卫星引潮力和固体行星地震波场间的共振及其影响

　　摘    要：　本文指出地震学在天文和行星学科里的重要作用.我们主要介绍最近提出的“潮汐—地震波共振”（tidal-seismic resonance）效应，并且讨论它对卫星轨道演化的作用.当在同步轨道以下周期运动的卫星引起的引潮力的频率和行星内部自由震荡频率吻合时，就会发生潮汐—地震波共振.此时，行星内部的地震波将被激发并引起行星表面的显着位移.升高和下降的地面会对卫星产生一个力矩从而使得卫星轨道下降.因为潮汐共振引起的动态地面位移可以比单纯引潮力引起的位移大两个数量级，所以潮汐共振会显着加速卫星下降速率.我们用我们开发的三维地震波场模拟程序AstroSeis数值计算了潮汐—地震波共振对轨道的影响，进而推测这一共振效应可能对行星早期吸积速度有显着影响.另外，因为行星内部的Q值和S波的波速对潮汐共振影响很大，未来研究微重力环境下的小行星或陨石内部地震波的速度和Q值对研究行星演化和太阳系的形成至关重要.

　　关键词：　潮汐; 潮汐—地震共振; 行星形成; 小行星地震波;

　　Abstract：　Seismology can play an important role in both astronomy and planetary science. We will mainly discuss the recently proposed Tidal-Seismic Resonance(TSR) effect and its role on the orbital evolution of the moon around a planet. For a planet-moon system, TSR is expected when a tidal force frequency matches a free-oscillation frequency of the planet. TSR can excite large-amplitude seismic waves that can change the shape of the planet, which in turn, exerts a negative torque on the moon to cause it to fall rapidly toward the planet. We have developed a 3-D seismic wavefield modeling package, AstroSeis, to numerically study the moon's orbit change. We further speculate that TSR might be an important mechanism to accelerate the planet accretion process in the early history of star formation. Because TSR significantly depends on the seismic Q value and S-wave velocity of the planet when its size was still small, future work studying the seismic wave velocity and Q of some asteroids in micro-gravity environments is important to reveal the evolution history of planets and the solar system.

　　Keyword：　tides; tidal-seismic resonance; planet evolution; seismic wavefields in asteroids;
 

　　0、 引言

　　在1898年，Darwin(1898）首次提出了太阳引潮力作用于快速旋转的液体地球从而形成月亮的假说.他认为地球起初处于液态，太阳的引潮力导致地球内部发生剧烈震动从而使行星“地球”震为碎片，并甩出巨大的碎块，这些甩出去的碎块最终在重力作用下固化后形成了月球.由于潮汐牵引作用，月球离我们的地球越来越远.Darwin的月球起源假说现在并不被人们接受，目前大部分人认为月球是地球被另外一个行星撞击而产生的.在Darwin的假说中，Darwin并没有指出具体是什么机制能产生“剧烈震动”.

　　Tian和Zheng(2019）考虑了一个绕公共质心旋转的固体行星—卫星系统.如果卫星产生的引潮力与行星固有的自由震荡产生了共振，行星内部可以产生剧烈震动.在这里，卫星的引潮力提供了能量的来源.行星内部激发的地震波场又可以产生一个力矩反作用于卫星从而使其改变轨道.一般来说，卫星引潮力的频率比较低，而行星的自由震荡的频率比较高,共振难以发生.在太阳系中，即使公转速度最快的火卫一的引潮力目前依然无法在火星内部激发自由震荡（Lognonnéet al.,2000）.但是，因为火卫一的轨道在不断下降，在将来或许共振可能发生.

　　最近几年，地震学被用于研究土星环的结构与气态土星内部结构的关系.它的原理是：如果土星内部有稳定激发的自由震荡模式，就可以引起土星内部密度分布随方位角的变化.这些密度的微小变化又影响了土星外部的重力场，从而影响土星环的结构和分布.Fuller(2014）通过研究土星C环的结构得出土星内部靠近核的深度有一个稳定分层结构(table stratification).Mankovich等（2019）通过研究C环的Cassini数据，重新计算了土星的自转周期，并发现它比以前想象的转速要快.他们同时指出，没有很强的证据表明土星内部有差异转动.尽管土星内部的自由震荡频率和土星环的结构之间有很强的对应关系，然而关于自由震荡的激发源是什么还不是很清楚（Mankovich et al.,2019).Fuller等（2016）提出土星内部的震动模式可能与最近的5个卫星的潮汐力之间有共振锁定，使得这些卫星的轨道不断向外迁移.最近，土卫六(Titan)向外迁移的速度进一步地证实了共振锁定这一科学推测（Lainey et al.,2020).

