数学哲学与数学史的关联探究

　　摘    要：　学术界往往从学理上谈论数学史与数学哲学的密切关联,而较少从研究层面论证两者之实际关系。从研究实践看,数学哲学研究大致有自上而下论述并辩护数学哲学理论与自下而上举例分析数学哲学问题两种范式,数学史研究则经历了由辉格史到反辉格史的范式转变。由于研究范式的自然本性,数学哲学问题范式与反辉格数学史具有天然的亲缘关系。数学史与数学哲学的实作转向之后,两者都以数学实作为研究对象,从而关系更为紧密。因此,历史上数学的发展与当时某种哲学思想的关联是原初意义上数学史与数学哲学的关系;19世纪后半叶开展现代数学史与数学哲学研究以来,两者存在着变动的关系——共同研究数学实作则使得两者的关系比以往任何时候都要密切。

　　关键词：　数学史; 数学哲学; 实作转向; 数学实作;

　　Abstract：　Scholarly community usually discusses the theoretical relationship between history and philosophy of mathematics, and they seldom study the practical relationship between the two studies. In fact, there are two paradigms of philosophy of mathematics: one focuses on the history of mathematical philosophy, and another deals with problems in philosophy of mathematics. The study of history of mathematics underwent a change from Whig history to anti-Whig history. Because of the nature of research paradigms, the second philosophy of mathematics has a close relationship to the anti-Whig mathematical history. After the practice turn, history and philosophy of mathematics both focus on the mathematical practice, and hence become closer. Therefore, the relationship between the mathematical development in the history and some philosophical thinking is the original meaning between the two. Since the second half of 19th century, modern historical and philosophical studies began, and the relationship between the two was changing: setting the mathematical practice as a common research object makes the two closer than anytime before.

　　Keyword：　history of mathematics; philosophy of mathematics; the practice turn; mathematical practice;

　　一、引 言

　　在学术界常识性的理解中,数学史与数学哲学具有天然的联系。拉卡托斯(Imre Lakatos,1922—1974)引康德(Immanuel Kant, 1724—1804)说:“缺少了哲学指引的数学史就会是盲目的;不理会数学史上最迷人现象的数学哲学就会是空洞的。”[1]2 即数学史为数学哲学提供了研究基础,数学哲学则可以深化和升华数学史研究。林夏水说:“数学哲学作为数学观的理论形式,它是关于数学发生和发展的一般规律的学问。”[2]6 即数学哲学要总结数学史的规律,并给出其理论形式。其实,很容易把数学史与数学哲学的关系和科学史与科学哲学的关系相类比。以库恩(Thomas Kuhn, 1922—1996)为代表的科学哲学历史主义研究路线,通过科学革命叙事将科学的发展与科学革命的理论结合在一起,从而实现了科学史与科学哲学的统一。然而,这一关系却难以重现在数学史与数学哲学上。与科学理论不同,“数学中似乎从来不曾出现新理论取代旧理论的非连续变革”[3]31,没有所谓的范式竞争关系。换言之,由于数学知识似乎比科学知识更稳定,很难用历史主义路线来解释数学之演进。在一本关于现代数学史与数学哲学的论文集中,编撰者在导言中认为现代数学哲学研究起源于弗雷格(Friedrich Frege, 1848—1925),现代数学史研究起源于19世纪后期一系列学者,并认为现代数学的发展受到数学哲学尤其是数学基础研究的影响[4]3-57。这一看法的实质是把数学史与数学哲学的关系理解成某一时期的数学与当时的数学哲学思想之间的关系。在上述这些常识性理解中,数学史被理解为数学知识的时间排列,学者们侧重于从学理上探讨其与数学哲学之关联。
 

　　笔者从事数学史研究以来,通过研究中国古代筹算及其文本化、珠算化转变和儒家经典中的数学知识与实作,揭示出以算筹为工具的数学不同于今天之文本数学[5,6,7,8,9,10]和儒家之算法传统与以《九章筭术》为代表的传统数学不同[11,12,13,14,15,16,17],引发了自身对于数学本质的思考。在教学实践中,笔者为哲学系本科生、研究生开设《中国数学史》《世界数学史》等课程,深感数学史与数学哲学关系之密切与复杂。因此,与以往偏重于从学理上探讨两者关系不同,本文在既有研究的基础上,从实际研究层面来分析数学史与数学哲学的关系,并期待在研究方法论层面有所贡献。

　　二、不同研究范式之间的数学哲学与数学史

　　从研究层面来看,数学哲学与数学史都存在着不同的研究范式。因为研究范式各自的自然本性,某种数学哲学可能与某种数学史没有交集,而与另一种数学史密切相关。本节的目的就是在此思路下,给出关于两者研究范式的一般性分析,以揭示哪些数学哲学与哪些数学史研究存在紧密关联。

