如何做好高中数学与大学数学的衔接

　　大学数学是理学、工学、农学、医学、经济等专业的大一、大二的学生必修的专业基础课.它包括微积分、线性代数和概率论与数理统计.

　　由于大学数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性等特点，使得大学数学的教学方法和学习方法与高中数学不同，致使部分大一学生不能马上适应而失去对大学数学的兴趣，甚至影响到对专业课的兴趣.因此，如何做好高中数学与大学数学的衔接，使大一学生快速适应大学数学的教学方法和学习方法，一直成为大学数学教师研究和破解的问题.

　　然而，教育的衔接不是单方面的，而是双向的.也就是说，当大学数学教师正为做好高中数学与大学数学的衔接而努力的时候，高中数学教师也应努力为高中数学与大学数学的衔接做出一定的贡献.一方面，高中数学教师应切合实际地在教学中给学生渗透一些大学数学思想方法，为学生的后续学习做一些思想上和学习上的准备，从而激起高中生对大学数学的兴趣、好奇心，甚至是渴望.另一方面，针对目前部分大一学生对所学专业不感兴趣的现状，高中数学教师也可通过适当地对学生进行大学数学知识应用的介绍，让学生对大学里的部分专业有所了解，逐步产生兴趣，从而使学生能够为自己的努力学习确定明确的奋斗目标.

　　1 高中数学教学应注重与大学数学思想方法的衔接

　　所谓数学思想， 是指在数学学科范围内的一些数学基本概念、基本理论产生和发展过程中所蕴含的一些基本思想，以及所涉及的相关重要问题得以解决的途径和方法论.数学方法是指解决数学问题或用数学思想解决某些实际问题所采用的一般方法， 它具有一定的共性，是数学思想的衍生物,也是数学思想的重要体现.数学思想是其相应数学方法的精神实质和理论基础，而数学方法则是实现其数学思想的技术手段和表现形式.对学生进行数学思想方法的教育 ，不 仅仅是让学生会用这些思想方法解决数学问题， 进而不断创造出新的数学方法，更主要的是让学生学会用数学的方式思维， 去解决现实生活中的问题.高中数学中常用的数学思想是猜证结合思想、分类与步分思想、数形结合思想、划归思想、函数与方程思想，这些都是大学数学的基础，但是大学数学里还包含更丰富的数学思想，高中数学教师要结合教学内容的实际，给学生渗透一些大学数学思想方法，让学生对这些大学数学思想方法有初步的了解或认识，不仅可为学生今后的大学学习奠定一定的思想基础和知识基础，还可以激起学生学习大学数学的渴望和热情.

　　如高中数学中讲导数定义时， 教师就可向学生渗透一下极限思想. 为了适应时代信息技术发展的需要，《普通高中数学课程标准》将大学数学中导数及其应用（其中包括定积分与微积分基本定理）的内容安排在选修系列 1-1 和 2-2 中， 但却省略掉了对极限概念的介绍，而导数的定义是借助极限来刻画的.因此，教师可以通过简单易懂的例子或故事让学生感受极限思想的魅力，例如我国古代数学家刘徽的割圆术———利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法；有趣的芝诺悖论：希腊传说中跑得最快的人———阿基里斯追不上在他前面 100 米处慢慢爬行的乌龟的故事.让学生体会到对于数列｛an｝，当项数 n 趋于无穷大时，相应的 an无限接近某个常数 a，那么 a 就是数列｛an｝的 极限.

　　教师还可以向学生介绍一下发生在导数身上的数学史上的第二次数学危机，而使这场危机得以化解的正是极限定义的产生，极限是微积分理论的基础，以此激起学生对极限的兴趣.至于数列极限的严格定义，要在大学里继续学习，给学生留下一个悬念.

　　又如，恩格斯认为，在一定条件下，把曲线近似地看成直线是微积分的重要思想之一，即通常说的“以直代曲”的数学思想.它是微积分的中心思想，也是微积分产生的思想基础.

