艾尔布朗语义下的真谓词概念研究

　　塔斯基［Tarski 1936］提出了一阶语言的一种解释，这种解释允许使用任何个体对象作为变元的取值，不同的变元或常元可能以相同的对象作为它们的解释。这种解释现在已成为一阶语言的标准解释，被称为塔斯基语义。在塔斯基提出这种语义之前，法国逻辑学家艾尔布朗在对其“基本定理”（现称为艾尔布朗定理）的证明中，事实上也对一阶语言提出了一种解释。

　　①在这种解释中，变元的取值只能是一阶语言中的项，各个项的解释就是项本身（因而，不同的项———特别地，不同的变元或常元———必定被解释为不同的对象）。这种解释现在称为一阶语言的艾尔布朗语义。

　　从表面看来，艾尔布朗语义仅仅是塔斯基语义的一种特殊情形。因此，虽然艾尔布朗定理是一阶逻辑中最基本的结果之一，但是艾尔布朗语义本身似乎并没有引起逻辑学家足够的重视。美国斯坦福大学的 T．Hinrichs 和 M．Genesereth 教授在文［Hinrichs & Genesereth 2006］中的研究表明，艾尔布朗语义与塔斯基语义在可判定性、逻辑后承关系等方面是不同的。上述种种差异自然是由不同语义解释造成的。一阶语言中任何概念只要依赖于语义都可能会在塔斯基语义和艾尔布朗语义下有所不同。而真谓词作为语义中最基本的概念之一自然会被纳入到上述两种语义的框架之内。真谓词在艾尔布朗语义下是否具有不同于塔斯基语义中的表现呢？这个问题似乎在文献中还没有得到深入的研究，本文就是要想对这一问题进行初步的探索，指出艾尔布朗语义下的真谓词概念确实是值得注意的。

　　一、艾尔布朗语义

　　一阶语言中的初始符号、项、公式等句法对象一如往常规定。需要补充的是，为了使艾尔布朗语义不至于过于平庸，这里约定一阶语言中个体常元不空。注意，一阶语言中的语句指的是闭公式，即不含自由变元的公式。

　　我们知道，在塔斯基语义中，为了能对语句进行赋值，必须给出一定的模型对语句中的非逻辑符号做出解释，同时还必须通过指派对变元指定对象。这里主要的麻烦在于，虽然语句的赋值独立于指派，但是一般情况下，必须在模型和指派下对所有的公式进行赋值，然后才能在模型下对语句进行赋值。艾尔布朗语义就不存在这样的问题，我们可以直接对语句进行赋值。

　　我们规定，对于一个一阶语言 L，只要确定 L 中原子语句的一个集合，就给出了 L 的一个艾尔布朗模型。在某个艾尔布朗模型 M 下，按如下方式规定原子语句的可满足性：形如 s=t 的原子语句在 M 下可满足，当且仅当项 s 和 t 作为符号串完全相同；形如 Pt1…tn的原子语句在 M 下可满足，当且仅当项 s 和 t作为符号串完全相同。由联接词联接得到的复合语句的可满足性如常规定，略去。量词语句的可满足性规定如下：形如坌xA 的语句在 M 下可满足，当且仅当对 L 中每个闭项 t，A（t）都在 M 下可满足；形如埚xA 的语句在 M 下可满足，当且仅当 L 中存在某个闭项 t，使得 A（t）在 M 下可满足。

　　相应于上述可满足概念，可规定逻辑后承。如果任何满足语句集∑的艾尔布朗模型也一定满足语句A，那么就称 A 是∑的一个逻辑后承，又可称∑衍推出 A。为明确起见，艾尔布朗模型下的可满足及逻辑后承概念加前缀“H-”，而塔斯基语义下的可满足及逻辑后承概念加前缀“T-”。

　　如［Hinrichs & Genesereth 2006］文所指出，在塔斯基语义下，一阶公式的可满足性是半可判定的，但在艾尔布朗语义下，一阶公式的可满足性不是半可判定的；在塔斯基语义下，逻辑后承关系具有紧致性，但在艾尔布朗语义下，逻辑后承关系不具备紧致性；在塔斯基语义下，自然数结构中的真语句是不能有穷可公理化的，但在艾尔布朗语义下，自然数结构中的真语句是有穷可公理化的。

