摘要：本文介绍大学数学在初等数学、物理化学、生物医学、经济学、计算机科学等不同学科领域的具体应用, 以激发学生学习大学数学的兴趣, 培养大学生利用大学数学知识分析本专业相关问题, 从而提高自己解决专业问题的能力。
关键词：大学数学; 高等数学; 矩阵; 离散数学; 概率论;
大学数学是高等教育的一个重要组成部分, 这是因为不论是数学专业, 还是非数学专业中的天文学、力学、物理学、化学、生物学、计算机、通信等专业, 甚至人文类专业都与大学数学有着密切的联系, 大学数学日趋成为高等院校中几乎所有专业都要开设的课程。虽然大学数学是各类学科的基础和工具, 但是大多数学生对学习大学数学的目的不明确, 不理解为什么要学习大学数学, 不知道大学数学在自己专业是否有具体的应用, 从而致使学生难以达到大学数学教育的基本要求。要使大学生对大学数学有正确的认识和端正的学习态度, 就必须让他们清楚认识到大学数学学习的重要性, 特别是在自己所学专业中的作用, 只有这样才能提高大学生对大学数学的认识, 激发大学生学习大学数学的兴趣, 培养大学生运用所学的大学数学知识、方法去观察、分析实际问题, 从而提高解决实际问题的能力。本文主要介绍大学数学在某些相关学科领域中的一些具体应用。
一、在初等数学教育中的应用
大学数学与初等数学有着密切的联系, 大学数学是初等数学的延伸和深化, 站在大学数学的角度看待某些初等数学问题将会使问题的理解变得更深刻和全面。1因此, 对数学专业的师范类或有志从事中学数学教育的大学生来说, 大学数学的学习将为后面从事中学数学教育提供一定的帮助, 在强调大学数学作用时, 可以从以下几方面叙述:
(1) 圆的面积公式或者圆周率的由来, 从而引入极限的概念;
(2) 有特殊曲线的斜率问题到一般曲线的斜率, 引入导数的概念, 曲线在某点处的斜率实质为该点处的导数;
(3) 中学涉及不等式的证明、函数单调性的判断可以利用导数的知识;
(4) 中学很多实际应用问题可以归结为函数求极值问题, 问题解在导数为零的点中选取。
(5) 中学有很多平面图形求面积、立体图形求体积问题, 规则图形很容易处理, 但是对于曲边梯形面积、曲顶柱体体积问题在分割、求和、取极限过程中的以直代曲、以规则代替不规则的思想方法正是精确与不精确、有限与无限辩证关系的一种体现, 导致定积分概念的产生。
大学数学的方法可以使我们居高临下地去面对初等问题, 确定解题思路, 帮助我们剖析某些问题的实质, 寻求简捷的求解方法。中学数学中常涉及的大学数学知识有极限、导数、微分、定积分、行列式、向量、概率等问题。
二、在物理学、化学中的应用
中学时期数理化三个学科联系密切, 进入大学以后, 物理、化学相关专业的学生更应该清楚大学数学作为工具学科, 对物理、化学的发展和研究起到很大的推动作用。微积分是大学数学的核心, 它们却是由物理学的奠基人牛顿在研究经典力学的过程中创立的, 化学是一门关于物质存在和转化的科学, 大学数学在化学中的应用同样相当广泛2, 主要体现在以下几个方面:
(1) 物理学中, 很多物理量, 例如力、速度、加速度、场强等都是既有大小又有方向的量, 称为向量 (或矢量) 。当然也有物理量涉及向量的运算, 例如力矩为径向矢量与作用力的数量积;
(2) 微分学是高等数学的核心之一, 在物理学中具有重要应用, 导数概念就来源于变直线运动的瞬时速度, 实质为增量比的极限。除了瞬时速度, 物理学中还有很多量都具有这样的特征, 例如加速度、角速度、线密度、电流强度等;
(3) 高等数学另一核心为积分学, 在同济版的《高等数学》中, 定积分概念的引入利用了物理学中变直线运动, 同样的, 重积分、曲线积分、曲面积分大多来源于物理学中具体物理量的计算。总而言之, 积分学在物理学中的应用非常广泛, 例如变直线做功、不均匀构件的质量、不均匀物体的质心、物体的引力、磁感应强度、磁通量等。
(4) 高等数学在化学中的应用也相当广泛, 特别对于近代化学, 高等数学显现出其特别的基础作用, 从定量分析到量子化学, 从数量分析到计量化学, 高等数学在化学中的作用日益增强, 所涉及的数学知识也越来越深奥2, 例如基元反应的反应速率计算、利用高等数学方法可以证明化学热力学的结论和推导相关公式。3
三、大学数学在生物医学上的应用
随着近代生物学的高速发展, 数学在生命科学的作用愈发突出, 无论是微观方向的发展, 还是宏观方向的研究, 都必须有精密的数学计算作为推动其前进的不懈动力。4生物数学就是在此基础上诞生的以数学方法研究和解决生物学问题的一门新兴学科。比较经典的生物数学模型有:意大利生物学家D'Ancona提出的着名的地中海鲨鱼问题, 数学家Volter?ra运用微分方程理论成功地解决了这个问题;描述种群增长最简单的模型是Mal?thus方程, 以及改进的费尔许尔斯特-珀尔方程 (Logistic方程) ;L.A.Zadeh提出的模糊集合概念, 模糊集合适合描述生物学中许多“软”的模糊现象, 为生命现象的数量化提供了新的数学工具等等。