　　高中数学选修 2-2 中介绍求曲边梯形面积时利用了 “以直代曲”数学思想，采用了“分割、近似代替、求和、取极限 ”方法.讲到此时教师可以让学生思考：相对于平面上多边形的面积而言，我们学习了曲边梯形面积的求法，那么相对于平顶柱体的体积而言，曲顶柱体的体积又如何求呢？接下来教师可以向学生介绍，这要用到二重积分的知识，将来会在大学里学到，那时会用到二重积分“蓦”这个符号，解决这个问题的思想还是“以直代曲”数学思想，采用的方法还是“分割、近似代替、求和、取极限 ”方法，而且用这种思想方法还可以解决变速直线运动的路程、平面薄片的质量、曲面的面积、物体的质量、曲线形构件的质量等等，从中也可看出微积分在物理学中的重要应用.

　　再如公理化方法，所谓公理化方法,就是从尽可能少的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题 （公理）出发，运用演绎推理规则 ，推导出一系列命题和定理， 从而把一门数学建立成为演绎系统的方法.用公理化方法得到的逻辑演绎体系称为公理化体系.欧 式几何 、非欧几何、微积分、概率论都有自己的公理化体系.公理化方法可以把零散的数学知识用逻辑链条串联起来，使之形成完整的有机整体，它把一门数学基础分析得清清楚楚，结构严谨有序，这有利于比较各门数学在实质上的异同，从而促进和推动新理论的产生.鉴于此，教师在讲立体几何初步、概率的公理化定义时，可用简单易懂的语言向学生介绍公理化方法.在讲到选修 3-3 球面上的几何时（即便是有的学校不讲这部分内容）， 教师也可向学生介绍非欧几何就是在使用和研究公理化方法的过程中产生的，球面上的几何是非欧几何的一个重要的是模型，它是否定了欧氏几何《几何原本》中的第五条公设：“过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行”，改为“过直线外一点，没有一条直线与该直线平行” ，然后自成公理化体系，形成球面上的几何学.这是一种在否定的过程中形成新理论的方法.而罗巴切夫斯基也否定了《几何原本》中的第五条公设，将其改为“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”， 并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演，从而建立了罗氏几何.这充分体现了数学的批判精神，教师也可借此培养学生的批判思维能力.非欧几何产生的过程不仅体现了数学上的批判创新精神，还体现了数学模型方法的应用.

　　所谓数学模型，就是对某种事物系统的特征和数量关系,借助数学语言而建立起来的符号系统.数学模型方法是通过建立和研究客观对象的数学模型，来揭示对象本质特征和变化规律的方法.建立数学模型有如下几个阶段：（1）建模准备；（2）建模假设;（3）建立模型;（4）模型求解;（5）模型检验.数学建模为学生提供了自主学习 、自主探讨 、自主提出问题、自主解决问题的机会，让学生感受到数学与其它学科的紧密联系，以及数学在现实生活中的应用价值，同时让学生体验到综合运用知识和方法解决实际问题的过程，这不仅能增强学生应用数学的意识，更有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力.高中数学课程的基本理念中指出，高中数学课程应开展“数学建模”的学习活动，但《普通高中数学课程标准》中没有对数学建模的课时和内容做具体安排，只是建议学校和学生可根据各自具体的实际情况确定.高中生由于受到知识的局限，只能结合所学构建简单的数学模型，这就需要教师及时给予有益的指导.教师可选出有趣的大学生数学建模竞赛题， 让学生感受数学在实际生活中的广泛应用，科教师要适时地鼓励学生， 虽然现在的知识含量还不能解决这些问题，但是上了大学经过努力学习，就有机会解决这些问题.当然，教师还要让学生明确，大学生数学建模竞赛考察的不仅仅是个人的数学应用能力，还有团队的精诚合作能力，因而让学生对自己将来的创造能力充满期待.

　　总之，可以在高中数学教学中渗透的重要的大学数学思想方法还有很多，象关系映射反演方法和构造性方法，都可在高中数学中找到相应的例子.