　　作为例子，考虑这样一个一阶语言，其中非逻辑符号只有一元谓词 P 和个体常元 a。众所周知，Pa 不是埚xPx 的 T-逻辑后承。然而，Pa 却是埚xPx 的 H-逻辑后承，理由是满足埚xPx 的艾尔布朗模型只有{Pa}一个。再考虑一阶语言，其中除含上述 P 和 a 外，还含一个一元函数符 f。因为这个语言中的闭项是a、fa、ffa 如此等等，所以，坌xPx 是集合{Pa，Pfa，Pffa，…}的一个 H-逻辑后承。然而，很明显，{Pa，Pfa，Pffa，…}的任何有穷子集都不会 H-衍推出坌xPx。由此可见，与 T-逻辑后承不同，H-逻辑后承不满足紧致性。

　　二、塔斯基 T-模式

　　下面转入本文的主题：艾尔布朗语义下的真谓词。为此，先规定皮亚诺算术的一个形式语言 LN，其中除等词=外，还含有二元谓词 Less、三元谓词 Add、Mult、一元函数符 S 以及个体常元 0。注意，在艾尔布朗语义下，因为只有那些完全相同的项才是相等的，所以不能使用函数符来表示加法和乘法运算（不然的话，甚至如 0+0=0 这样的语句在艾尔布朗语义都是不可满足的）。在 LN中添加一元谓词 T 得到的语言记为 L+N。这个语言就是我们考虑真谓词的一阶语言。除非特别声明，以下所说项、公式等皆指 L+N中的项、公式。用记号‘A’表示公式 A 的哥德尔数。

　　为了便于比较，下面采用 L+N的标准的塔斯基语义与艾尔布朗语义双线并进的方式逐步探讨相关问题。首先，LN的标准塔斯基语义解释是自然数结构 N。N 以自然数集作为论域，以自然数集上的小于关系作为 Less 的解释，以满足 l+m=n 的有序组（l，m，n）构成的集合作为 Add 的解释，以满足 l·m=n 的有序组（l，m，n）构成的集合作为 Mult 的解释，以后继关系作为 S 的解释，以自然数 0 作为0的解释。类似于 L+N的标准塔斯基语义，在艾尔布朗语义中，首先需要固定一个标准的艾尔布朗模型用于描述自然数结构。为此，用n表示项 SS…S0（n 个 S）。令 M 为 LN的艾尔布朗模型，它包含如下语句：Less（m，n）（其中，m 小于 n），Add（m，n，k）（其中，m+n=k），Mul（tm，n，k）（其中，m·n=k），其中 m，n 为自然数。

　　把语义解释的范围扩大到 L+N中，在塔斯基语义中，N 被认为是 L+N的底模型，除此之外，还需要对一元谓词 T 做出解释。当然，T 的解释必定是自然数集 N 的某个子集，设为 X。由此，就可以对 L+N中所有语句进行赋值，赋值的规定如常，细节略去。下面使用 X荽A 表示语句 A 在 N 与 X 构成的解释中为真。特别地，X 荽T‘A’，当且仅当‘A’属于 X。

　　这里，T 不是一个普通的谓词符，而是用来表示真谓词的符号。那么，什么时候 T 才能被视作是真谓词呢？按照塔斯基的思想，唯有下一模式对某个语言中的每个语句 A 都成立，才能认为 T 是该语言的真谓词：T‘A’当且仅当 A（［Tarski 1936］，155-156）。此模式就是着名的塔斯基 T-模式。此模式在塔斯基语义下的表现形式如下：X 荽T‘A’，当且仅当 X 荽A。 （1）X 作为 T 的解释，很自然应当包含且只包含 L+N中所有在 N 与 X 构成的解释中为真的语句。换句话说，式子（1）应对 L+N中每个语句 A 成立，只有这样，T 的解释 X 才被认为是 L+N的真谓词。然而，塔斯基证明，这是不可能做到的，因为若不然，则在L+N中，可以构造这样的语句 λ，满足：X 荽λ，当且仅当 X 荽劭T‘λ’ （2）这样，把 λ 代入到式子（1）中会导致矛盾。这个结论常被称为“塔斯基定理”，而证明中所用语句 λ 因它断定它自己不真，故相当于说谎者语句。

　　接下来转入 L+N的艾尔布朗语义。首先，M 是艾尔布朗语义中 L+N的底模型。然而，这个模型也可看做是 L+N的真正意义上的一个模型，其中因为不含任何 Tt 形式的语句，因此谓词符 T 实际被解释为某种空谓词。一般而言，我们会考虑这样的模型 M′，它包含 M，同时还包含了某些 Tt 形式的语句。在模型M′下，对公式 A 规定相应的赋值 M′ 荽HA 如下：（1）M′ 荽Hs=t，当且仅当项 s，t 作为符号串完全相同；（2）M′ 荽HTt，当且仅当 Tt 属于 M′；M′ 荽HLess（s，t），当且仅当 Less（s，t）属于 M′；Add、Mult 型的原子公式类似规定，略去；（3）M′ 荽H坌xA，当且仅当对任何闭项 t，M′ 荽HA（t/x）；其他如命题联接词型或存在量词型语句类似规定。