　　在本文中，我们主要研究卫星引潮力和固体行星的地震波场之间的共振，称其为潮汐—地震波共振，并且通过理论和数值模拟来研究这个共振对卫星轨道的影响.

　　1 、潮汐—地震波共振

　　1.1、 潮汐—地震波共振何时发生

　　为了探究潮汐—地震波共振何时发生，我们需要计算行星的自由震荡频率和卫星引潮力的频率.因为卫星是周期性绕行星公转的，行星上每一点所受的引潮力都是周期性的.设公转频率是ω0，用傅里叶级数对周期信号的展开，我们可以看到更高阶的引潮力对应有nω0的角频率，这里n=2,3,4,….，当某个引潮力频率和某个行星自由震荡频率相同的时候，潮汐—地震波共振发生.一般来说引潮力倾向于激发基阶震动模式的自由震荡0Sn，这里n是行星表面位移的球谐函数的阶数.

　　假定行星是均匀球体，考察在不同的行星地震学参数下（如密度、半径、横波速度，P波速度被认为是S波速度的1.8倍），我们计算最长周期的自由震荡模式0S2（即橄榄球模式）.同时我们用开普勒定律计算卫星公转周期，就可以得出发生潮汐—地震波共振的条件（图1).

　　图1 潮汐—地震波共振发生条件.假设卫星在贴近行星表面的轨道公转，在不同行星密度和半径下，能产生潮汐—地震共振的最大的横波速度VS.纵轴是行星半径r，横轴是密度ρ，颜色代表了横波速度.右上角白色区域没有计算，不代表没有共振.

　　Fig.1 Tidal-seismic resonance conditions for the maximum shear-wave speed of the planet for different planet densities and radii.We assume the satellite orbits on the equator.The horizontal axis is densityρand the vertical axis is the planet radius r.The color represents the S-wave speed.We did not compute the cases in the upper right corner (white area).

　　1.2、 潮汐—地震共振产生的影响

　　一般来讲，潮汐—地震波共振倾向于发生在卫星处于较低轨道的时候.我们开发了程序AstroSeis(Tian and Zheng,2020）进行数值模拟卫星在不同轨道高度时产生的地震波场.如果卫星在同步轨道以下，地震波场引起行星地面位移可以对卫星产生一个力矩使得它的下降速度增加.我们可以看到当卫星不断靠近行星的时候，潮汐—地震共振发生在一些离散的轨道上（图2中的“峰”）.在这些轨道高度上，卫星的下落速度急剧增大.因为这些轨道半径的特殊性，我们把这些轨道记做r n*,n可以取大于等于2的整数.当卫星在r n*上时，行星的0Sn自由震荡频率和nω0相同.在这种情况下，引潮力和行星自由震荡0Sn不但在时间频率上吻合，而且他们在空间频率（即球谐函数的阶数n）也吻合.因此，引潮力和行星自由震荡的空间频率和时间频率的双重耦合，从而能在行星表面产生很大的动态位移.这些位移既有向外凸出的也有向内凹陷的，他们对卫星的吸引力产生了负的合力矩，从而使得卫星轨道迅速下降.可以看得出来，如果不考虑潮汐—地震共振，卫星下降的速率是平滑递增的（类似下斜坡一样）.由于有了共振，卫星在共振轨道上会急剧下降（斜坡加台阶的方式）.

