy theory; analysis;

　　一、引言

　　同伦论是代数拓扑学的重要组成部分, 也是联系拓扑与代数的纽带。庞加莱 (Jules Henri Poincaré, 1854—1912) 1883年提出单值化定理, 并在研究过程中使用了连续变换的方法, 这一拓扑学思想一经引入, 便在多值函数的研究中起到非常重要的作用。1892年, 庞加莱在考虑流形上的多值函数时引入群论思想, 并在1895年正式定义了流形上的基本群, 这也是历史上首次提出同伦群[1]。但庞加莱有关同伦群的研究缺少严格的论述, 随后布劳威尔 (Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881—1966) 在1912年填补了这一空缺, 并在他的工作中引入了同伦映射, 在此基础上, 进一步给出了单纯映射、单纯逼近等同伦论中一系列至关重要的概念, 进而开创了同伦论的正式研究[2]。

　　分析学作为一种重要的数学工具, 在同伦论的早期发展演变过程中具有极为关键的作用, 同伦论的创立就是来源于分析学中的许多问题。而目前有关同伦论历史的讨论, 大多集中在同伦论创立以后的发展情况, 很少关注其分析学渊源[3,4,5,6,7]。有鉴于此, 本文拟对同伦论诞生时期的分析学背景进行研究, 进而更清楚地呈现出同伦论的早期发展脉络。

同伦论诞生时期的分析学背景研究

　　二、同伦论诞生的复分析思想

　　同伦概念的起源可以追溯到复分析中的一些问题, 柯西在研究复函数积分与积分路径的关系时建立了复函数的相关理论, 黎曼在处理有关多值函数的问题时引入了黎曼面, 有关这些分析学问题的研究过程用到了许多拓扑学思想, 相应的研究结果也为开启拓扑学的研究奠定了基础。

　　(一) 柯西的复积分路径

　　柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789—1851) 1821年开始对复函数积分与积分路径的关系进行研究, 在他之前, 高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777—1855) 和泊松 (Simeon-Denis Possion, 1781—1840) 首先在这方面迈出了重要的一步。1811年, 高斯指出在积分限为虚数的积分中, 由于在复平面上从一点到另一点可以用一条连续的曲线来表示, 如果在两条不同的路径所围成的空间内被积函数是单值的或有界的, 那么通过不同的路径积分只有一个值。泊松在研究中首次沿着复平面上的路径对函数积分, 1815年, 他发现同一积分沿着虚路径与沿着实路径的值不一定相同。高斯和泊松的工作对柯西建立复变函数理论意义重大, 柯西确定了复函数积分表达式的含义, 并对积分的值如何依赖于路径曲线的选择进行了研究。通过结合复平面, 并借鉴拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange, 1736—1813) 的变化技巧, 柯西利用公式表达出他的结果[8]。1825年, 柯西发表论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》, 这篇文章是复分析发展的一座里程碑, 在文中建立了现在所称的柯西积分定理, 对此他有这样的表述:

　　“如果f (x) 对于x0≤x≤X和y0≤y≤Y是有界的并且是连续的, z=x+iy, 并令x=φ (t) , y=ψ (t) , 其中t取实值, 那么的值无关, 也就是说与积分路径无关。”[9]

　　实际上, 柯西在研究中不仅使用了被积函数的导数的存在性, 还使用了导数的连续性, 现在同伦论中的可缩闭路和可缩区域在他后来的工作中也有所体现。1846年, 柯西的研究重心转变, 所关注的重点开始从实函数积分及其值的计算转移到复函数理论本身, 并为这一理论建立基础。与此同时, 他开始着手处理多值函数的积分, 但是对多值函数积分的概念仍不是十分清晰。柯西的积分理论为复分析的发展奠定了重要的基础, 以他的这一工作为铺垫, 可以得到许多与复函数的解析性相关的结果, 但是柯西并没有意识到他的工作在复分析研究中的作用, 直到1850年左右才开始注意到这一点。