　　在 L+N的艾尔布朗语义下，我们希望 T 被解释为 L+N中的真谓词。什么样的 M′适合这一条件呢？按塔斯基 T-模式，如果 T 在模型 M′下被解释为 L+N中的真谓词，那么中必需包含所有在 M′下为真的语句，即 M′对 L+N中每个语句 A 都满足：M′ 荽HT‘A’，当且仅当 M′ 荽HA。 （3）在此情况下，使用先前提到的语句 λ，同样可以导出矛盾。因此，在 L+N的艾尔布朗语义下，塔斯基定理同样成立：L+N不可能包含它自身的真谓词。

　　这里顺便指出，艾尔布朗语义下的塔斯基 T-模式与塔斯基语义下的 T-模式似乎并无太大的区别，但是对于［Hsiung 2009］所提出的 T-模式的一个推广，情况似乎并不明了，究竟如何在艾尔布朗语义下表达 T-模式的这个推广似乎是值得深入研究的问题。

　　三、亚布鲁悖论

　　根据前一节的比较，可以看出塔斯基 T-模式在 L+N的艾尔布朗语义下的表达类似于在 L+N的标准塔斯基语义下的表达，而塔斯基定理作为一个纯粹的语义学定理，在艾尔布朗语义下同样成立。所有这些都不会令人惊奇，因为 L+N的艾尔布朗语义与标准的塔斯基语义本来就是相当接近的。然而，它们的差异是存在的。一个最明显的差异就反映在 L+N的艾尔布朗语义与非标准塔斯基语义上。

　　美国逻辑学家亚布鲁（S．Yablo）在文［Yablo 1993］中提出了以他名字命名的悖论。这个悖论含有可数无穷多个语句：Y（0），Y（1），……，每个语句都断定它后面的每个语句都不真。这些语句蕴涵矛盾，这是因为假设 Y（0）为真，根据 Y（0）所说，对于 k>0，Y（k）为假。因而，一方面，Y（1）为假，另一方面，对于所有k>1，Y（k）为假。这样，Y（1）为真，与 Y（1）为假矛盾。于是，Y（0）必为假。同理，这个语句的其他每个语句都为假，因而，Y（0）又必为真，矛盾。

　　为了能在一阶语言 L+N中分析亚布鲁悖论，我们需要考虑 L+N中的一阶算术理论。这个理论由关于Less、Add、Mult 的公理以及归纳公理模式构成。例如，Less 公理有四条：（1）坌x Les（sx，Sx）；（2）坌x Les（sS x，x）；（3）坌x坌y（Less（x，y）→Less（x，S y））；（4）坌x 坌y（Less（S x，y）→Less（x，y））。归纳公理模式一如往常为：（A（0）∧坌x（A（x）→A（Sx））→坌x A（x）），这里 A（x）是 L+N中的公式。其余公理略去，可参见［Hinrichs ＆Genesereth 2006］。下面用 PA 表示以上述公式作为公理的一阶理论。

　　现在，使用哥德尔算术化的方式不难在语言 L+N中对任意自然数 n，寻找到语句 Y（n），使得 Y（n）在PA 中等价于语句坌x（Less（n，x）→劭T‘y（x）’）。注意，这里‘Y（x）’表示把 x 对应的数字代入到 Y（x）中得到的公式的哥德尔数字。这实际上相当于把亚布鲁悖论形式化到了 L+N中，以后就用语句集{Y（n）|n 是自然数}表示亚布鲁悖论。我们考虑语句集{Y（n）|n 是自然数}与{T‘Y（n）’圮Y（n）|n 是自然数）的并集，记这个集合为 Υ。

　　首先注意，语句集 Υ 是 PA 一致的。这是因为在 PA 中，从集合 Υ 的任何有穷子集都不会推出矛盾，然而 PA 的推演满足紧致性定理，因此，整个 Υ 就是 PA 一致的。然而，集合 Υ 是 PA ω 不一致的（见［Ketland 2005］，299）。这一点可以从上一节 L+N的标准塔斯基解释不满足 Υ 可以看出。因而，在塔斯基语义下，只有 PA 的非标准模型能满足 Υ。换言之，T 的解释只有包含某个非标准数才能使 Υ 中语句（在非标准的塔斯基语义下）都为真。