　　康仕慧认为:自20世纪数学基础主义三大学派衰落以来,数学哲学研究中相继出现两种传统:一种是以当代数学实在论和反实在论的争论为主流研究路径的“分析传统”;另一种是以数学家和数学史家向基础主义和分析传统发起挑战的、居于次要位置的“反传统”革新。这两种传统隐含着当代数学哲学研究中的三种不同的研究范式:1.以“哲学先于实践”为原则的“规范的数学哲学范式”;2.以“哲学描述实践”为原则的“描述的数学哲学范式”;3.以“哲学让位于实践”为原则的“自然主义的数学哲学范式”[18]210-212。这种分类的标准是哲学与实践的关系。

　　从与数学史研究的关系看,笔者认为数学哲学研究大致可以分作两类:一类是自上而下论述某项数学哲学理论,往往采取数学哲学史的写法,以解释、分析文献为主要研究方法,接近主流的“分析传统”。如《爱思唯尔科学哲学手册·数学哲学分册》[19],该书大致按照数学哲学理论分章,又兼顾了时间顺序。另一类是自下而上讨论数学哲学问题,往往会运用多学科的研究方法:哲学史、数学史、心理学、人类学、认知科学等研究成果和方法都会为它所用,接近次要的“反传统”革新。如布朗(James Robert Brown)的《数学哲学:对于证明和图形世界的当代介绍》[20],该书虽也谈到数学哲学理论,但大致以问题分章。进一步看,前一类数学哲学主要采取陈述理论、加以辩护的模式,在其辩护的过程中可能会思辨地用到数学史的研究成果;后一类数学哲学往往采取举例分析、反驳理论的模式,其举例分析的过程实际与有些数学史论文已经十分接近。因此,后一类数学哲学与数学史的关系更为密切。

　　现代数学史研究起源于19世纪后半叶一系列学者的研究,大致经历了从辉格史到反辉格史的范式转变。所谓辉格(Whig)数学史,就是在研究中以现代数学去解释古代数学,往往带有成就史观、英雄史观和爱国主义立场。这一研究倾向主导了20世纪70年代以前的数学史研究。数学史家罗伯森(Eleanor Robson)认为辉格史的本质是采取数学柏拉图主义立场——即历史学家从历史记录中甄别出“柏拉图的数学对象”,并且用今天的数学术语描述之。[21]在此意义上,数学家是发现数学真理,而数学史家则是发现历史记录中的对应部分。施泰达尔(Jacqueline Stedall)认为辉格数学史一方面忽视了数学发展中的复杂性和今天看来失败和过时的东西,另一方面无法弄清数学发展的起源与过程,并认为只有通过历史语境的考察才能了解某项数学知识的起源。[22]伊姆豪森(Annette Imhausen)则认为不应采取只有一种数学的柏拉图主义立场。[23]如果考虑到19世纪后半叶至20世纪前半叶西方文明在世界的主导地位,那么辉格数学史实际就反映了这一情况——非西方数学文明以与现代数学相比较为荣,而通过现代数学重写古希腊数学则确立了古希腊的源头地位。

　　其实,辉格史最大的问题在于把诸多古代数学文明都看作现代数学的低级阶段,从而严重阻碍了数学史的研究实践。正如罗伯森在评价1950年代巴比伦数学史研究所遇到的问题时说:“一旦解释被做出了,即古代文献被用现代符号重写之后,就没有任何可说的了。这个领域(即巴比伦数学史研究)便停滞了几十年。”[21]这一阻碍甚至影响了对于古希腊数学的理解。1975年,温古鲁(Sabetai Unguru)就撰文批评对于古希腊数学的现代代数学解释。[24]之后,数学史研究中的反辉格倾向愈演愈烈,逐渐波及所有古代数学领域。虽然彻底的反辉格数学史是做不到的,但是现代数学史家往往都具有清晰的反辉格意识。在中国数学史领域,吴文俊(1919-2017)提出“古证复原”原则[25,26],之后引发了数学史的外史研究与史料拓展等变化。这些变化本质上都在追问“什么是数学”,从而深化了对于相关数学哲学问题的探讨。

　　从数学哲学的角度看,辉格数学史预设了柏拉图主义的立场,因此数学史研究只是以现代数学为参照系来揭示某项数学真理在何时何地被发现。尽管也有一些研究会揭示数学知识的认识过程,但总体而言此类研究是单向地受到数学哲学的影响。反辉格思潮引发了数学史家去思考“现代数学对古代数学的解释限度”、“是否只有一种数学”等问题;在不预设立场的情况下,数学史研究有可能来质疑或修补柏拉图主义,从而使得现代数学史研究已经十分接近数学哲学问题研究范式。