现代医学发展的总体趋势是从定性研究向定量研究的转变, 能够更有效地探索医学科学领域中物质的量与量关系的规律性, 推动医学科学突破狭隘经验的束缚, 向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展, 而这些都需要利用数学的理论知识探索其数量规律。例如:常微分方程可以应用到临床医学的定量分析和群体医学的动态分析;生物统计学、概率论可以为药物使用、人口统计与流行病、公共卫生管理等作出决策;数学模型可以为临床医学、预防医学等建立医学数学模型;得到可供人们作出分析、判断、预测和决策的结果;另外, 临床医疗和医学科研所涉及的各类医学仪器都离不开数学和计算机的支持。5
四、大学数学在经济学中的应用
大学数学在经济学中的应用由来已久, 从当今高校开设的各类经济数学课程可以看出大学数学作为基础学科在经济学各学科的发展中起着至关重要的作用。例如连续复利的计算借助了大学数学方法将经济学中的离散变量进行连续化处理, 最终得出连续复利的实质为一数列的极限;经济学中很多变化率问题, 如增长率、边际问题、弹性问题等都涉及导数的计算;积分学在经济学中的一个经典应用就是由边际函数求总函数, 例如由边际成本求总成本;利用微分方程可以分析商品的市场价格与需求量 (供给量) 之间的函数关系, 预测可再生资源的产量、预测商品的销售量、分析关于国民收入、储蓄与投资的关系问题等6;银行吸收存款后涉及准备金计算和放款总额需要利用级数来进行计算等。
五、大学数学在计算机科学中的应用
随着计算机领域科学的飞速发展, 我们已身处在又一次的科技革命之中, 移动通信、可穿戴设备、物联网概念的提出和实施改变着人们的生活方式, 而现代计算机发展是随着新的数学问题而产生的, 大学数学思想在其中发挥着非常重要的作用, 大学数学课程都对计算机科学发展产生重要的影响。
级数是高等数学中的核心内容之一, 而傅里叶级数在数学、物理领域以及电子技术中都有重要的应用价值。更为重要的是傅里叶级数在数字信号处理中得到了广泛的应用, 其把信号从时域转化到频域上并加以分析其频率与相位的变化关系, 它的发现在数字信号处理发展史上起到了一个里程碑的作用。
矩阵论在很多领域获得了广泛的应用7, 而矩阵分解在机器学习和模式识别的应用中, 矩阵的低秩逼近可以大大降低数据特征的维数, 节省存储和计算资源。另外, 稀疏矩阵在国家领空、海域监测中具有重要的应用。
离散数学是现代数学的一个重要分支, 在数学中有着重要的应用, 同时也是计算机科学中基础理论的重要课程, 对计算机科学的研究和计算机技术的发展有着重大的意义。例如:由离散数学的数理逻辑中的命题与逻辑演算发展而来的数字逻辑被广泛应用到了计算机科学中, 比较突出地表现在计算机程序设计中尤其是硬件设计中;数据结构中的图和树这两个重要概念就是由离散数学中图论理论引出来的, 关系数据模型是以关系数学中的笛卡儿积为理论基础的。
组合数学是研究离散对象的数学, 与计算机所处理的对象是一致的, 组合数学在计算机方面的应用极其广泛, 例如Ramsey数在信息检索、分组交换网设计等计算机科学领域中的重要应用。
大学数学课程除了在上述五个大的方面有重要应用之外, 还渗透到各行各业的方方面面中, 例如经济管理、军事战争、工程设计等等, 因此如果没有大学数学的发展, 那么人类社会很多方面都难以进步和发展。爱因斯坦曾说, 热爱是最好的老师。希望大学生在充分认识到大学数学应用的广泛性及重要性同时, 能够热爱和学好大学数学, 把自己专业涉及的问题归纳为数学问题, 进而有效地解决问题。
注释
1 彭小林, 林广群.高等数学在中学数学教学中的应用[J].西藏教育, 2011 (11) :26-27.
2 李玲.高等数学在不同学科领域中的应用[J].四川文理学院学报, 2011 (21) :149-151.
3 路庆华, 张坤玲.高等数学在化学热力学中的应用[J].石家庄职业技术学院学报, 2015 (27) :62-65.
4 廖祥, 秦晋, 刘清成.数学在生物学中的应用[J].科技向导, 2011 (7) :26.
5 安建平.浅谈高等数学在医学中的应用[J].数理医药学杂志, 2000 (2) .
6 许玲.论高等数学在经济学中的作用[J].高等数学, 2012 (4) :55-55.
7 Hubert LJ, Meulman J J, Heiser W J.Two purposes for matrix factorization.A historical appraisal.SIAM Review, 2000 (42) :68~82