　　在 L+N的艾尔布朗语义下，情况就有所不同。问题出在艾尔布朗语义中个体对象仅仅包含 L+N中的闭项，而没有哪个闭项能够表达非标准模型中的非标准元。因而，在艾尔布朗语义下，没有任何模型能满足语句集 Υ。这一点与先前提到的 H-逻辑后承不满足紧致性相关。事实上，不难看出坌x（T‘Y（x）’圮Y（x））是{T‘Y（n）’圮Y（n）|n 是自然数}的H-逻辑后承，但它却不是后者的 T-逻辑后承。我们再次看到，H-逻辑后承要强于 T-逻辑后承。因而，Υ 可 H-衍推出逻辑矛盾，而不能 T-衍推出矛盾，就是在意料之中的了。

　　四、语言层次

　　众所周知，为了突破塔斯基定理的限制，塔斯基本人采用了语言分层的方式来规定真谓词。事实上，仅需把 T 解释为 LN中所有在 N 中为真的语句的哥德尔数构成的集合 X，则式子（1）一定对中任意语句A 都成立。在这个意义上，L+N虽然不能含有它自身的真谓词，但是它包含 LN的真谓词。L+N因而被称为 LN的元语言。

　　分层的想法同样适用于艾尔布朗语义。回到先前提出的艾尔布朗语义中 L+N的底模型 M。注意，M 中不含任何带真谓词符的语句，因此 T 在 M 中实际被解释为空谓词。但是，若规定 M1是 M 与所有使得M 荽HA 成立的语句 T‘A’的并集，则对 L+N的任意语句 A，都有：M1荽HT‘A’，当且仅当 M 荽A。特别地，对 LN的语句，有：M1荽HT‘A’，当且仅当 M1荽A。因此，L+N同样包含了这样的 T，它被解释为 LN的真谓词。

　　对语言进行分层规定真谓词的做法历来为学者所诟病，其中毛病之一如克里普克指出，这种做法无法对超穷的层次进行规定（见［Kripke 1975］，59~61）。克里普克批评的要点在于超穷层次要求对之前层次的真谓词外延进行累积，但真谓词的外延累积会导致矛盾。这一点是熟知的事实。此处，我们说明类似的累积在艾尔布朗语义也同样导致矛盾，甚至无需等到超穷层次，这种矛盾在第二层次就会产生。

　　为此，我们规定 M2是 M1与所有使得 M1荽HA 成立的语句 T‘A’的并集。考虑说谎者语句 λ，因为 T‘λ’不在 M 中，所以，M荽Hλ。由此，T‘λ’在 M1中，所以，M1荽Hλ 不成立。根据 M2的规定，T‘λ’不在 M2中。但由此由 M1累积出来的，T‘λ’必在 M1中，这就出现矛盾了。由此可见，在 L+N的艾尔布朗语义中，模型如果按累积规定下去至多到第一个层次就必须终止。

　　能使层次一直进行下去的办法主要有两种，一种是按克里普克的归纳构造方法，修改模型上的赋值引入真值空缺（见［Kripke 1975］）；另一种就是按古普塔和赫兹伯格的修正理论，在构造模型的时候不进行累积只进行修正（见［Gupta 1982］和［Herzberger 1982］）。本文限于经典逻辑，所以只考虑第二种办法。

　　在艾尔布朗语义中，可这样来规定不具累积效应的模型：以 M 作为起点，设之为 MH0；然后，对任意序数 α，规定 MHα+1就是所有使得 MHα荽HA 成立的语句 T‘A’的并集；最后，对极限序数 α，规定 MHα就是前面所有阶段 MHβ的下极限，也就是说，MHα包含语句 A，当且仅当存在一个小于 α 的序数 γ，使得对任意大于 γ 但小于 α 的 β，MHβ都包含 A。通过这样的规定，我们就不难在艾尔布朗语义中展开修正理论了。

　　五、结论
　　
　　前面的分析总结起来，有以下几点：塔斯基 T-模式在艾尔布朗语义中的表达类似于塔斯基语义中的表达，而且使用说谎者悖论同样能够在艾尔布朗语义中得到塔斯基定理；亚布鲁悖论在塔斯基非标准模型中可以得到满足，但是在艾尔布朗语义中却是不可满足的；语言分层的思想在（经典）塔斯基语义中到第 ω 阶段一般情况下不能继续，但在艾尔布朗语义中甚至到第二阶段就不得不终止。

　　可以看到，艾尔布朗语义下的真理论与塔斯基语义下的真理论既有共通之处，又有某些让人感兴趣的差异。当然，这个对照分析还比较初步，我们主要的目的是抛砖引玉，希望引起读者注意，艾尔布朗语义下的真理论本身还是有许多问题值得考虑的。