　　图2 潮汐星球共振产生的影响.数值模拟不同Q值模型和不同轨道高度下卫星的轨道下降速度.水平轴是卫星的轨道半径.不同的被激发的自由震荡模用黑色字体标在峰值附近.行星半径为=2 000 km,P波速度为3 000 m/s,S波速度为1 200 m/s,密度为2 840 kg/m3.卫星质量为1016 kg.在模拟中，考虑二体公转问题，Rpl但是不考虑行星自转（修改自Tian and Zheng,2019)

　　Fig.2 Modeling results of orbital decay with the influence of the tidal-seismic resonance.We compute the orbit decay rate of the satellite for different Q values and orbit radii.The horizontal axis is the orbit radius and the vertical axis is the orbital decay rate.The corresponding resonant seismic modes are labeled around the peaks.The planet radius is Rpl=2 000 km,P-wave velocity is3 000 m/s,S wave velocity is 1 200 m/s,and the planet density is 2 840 kg/m3.The mass of the orbiting moon is1 0 1 6 kg.In our modeling,we only consider a two-body planet-moon system and neglect the planet spin (Figure reproduced from Tian and Zheng (2019) with permission from Elsevier)

　　行星内部的Q值也会影响卫星轨道变化，可以分为两种情况讨论.在共振对应的轨道上（图2的“峰”对应的轨道半径）,Q值越大，行星内部因为共振被激发的自由震荡的位移越大,所以对卫星产生的力矩也越大，卫星下降速度越大.如果行星运行轨道不在共振轨道上，行星内部没有自由震荡，行星表面的形变完全由潮汐牵引力引起，这时，形变对卫星产生的力矩主要由潮汐相位差（tidal lag）控制（图3）.潮汐相位差正比于1/Q.所以当Q值变大时，下降速率变小（Bills et al.,2005）.在我们这个模型（图2）的参数下做数值计算，发现共振最强时,0S2被激发，引起的卫星下降速率是1～10 cm/s,比附近没发生共振的轨道高度上的下降速率要大两个数量级（图2).

　　图3 潮汐牵引力矩示意图.当没有潮汐—地震波共振时，潮汐力使得行星变形有两个潮汐隆起.对于同步轨道下方的卫星M1，因为它的公转角速度比行星自转的角速度快，潮汐隆起对M1的合力向后（合力矩为负）从而使其轨道下降.对于M2，因为行星自转速度快于M2的公转速度，离得近的隆起在前面，所以M2受到的合力向前（合力矩为正），M2轨道升高.地球和月亮与M2类似.当潮汐—地震波共振时，行星地表形变主要由地震波引起.地表形变的最大振幅由地震波的Q值控制，同时Q值也控制了地表形变与潮汐力的相位差，从而影响合力矩和卫星轨道

　　Fig.3 Schematic showing tidal torque.When there is no tidalseismic resonance,tidal forces of the moon deform the planet surface to pull up tidal bulges on the planet surface.For the moon,M1,below the synchronous orbit,its orbital angular velocity is faster than the planet spin velocity.The tidal-bulge's gravitational pull exerts a negative torque on M1 so its orbit radius decays.On the other hand,for M2,above the synchronous orbit,its orbit angular velocity is lagging behind the nearest tidal bulge so that M2 will experience a forward pull hence a positive torque to raise its orbit further and further.The Earth's Moon is similar to M2.When the tidal-seismic resonance happens,the planet surface deformation is mainly due to seismic waves whose ultimate amplitudes are controlled by the dissipation factor,the seismic Q.In the meantime,Q also influences the phase lag between the tidal force and the resultant surface displacement to ultimately exert a torque on the moon to change its orbit

　　2 、讨论

　　2.1 、火星一火卫一系统

　　潮汐作用对于我们太阳系内的火星—火卫一(Mars-Phobos)系统的演变也有很重要的作用.火卫一是太阳系内唯一位于行星的同步轨道之下的天然卫星.由于潮汐相位差，火卫一处于一个螺旋向下的轨道上（Black and Mittal,2015;Hesselbrock and Minton,2017）.火卫一在下降的过程中，公转频率会越来越快，从而和火星自由震荡频率越来越接近.那么在这种情况下，潮汐—地震波共振是否会对火星—火卫一系统产生重要影响呢？遗憾的是虽然当前火卫一和火星的距离很近（2.77倍火星半径），但还不足以引起显着的潮汐—地震共振.在目前轨道上，高阶引潮力的潮汐—地震共振对轨道下降速度的影响不到当前下降速度1.28×10-9m/s(Bills et al.,2005）的千分之一.但我们可以推算按照这样的趋势继续轨道演化，当火卫一位于1.97倍火星半径时候，火卫一的轨道下降速率将会达到10-10m/s，其造成的影响将不能被忽视.