　　(二) 黎曼面概念的提出

　　1851年, 黎曼 (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826—1866) 发表论文《单复变函数一般理论基础》, 在哥廷根大学获得博士学位, 其中为了解决复变函数论的有关问题, 黎曼将导数的存在性作为复函数概念的基础, 他的这一工作揭示了实变函数和复变函数之间的区别, 使现在所称的柯西-黎曼方程成为复变函数论的基石。在黎曼之前, 此方程就被欧拉 (Leonhard Euler, 1707—1738) 、达朗贝尔 (Jean Le Rond d’Alembert, 1717—1783) 等学者所知, 柯西在研究二重积分次序更换的问题时也曾得到同样的方程, 并称这一方程“包含了由实到虚过渡的全部理论”, 由此可见该方程在复变函数论发展中的地位。

　　为了研究多值解析函数, 黎曼在其博士论文中严格定义了单值解析函数, 并引入了一个新的几何概念, 即黎曼面, 这是他研究多值函数的关键思想, 也是这篇论文中最富有创造性的贡献。实际上, 黎曼面是将多值函数单值化以后得到的曲面, 这种曲面可以构造为多值函数的一种表示。在这一基础上, 黎曼面不仅是一种描绘多值函数的方法, 它使得多值函数在曲面上是单值的, 这样一来, 许多有关单值函数的定理就能够推广到多值函数上去。

　　黎曼不仅给出了黎曼面的定义, 他还研究了该曲面的拓扑性质, 定义了单连通曲面, 并引入了横剖线, 这样一来多连通的黎曼面就可以剖分为一系列单连通曲面。为了便于研究, 他还定义了曲面的连通数, 这样曲面的连通性就可以通过数来表示。

　　1857年, 黎曼发表了四篇关于函数论的论文, 对他博士论文中的许多思想进行了重述, 黎曼根据函数的性质区分了两种可能性, 即函数的延拓使得函数有相同值时, 称函数是单值的, 否则函数是多值的。关于在黎曼面上讨论函数的积分与积分路径的关系, 黎曼有这样的表述:

　　“积分∫ (Xdx+Ydy) 沿着连接相同端点的不同路径求值, 如果这些路径共同构成部分曲面T的边界曲线, 那么积分就有相同的值。如果每一条位于曲面T内部的闭曲线都构成部分曲面的边界, 则从一个固定的起点到一个固定端点求得的积分值是常数, 并定义了该积分的上极限的连续函数, 这一函数不依赖于积分的路径”。[10]

　　黎曼对单值解析函数的严格定义和对黎曼面的引入为多值函数的研究开辟了更广阔的领域, 也为研究复变函数论开启了新的征程。他在对黎曼面研究的过程中运用了许多拓扑学思想, 这一工作对后来开展拓扑学的研究起到了重要作用。

　　三、代数函数对同伦发展的影响

　　椭圆函数论是复变函数论在19世纪的发展过程中取得的重要成就之一。阿贝尔 (Niels Henrik A-bel, 1802—1829) 和雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804—1851) 同为椭圆函数论的创始人, 他们相互独立的创造并发展了这一理论, 并都认识到研究椭圆积分的关键在于考察其反函数。若椭圆函数与一个特定的方程有关, 则属于这一代数函数的黎曼面是一个环面, 有理函数在环面上沿着不同的积分路径会得到不同的积分值。阿贝尔和雅可比都没有掌握解决多值函数及其积分问题的方法, 因此他们都未能明确地说明椭圆函数的双周期性或是亏格p的情况。皮瑟 (Victor Puiseux, 1820—1883) 通过使用连续变换解决了有关椭圆函数的许多难题, 他的这一工作为代数函数的发展做出了重大贡献。

