高等数学论文
一、求抽象函数的定义域
1. 若已知函数f [g（x）]的定义域为x∈（a,b），求函数f（x）。
解决这类问题的方法是：利用a 例1. 已知函数f（x+1）的定义域是[-2,3],求y=f（x）的定义域。
解：因为函数f（x+1）的定义域是[-2,3],所以-2≤x≤3
所以-1≤x+1≤4, 因此y=f（x）的定义域是[-1,4]
2. 若已知函数f（x）的定义域为x∈（a,b），求f [g（x）]函数的定义域。
解决这类问题的方法是：a 例2. 已知函数f（x）的定义域为（0,1],求函数g（x）=f（x+a）+f（x-a）（- 解：因为函数f（x）的定义域为（0,1]
所以0 由于- 所以不等式组（Ⅰ）的解为-a 即g（x）=f（x+a）+f（x-a）（-
二、抽象函数的周期性和奇偶性
1. 抽象函数的周期性
例3. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+2），且当x∈（-1,1]时，f（x）=x2+2x,
求当x∈（3,5]时，f（x）的解析式。
解：∵f（x+4）=f（x+2+2）=-f（x+2）=f（x）
∴f（x）是以4为周期的周期函数
设x∈（3,5]时，则-1 ∴f（x）=f（x-4）=（x+4）2+2（x-4）=x2-6x+8（3 评注：若对函数f（x）定义域内的任意，恒有下列条件之一成立（以下式子分母不为零，a≠0）
①f（x+a）=-f（x） ②f（x+a）= ③f（x+a）=-
④f（x+a）=- ⑤f（x+a）=- ⑥f（x+a）=f（x-a）
则函数f（x）是以2a为周期的周期函数①
2. 抽象函数的奇偶性
奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。
例4. 已知定义在上的函数f（x），对于任意x,y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0
（1）求f（0）的值
（2）判断函数f（x）的奇偶性
解：（1）令x=y=0,则有2f（0）=2[f（0）]2 ∵f（0）≠0∴ f（0）=1
（2）令x=0,得f（y）+f（-y）=2f（0）·f（y）=2f（y）
所以f（-y）=f（y）这说明函数f（x）是偶函数。
三、抽象函数图像的对称变换
结论1:①函数y=f（-x）与函数y=f（x）的图像关于y轴对称；
②函数y=-f（x）与函数y=f（x）的图像关于轴对称；
③函数y=-f（-x）与函数y=f（x）的图像关于原点轴对称；
④函数y=f-1（x）与函数y=f（x）的图像关于直线y=x轴对称。
结论2:若对定义域内的一切x均有f（x+m）=f（n-x）成立，则函数y=f（x）的图像关于直线x= 对称。
结论3:函数y=f（x+a）与y=f（-x+b）的图像关于直线x=对称（a,b为常数）。
例5. 设函数y=f（x）的定义域为，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图像关于（ ）
A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称
C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称
错解：因为函数y=f（x）的定义域为R,且f（x-1）=f（1-x），所以函数y=f（x）的图像关于直线x=0对称，故选择B.
错解分析：错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈，即将两个不同函数图像的对称问题，错误地当成一个函数的图像对称问题，从而导致错误。
正解：因为函数y=f（x）的定义域为R,而y=f（x-1）的图像是y=f（x）图像向右平移1个单位而得到的f（1-x）=f[-（x-1）]的图像是y=f（-x）图像向右平移1个单位而得到的，又因为f（x）与f（-x）的图像关于y轴对称，因此函数y=f（x-1）与y=f（1-x的图像关于直线x=1对称，故应该选择D。
四、求抽象函数的解析式
解决抽象函数解析式的问题，关键是构造出函数f（x）。通常采取赋值法，赋予恰当的数值或代数式后，通过合理运算推理，最后得出结论。
例6. 已知f（0）=1,f（a-b）=f（a）-b（2a-b+1），求函数f（x）的解析式。
解：令a=0,则 f（-b）=f（0）-b（-b-1）=1+b（b-1）=b2-b+1
再令-b=x,即得f（x）=x2+x+1
本文查阅山西省高中数学教材以及大一学生所用微积分教材等各种文献资料对大学微积分与高中数学衔接进行研究， 具体分析衔接问题并给出建议。...