　　2 高中数学教学应注重与大学数学知识应用的衔接

　　目前国家大力倡导素质教育， 但在全国高考指挥棒的作用下，高中教师认真教学、高中生努力学习的首要目标就是考上大学，至于学生们将来读什么专业， 对于大多数人来说那是填报志愿时再考虑的事，这就导致了部分大一学生对自己所学专业不感兴趣的现状.当然，大学教师有责任有义务培养学生对本专业的兴趣，但是高中教师也有责任帮助学生树立后续学习的人生志向. 为做好这之间的有序衔接，高中数学教师应结合自身教学实际，适时地向学生介绍所教授的知识涉及到大学中哪些专业的基础，并鼓励学生通过网络或书籍等方式去了解这些专业的现状及其在现实生活中的应用，逐步培养学生对这些专业的兴趣，不断地帮助学生树立自己的人生志向,使学生今后能够有机会就读自己感兴趣的专业.而人生志向的确立又将化为学生努力学习的源动力，激励着学生不断努力学习.

　　如必修 3 中的算法是计算机科学的基础，计算机之所以能够执行命令靠的是程序设计语言，而设计算法程序框图的思维方式正是设计计算机程序语言的基础，教师可引导学生，如果在这方面感兴趣，今后可以报考计算机或是自动化等专业.

　　又如高中数学教材中统计学的内容已经让学生感受到了统计是研究如何收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们研究和决策提供依据，其应用遍布社会各行各业.但教师要让学生明确，高中数学教材中回归分析和独立假设检验所涉及的统计案例，都只是大学里统计学专业所学的回归分析和方差分析的基础内容，如果学生对数据分析感兴趣，今后可以报考统计学专业，统计学专业培养的人才可以在企事业单位、经济管理及金融、保险、医药等部门从事统计调查、数据分析、风险决策、统计信息管理等开发、应用和管理工作.

　　再如导数及其应用这部分内容是大学数学微积分的基础内容，而微积分是理、工、农、医、经济等众多学科的基础课，如变速直线运动的路程对时间求导就是瞬时速度，电量对时间求导就是电流强度，成本函数对产量求导就是边际成本.教师可将理、工、农、医、经济等学科的专业列举出一部分，让学生对这些专业名称有所了解，也让学生意识到如果今后选择了这些专业，就必须要学好微积分.

　　再有象选修 3-3 中球面上的几何、选修 4-2 中矩阵与变换、选修4-6 中初等数论初步， 这些内容由于没有列入高考考试大纲范畴，部分学校尽管会将此部分内容略去不讲，但也希望教师能对这部分内容的应用做简单地介绍.如球面上的几何在测量、航海、航空、卫星定位等领域有广泛的应用，特别是神舟十号载人飞船的成功发射，以及女航天员王亚平精彩的太空授课，在学生中掀起了太空热，然而载人飞船能够顺利升空，并能按预定轨道运行、返回，这都离不开大学数学知识的支撑，教师可鼓励学生，如果对航空知识感兴趣，今后可以报考航天航空大学学习航空技术， 将来可以为我国的航空事业做出贡献.利用矩阵与变换的知识可以实现图形的旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换，它在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别等方面都有广泛的应用.初等数论在信息技术中有很重要的应用，它是密码学的基础，公开密钥就是初等数论在信息安全中的一个应用.

　　3 结束语

　　高中数学教师不论是向学生渗透大学数学思想，还是向学生介绍大学数学的应用，都要把握一个原则：简单易懂.目的就是要让学生对大学数学产生兴趣，使学生对未来的大学数学学习充满期待，并逐步树立自己的人生志向， 使学生今后能够有机会就读自己感兴趣的专业.高中数学与大学数学不仅做到知识上的衔接，还要做到思想上和应用上的衔接.只有这样，高中教育才有可能为大学输送出有扎实基础知识、有思想、有志向、有创新意识的人才.这就要求高中数学教师不断提高自身素质，对大学数学知识有较全面的认识，这样才能更好地做到高中数学与大学数学的衔接.

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