　　三、数学哲学与数学史研究的实作转向

　　现代数学哲学研究与数学史研究产生了紧密的联系,除了范式的自然本性之外,实作转向是更深层次的原因。2014年,一些学者编辑了一本名叫《实作转向后哲学、历史学和社会科学研究》的论文集。在该书的介绍部分,编辑者指出广义的科学研究在1970年代经历了实作转向(The Practice Turn)——研究者逐渐更关注实作的具体细节,以及物质、默会、心理社会层面的维度。[27]1该转向起源于科学哲学研究,进而影响到其他社会科学领域,主要包含了6方面的变化:1.从先验的、理想化的研究到以充足经验为基础的研究;2.从规范的研究到描述的研究;3.从以当下为中心重构过去的科学到以充足历史重构过去的科学;4.从去语境的、智力的、清晰的、个体的、纯粹认知的研究到语境的、默会的、合作的、心理社会学特征的研究;5.从研究结果到研究过程;6.从科学作为目的到科学作为一种转变。[27]14-24该论文集收录了9篇从行动的概念、科学哲学、科学技术研究、化学、认知依赖、工程、数学哲学、数学史和科学实作与形象等方面探讨实作转向的论文,[27]其中第7篇与第8篇文章分别谈到该转向对数学哲学与数学史的影响,下面依次简要介绍之。

　　本德格姆(Jean Paul Van Bendegem)论述了数学实作哲学对数学哲学的影响。[28]他认为拉卡托斯注重数学的发现过程,是数学哲学实作转向的起点。基切尔(Philip Kitcher)在其着作《数学知识的本质》(1983)中试图给出形式化模型来描述作为一种活动的数学,是实作转向的第二步。之后,实作转向开始涉及与关注到社会学、教育学与民俗学,直至脑科学与认知科学,由此形成了数学实作哲学的多个研究进路。本德格姆进而指出如何协调各种研究进路,以及如何建立数学实作哲学与传统数学哲学之间的桥梁是实作转向之后的关键问题。由此可见,实作转向使得数学哲学与其他相关研究方向的关系更为紧密,丰富了占主导地位的分析传统的数学哲学。

　　林力娜(Karine Chemla)以研究中国古代数学为例说明:如何通过研究实作来最大程度挖掘史料与开展概念史研究。[29]她首先分析中国古代数学经典《九章筭术》与《孙子筭经》中的除法实作,指出它在古代数学中占据中心位置。进而,她再分析出土简牍中的除法实作,指出在《九章筭术》成书之前,除法经历了一个关键转变——可能就是在该转变中出现了十进制位值制的筭筹制度。因此,林力娜认为中国古代数学不仅关注算法,也关注实施算法的实作活动。从方法论层面总结,她认为数学史研究不仅应关注结果,也应关注实作活动——研究产生史料的实作活动可以作为挖掘史料的工具,并有助于开展概念史研究。换句话说,研究数学实作既是对以往数学史研究过于关注文本知识的一种补充,也可以作为一种新的文本分析工具。

　　从数学的角度看,实作转向的本质是要求研究者关注到数学思想之外的人类活动,认为这些活动与数学思想同样重要。因此,这一转向是对以往思想史占主导的数学史与数学哲学研究的一种修补,对两者都产生了重要影响。在此过程之中,数学实作(Mathematical Practice)作为一个核心概念被提出来,并成为两者共同的研究对象。经历了该转向的数学史与数学哲学有着比研究范式本性契合更紧密的关系。2007年出版的《从数学实作的观点看》论文集的编者认为:不同于认为“数学是一种人类精神的自由创造”的传统看法,该文集作者们的雄心是从数学实作的角度探究数学发展中的“库恩革命”。[30]就此而言,通过对于数学实作的研究,一些学者试图在数学史与数学哲学上重现由科学革命叙事创造的科学史与科学哲学的紧密结合。总之,在数学实作的研究取向下,两者都可能以分析数学史上的实作为切入点,并进而探讨相关数学哲学问题。

　　四、结 语

　　历史上数学的发展有可能与某种哲学思想相关,这构成了原初意义上数学史与数学哲学的关系。就此而言,柏拉图、亚里士多德数学哲学思想与古希腊数学之关系、儒家思想与中国古代数学之关系、佛教思想与印度古代数学之关系、对数学基础的探讨与20世纪初数学之关系等都是原初的两者关系。

　　19世纪后半叶,现代数学史与数学哲学研究开展以来,两者实际存在着变动的关系。早期的数学史研究往往是辉格史,预设了柏拉图主义立场,总体而言单向地受到数学哲学影响。反辉格思潮以来,数学史家意识到并反思其预设立场问题。这些数学史研究与以问题为进路的数学哲学有亲缘关系,后者有时会分析数学史案例来反驳某种数学哲学立场。

　　数学史与数学哲学更紧密的联系出现在实作转向之后。两者同时关注数学实作,并采取自下而上、非整体论进路(1),使得某些数学史研究与数学哲学已经基本一致。虽然在数学哲学领域,数学实作哲学依然不是主流,并被质疑无法调协各种研究取向及建立与传统数学哲学之联系;但是从现代数学史的研究来看,数学的发展并非线性式增长,对数学实作哲学的质疑可能恰恰反映了数学的混杂本质。

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　　注释

　　1本文中的“非整体论进路”是指,在实际的研究中,学者们不追求对于数学的全称论断(如数学柏拉图主义),而认为只能根据具体的案例研究得到局部的结论。