　　2.2、 地震学在探测小行星内部结构的前景

　　潮汐—地震波共振效应或许有可能加快行星早期吸积的速度.而小行星被认为是组成类地行星的早期构造的组分（Asphaug,2009）,所以研究像Phobos这样的小行星和陨石的内部结构，对于揭示太阳系的起源与演化有重要作用.但是我们对于小行星的内部的地震学结构却鲜有了解.

　　地震学的方法对于探究固态天体的内部结构非常重要（Asphaug,2020）.比如Murdoch等（2017）提出使用引潮力（tidal force）和热破裂（thermal cracks）用小行星Didymoon作为被动地震源来区分不同小行星模型.小行星自由震荡可以帮助我们分析由碎石块组成的（rubble-pile）结构.由于小行星的自身重力很小，小行星内部地震波引起的应力可能超过重力.这时候地震波可以重塑小行星的表面地形（Asphaug et al.,1996）.测量小行星和陨石内部的地震波速度变得非常重要.

　　撞击激发的小行星自由震荡可以改变小行星Bennu的地形（Quillen et al.,2019）.而分析小行星Bennu表面的地形还可以通过地震学反推其内部的结构和物质组成（DellaGiustina et al.,2019）.最近，激光震动仪在小行星轨道环绕器上的应用可以让我们不用登上小行星就能够获得小行星上一个物体的震动信息（Sava and Asphaug,2019;Courville and Sava,2020），从而为我们研究小行星上的地震学提供了新的可能的观测数据.显然，在性质极其不规则的小行星中模拟地震波场，对于研究小行星的内部结构和表面过程非常重要.

　　我们编写的模拟小天体内地震波场传播的程序包AstroSeis(Tian and Zheng,2020）是一个开源且易用的MATLAB程序包.AstroSeis可以用来计算火卫一（Phobos）等不规则的小天体内部地震波场的传播.我们可以看到火卫一的地形很大程度上影响到了地震波场.火卫一的某些地形特征和地震波的频率有很好的对应关系.比如在0.18 Hz时，斯蒂克尼（Stickney）陨石坑对地震波响应强烈，地震波场清楚地显示了Stickney陨石坑的形状（图4）.火卫一的轨道面、火星的赤道面和火卫一的赤道面基本在一个面上.

　　图4 AstroSeis模拟不同频率下的火卫一表面地震波场.爆炸震源深度为4 km.假设火卫一（Phobos）的纵波速度为3 km/s，横波速度为1.0 km/s，密度为1 880 kg/.颜色为加强对比度后的地震波场位移m3

　　Fig.4 Seismic wavefields in Phobos calculated by our AstroSeis modeling code.We assume Phobos has a P-wave velocity 3 km/s,S-wave velocity 1 km/s,and density 1 880 kg/m3.We put an explosion source at 4 km depth.Color shows the positive (blue) and negative (red) vertical-component displacement of the seismic field

　　我们的AstroSeis是基于边界积分方程（例如Sánchez-Sesma and Campillo,1991;Ge et al.,2005Ge and Chen,2008;Zheng et al.,2016）的频率域边界元法.AstroSeis提供的是一种可以模拟外形不规则物体中的三维地震波场的精确的方法.该方法仅需离散边界或者内部的界面，从而把三维问题化为二维问题，减小了地震波场计算的维度.在其他领域，已经有研究人员使用边界元法来模拟计算量非常大的三维地震波场模拟（Stamos and Beskos1996;Chaillat et al.,2009).

　　3 、结论

　　本文提出的潮汐—地震波共振可能对于行星—卫星系统的轨道演化有重要影响.潮汐星球共振会在卫星上产生巨大的负力矩，从而使卫星向行星的下落速度产生两个数量级的增加.可以推测这个效应在行星早期的快速吸积过程中或许有加速的作用.另一方面来讲，潮汐星球共振可能为我们提供一种不用降落到行星表面就探测行星结构的重要方法：我们可以通过精确测量卫星在不同轨道高度下的下降速度推测出行星的自由震荡频率，进而得到行星内部结构.我们用来计算的程序包AstroSeis可以模拟行星以及小天体的复杂不规则的表面或者界面对地震波场的影响，并且可以加入固液边界、频率相关的衰减、单力和矩张量等震源的模拟.我们可以预期这个程序包对于未来的行星与小天体探测会有重要作用.

　　数据与来源

　　火卫一的地形数据来自Willner等（2014).

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