理论力学新的约束定义及分类

　　一、理论力学经典教材中约束的定义及分类

　　约束，为理论力学最基本也是最重要的概念，在静力学和分析力学部分都有重要介绍。在静力学部分，经典教材中对约束的定义[1,2]为：对物体的某些位移起限制作用的周围物体，或是限制质点或质点系运动的条件。例如铁轨对火车、轴承对转子，钢索对于重物等，都是约束。分析力学部分，尤其在运用功的概念分析系统平衡问题的虚位移原理中，为了便于原理的推导与应用，将上述约束的概念进行了扩充，增加了一些定义和约束分类。但现有的各理论力学教程中，对于约束的定义和分类有一些易让人模糊、混淆的地方。本文将指出其中的问题，并提出一种新的约束定定义和分类方式，供力学教育工作者和学习者参考。

　　在现有的理论力学教材中，约束的分类是从约束方程出发的，即表示约束限制条件的数学方程[2,3].例如：若约束方程为等式方程，则称为双面约束，如图 1 所示，滑块 B 的约束方程为y =0;而若约束方程为不等式方程，则称为单面约束，如图 2 所示，滑块 B 的约束方程为 y ≥ 0;若约束方程仅含有位移相关项，则称为几何约束，如图 3 所示单摆，摆长为l,摆杆对质点的限制条件是质点必须在以点 O 为圆心、摆长l 为半径的圆周上运动，则质点的约束方程为2 2 2x + y =l;而若约束方程仅含有速度相关项，则称为运动约束，如图4所示，圆轮沿地面纯滚动，其约束方程为Cv =Rw.
　　
　　二、新的约束定义及分类

　　这种通过数学方程的特征对物理约束进行定义或分类的方法是不恰当的。因为物理约束的数学描述不具有唯一性或其唯一性未作证明，即同一个物理约束可用不同的数学方程描述，是否能用不同特征（等式 / 不等式，含速度 / 不含速度）的方程描述很难讲。例如对于简单的等式方程，可等价表示为两个不等式方程“?”和“?”,而有些含有速度项的方程可通过一次积分等阶于不含速度项的方程（当然有初始条件问题的偏差）。这样对同一个物理约束将可能归于不同的类，如图 4 所示运动，其约束方程Cv =Rw可积分为Cx =Rq,约束从运动约束变成了几何约束。

　　为回避上述问题，可采取如下的分类或定义方式。对于物理约束，不能从其约束方程特征出发，而从物理约束本身的特征出发定义之。例如使两点距离保持不变的约束称为双面约束，而使两点距离不可超过某一值而可小于该值的约束称为单面约束。当然，对于数学约束，仍然通过直接分析方程特征做出分类。这样的分类，将使得物理约束的分类与数学约束的分类不具有完全的匹配性质。即在物理上属于某类的约束，在数学上可属于两个对应的类。

　　上述做法可以完全满足严格性要求，但应用起来不见得很方便。于是，在经典的教育体系中，通常采用了一种折衷的做法。即首先给出几个物理约束，描述其物理特征，而后以直观的方式写出其约束方程，通过比较物理特征与约束方程特征的关系，通过约束方程的特征完成物理约束的分类。

　　这种做法在实质上暗含了物理特征的分类意义，从而在采用这种分类时，强行把两种分类统一起来。可以认为，上述做法设定了一条标准的写出约束方程的路径，从而回避了两种分类的歧义。

　　上述讨论，在光滑 / 非光滑，线性 / 非线性物理系统中均有类似问题出现，不归于物理学的含混性。

　　三、结语

　　本文对理论力学经典教材中约束的定义和分类做出了统一规定，避免了原来约束的定义和分类有一些易让人模糊、混淆的地方。新的规定严格、统一，避免了原来定义和分类中的歧义。

　　参考文献：

　　[1] 哈尔滨工业大学理论力学教研室 . 理论力学（I）[M]. 北京 :高等教育出版社 ,2010.
　　[2] 马尔契夫 . 理论力学 [M]. 李俊峰 , 译 . 北京 : 高等教育出版社 ,2006.
　　[3] 陈滨 . 分析动力学 [M]. 北京 : 北京大学出版社 ,2012.