　　皮瑟1850年发表了一篇关于多值函数的论文, 在文章的开始就强调由一个代数方程f (u, z) =0给定的复函数可能是多值的, 如果在该代数方程中z的值是确定的, 则相应的u值并不总是唯一的。当z沿着某条连续的路径变化时, 若在该路径内u的解既不是无穷的也没有重根, 那么u的值就不依赖于路径的选择[11]。

　　在多值函数的研究过程中, 皮瑟使用了现在所称的解析延拓的方法, 并且阐明了如何在一个支点的邻域中建立一个满足上述条件的代数方程的函数。若点z变化的路径是穿过一个支点的回路, 他说明了在这种情况下函数u的解的情况, 这些解构成了一个循环, 并且在循环内它们是可置换的。皮瑟对在一个支点的邻域中代数函数性质的研究至关重要, 他对概念高度关注, 这意味着连续变换在分析学中引入并使用, 同时也表明若曲线可以约化, 则沿着它可计算出代数函数的值或可逐步实施积分, 可以看出, 同伦概念与分析学问题紧密相关。

　　皮瑟在研究中明确说明了初等周线的组成, 并强调通过引入记号说明曲线的定向非常重要。他阐述了一种寻找曲线的初等周线对应序列的方法, 并假设每一条周线能被初等周线的对应序列代表, 他称之为周线的特征。皮瑟规定, 每一条闭周线只符合一个特征, 两条具有相同特征的周线之间可以互相约化, 反之则不能。在研究中他将符号与一条给定的曲线结合起来, 符号记法使他能够用一个简单的方法沿着这条曲线求函数的积分。通过对函数积分的这一创造性工作, 以及对多值函数与其在复平面上的支点的研究, 皮瑟将柯西在复变函数论方面的工作推进到一个新的高度。

　　虽然伽罗瓦 (variste Galois, 1811—1832) 在1831年的一篇论文中已经包含了刘维尔 (Joseph Liouville, 1809—1882) 1846年提出的群论的萌芽, 但是群概念在达到现在所具有的抽象水平之前仍然经历了很长时间。凯莱 (Arthur Cayley, 1821—1895) 在1854年首次给出了群的公理化定义, 但在尝试使群的概念一般化时没有取得成功, 因为置换群是唯一被研究的群。由于在置换作用下没有对群的元素进行说明, 皮瑟在研究中没有定义群结构, 但是他的工作非常接近现在对复平面上基本群的理解。虽然皮瑟没有对抽象群概念的发展做出直接的贡献, 却为后人从事同伦论的有关工作提供了重要方法。

　　四、若尔当关于曲面上闭曲线的研究

　　若尔当 (Camille Jordan, 1838—1921) 为代数函数积分的研究做了重要的工作, 详细地说明这一点就要涉及他在1866年发表的关于曲面上闭曲线的论文, 这是一篇与拓扑学有关的文章。在论文中给出了如下定义:

　　“在一个给定曲面上的任意两条闭回路, 称为可互相归约的, 如果通过逐步地变形, 可由一条变成另一条。”[12]

　　在有关代数函数的工作中, 若尔当定义了术语“等价”, 并对一个给定的代数函数沿着不同路径的性状进行了研究, 这些路径连接复平面上任意两个不同的点。若尔当表明如果两条路径之间是可归约的, 那么它们是等价的, 但反之不一定成立。通过使用等价的概念, 若尔当可以把任意一条连接两个不同点的路径归约为一条等价于它的“标准路径”, 根据若尔当的定义, 道路的等价性依赖于给定的代数方程与方程根的置换, 对此若尔当有这样的描述:

　　“假设点z沿着路径L'而不是路径L将点z0到点ζ连接起来。方程f (u, z) =0的根将从初始值u10, …, un0连续变化到值v'1, …, v'n, 这些新的值如同v1, …, vn, 也是方程f (u, z) =0的根。除了顺序之外, 它们也与最后的根是一致的。如果顺序也是相同的, 那么路径L'和路径L就称为等价的。”[13]

　　关于曲面上闭曲线的工作中, 若尔当没有考虑曲面的定向问题。他采用了一个有边界曲线的曲面, 标记了曲面上互不相交的闭曲线数目的最大值, 这一最大值即曲面的亏格。这些闭曲线没有把曲面分成互相分离的部分, 只是把曲面分成内部和外部。

　　若尔当的目标是证明曲面上的每条闭周线都可以归约到关于初等周线的唯一序列中, 他说明如果两条周线相应的初等周线的序列不是恒等的, 或不能通过序列中基础周线的循环置换互相转换, 那么这两条周线之间彼此是不可归约的。

　　事实上, 若尔当的工作已经非常接近抽象群的概念, 他对符号的使用也完全适当, 但是并没有明确地定义基本群和同伦群。由于在当时群仅被作为置换群来研究, 若尔当所讨论的仍然是置换群[14]。

　　五、结语

　　同伦论的思想起源可以追溯到分析学中的一系列问题。柯西在研究积分值与积分路径的关系时提出了柯西积分定理, 这是复分析发展的第一座里程碑。黎曼使现在所称的柯西-黎曼方程成为复变函数论的基石, 并在处理有关多值函数的问题时引入了一个富有创造性的概念, 即黎曼面。在皮瑟关于代数函数的工作中, 同伦的概念变得更清楚明确, 而且他的研究方法对后人从事同伦以及其他拓扑学方面的工作具有重要的影响。若尔当在代数函数积分的工作中做出了重要贡献, 他研究曲面上的闭曲线时使用了同伦的相关思想, 其工作已经非常接近抽象群的概念。在以上相关研究的基础上, 庞加莱定义了基本群, 布劳威尔在研究中使用了连续映射的性质, 并给出了连续变换的正式描述。同伦论的发展过程与分析学密不可分, 正是上述诸多学者的创造性工作, 利用分析学不断为同伦论的发展增添新的动力并提出新的研究思路, 使同伦论的发展道路不断革新, 为同伦论的创立奠定了坚实的基础。

　　参考文献

　　[1]POINCARH.Analysis situs[J].Journal de l’ecole polytechnique, 1895, 1:1-121.
　　[2]BROUWER L.Beweis der invarianz der geschlossenen kurve[J].Mathematische annalen, 1912, 72:422-425.
　　[3]JAMES I.History of topology[M].Amsterdam:Elsevier Science Publishers B.V., 1999:65-102.
　　[4]DIEUDONNJ.A history of algebraic and differential topology, 1900-1960[M].Boston:Birkhuser, 2000:273-384.
　　[5]李文林.数学史概论[M].3版.北京:高等教育出版社, 2011:289-290.
　　[6]胡作玄, 邓明立.20世纪数学思想[M].济南:山东教育出版社, 1999:403-442.
　　[7]干丹岩.代数拓扑和微分拓扑简史[M].长沙:湖南教育出版社, 2005:93-115.
　　[8] 克莱因.古今数学思想:第二册[M].石生明, 万伟勋, 等译.上海:上海科学技术出版社, 2014:205-219.
　　[9]CAUCHY A.Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires[M].Paris:Publiée chez de Bure, 1825:41-89.
　　[10]RIEMANN B.Theorie der abel’schen functionen[J].Journal fur die reine und angewandte mathematic, 1857, 54:92.
　　[11]PUISEUX V.Recherches sur les fonctions alégbriques[J].Journal de mathématiques pures et appliqués, 1850, 15:365-480.
　　[12]JORDAN C.Des contours tracés sur les surfaces[J].Journal de mathématiques pures et appliqués, 1866, 11 (2) :91.
　　[13]JORDAN C.Cours d’analyse[M].Paris:Gauthier-Villars, 1882:224-225.
　　[14]EYNDE R.Historical evolution of the concept of homotopic paths[J].Archive for history of exact sciences, 1992, 45:127-188.