数学四方面的人文价值探讨,数学史论文

　　摘要：　数学是人类文明史上一种独特的文化, 既具有非凡的科学价值, 又具有不可替代的人文价值。数学的人文价值主要体现在认知价值、伦理价值、艺术价值和智识价值四个方面。数学的认知价值表现为一种“求真”精神, 伦理价值表现为一种“至善”追求, 艺术价值表现为一种“臻美”境界, 智识价值表现为一种“融慧”哲思。

　　关键词：　数学文化; 认知价值; 伦理价值; 艺术价值; 智识价值;

　　Abstract：　Mathematics, as a kind of unique culture in the history of human civilization, has both important scientific value and humanistic value. The humanistic value of mathematics is mainly embodied in four aspects: cognitive value, ethical value, artistic value and intellectual value. The cognitive value of mathematics is a spirit of pursuing truth, the ethical value is a pursuit of striving for perfection, the artistic value is a realm of achieving beauty, and the intellectual value is a philosophical thinking of integrating wisdom.

　　Keyword：　mathematical cultrue; cognitive value; ethical value; artistic value; intellectual value;

　　数学的价值问题是当代学者们仍然关注的重要问题, 英国哲学家保罗·欧内斯特曾撰文阐述数学的认识论价值 (真理) 、本体价值 (理性主义、普遍主义、客观主义) 、客体价值、美学价值、伦理学价值、实用性价值、纯粹性 (一种混合的价值) 等等, 当然他自己也指出还有很多价值无法一一罗列。[1]总的来说, 数学在人类历史上对自然科学、社会科学和人文学科影响深远, 具有重要的科学价值和人文价值。然而, 随着现代科学诞生以来, 数学定量化的科学价值已被强调到无以复加的程度, 甚至在方法、技术层面沦为科学的婢女和仆人, 而数学从古希腊、中世纪直至文艺复兴之后所蕴含的人文价值却长期被人们所忽视。数学的人文价值主要体现在认知价值 (求真) 、伦理价值 (至善) 、艺术价值 (臻美) 和智识价值 (融慧) 四个方面。

　　一、数学的认知价值:求真

　　数学的认知价值在于求真, 数学在西方历史上的真理性地位和追求真理的理性精神一直是各学科学习的典范。数学作为一种文化力量, 在西方文明史上是其他学科所不能替代的, 西方文明中理性精神的核心也是数学理性。翻开古希腊历史就可以看到各个文化子系统 (如神话、宗教、哲学、医学、逻辑学、天文学、光学、美学等) 对数学的模仿和运用, 它逐渐演化为西方文化中的一种理性精神, 推动西方科学发展和文明的进程。在近代文化史上, 以数学为核心的科学主义思潮更是横扫了整个西方世界。

　　在西方科学史上, “理性的探索最终将把我们引向真理”这一信念被一代代人坚守和传承下来。正如皮尔士所言, 科学追求的是永久不变的真理, 而非真理的类似物;这种追求并不应被看成一个人一生的工作, 而是一代接一代的无终止的努力。与当今盛行的实用主义者相对照, 皮尔士更像是一个柏拉图主义者, 他坚信“要到达灵魂的最深处只能经由表层。如此一来, 那些永久不变的形式, 正是通过数学、哲学与其他一些科学帮助我们逐步掌握的东西, 将会通过慢慢地渗透逐渐到达一个人的内心, 并逐渐影响到我们的生活;而且它们之所以能这样做, 不是因为它们中仅仅包含了至关重要的真理, 而是因为它们 (本身) 就是理想的永久不变的真理。”[2]

数学四方面的人文价值探讨

　　数学的真理性地位从古希腊开始一直保持至非欧几何的诞生, 数学本身也一直被誉为科学真理的典范。从柏拉图时代开始, 哲学家们就认为“数的性质似乎能导向对真理的理解。……学习几何能把灵魂引向真理, 能使哲学家的心灵转向上方。”[3]托马斯·阿奎那在中世纪指出上帝的真理是第一的、最高的和最完美的真理, 数学是上帝构建宇宙体系最完美的工具。数学真理观发展到康德那里成为一种先天综合判断, 他认为“数学给我们一个光辉的榜样, 它告诉我们, 独立于经验, 在先天知识方面能往前走多么远。”[4]非欧几何的诞生将数学从真理的神坛上拉了下来, 数学家们认识到欧几里得几何公理不能像康德认为的是先天的真理。随着哥德尔不完备定理彻底粉碎三大数学基础学派的追求, 数学作为一种“经验真理”的观念逐渐被确立, 后续又有数学家提出拟经验主义、社会建构主义、结构主义 (模式主义) 等类型的数学真理观。

　　因此, 从古希腊的哲学家开始, 数学就被看作认识世界的理性信仰, 被中世纪基督教神学家作为证明上帝存在的宗教情感, 最终在近现代西方科学史上成为超越方法、技术层面的一种追求真理的理性精神。正如科学史家克莱因评价过的:“在最广泛的意义上说, 数学是一种精神, 一种理性的精神。正是这种精神, 激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度, 亦正是这种精神, 试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵。”[5]

　　二、数学的伦理价值:至善

　　数学的伦理价值在于至善, 西方文明史上数学一直都是一种道德伦理甚至是宗教情怀。正如俄罗斯数学家沙雷金所强调的:学习数学能够增强我们天生的正直和原则, 提升我们的尊严和正义感, 树立我们的德行。数学境界内的生活理想乃是基于证明, 而这也是最崇高的一种道德概念。[6]从古希腊毕达哥拉斯学派开始就坚持认为, 数学为心灵做好了思考更高级思维形式的准备。通过使心灵抛弃对可感知和易消逝事物的思考, 从而转向对永恒事物的沉思, 这样数学就净化了心灵。这种超度的方式, 通过数学达到了对真、善、美的理解, 并进而能更接近上帝。

　　“善”作为对外部现实性的要求, 通常表现为一定的合理性。纵观数学发展史, 数学的真理性和经验性发展符合人类普遍的实践和现实性要求。数学广泛的应用性表明数学是有益于人类的实践活动, 善是数学的终极价值和目标之一。着名数学家怀特海从数学的模式性论述了数学之善的意义。数学作为一种模式化的科学, 是模式真理的抽象表达形式, 数学善的价值体现更多在于数学模式的普适性上。模式论的数学哲学观认为数学本质特征就是研究抽象过程中的模式化。怀特海用“模式”这个名词来刻画这一过程, 模式架起了有限与无限、知识与宇宙、经验与理想、数学与善之间的桥梁。在怀特海看来, 理性虽然不能认识一切本质, 但它可以通过认识“模式”这种有限的抽象思维产物进而认识无限。所谓的“善”就是一种具有无限性质、理想的东西, 数学实现善的理想正是通过有限的模式实现的;所谓的“善”就是指模式研究在认识论上促进人类对整个宇宙认识的积极意义。[7]

　　数学的发展史表明, 数学的抽象越是完善, 其渗透能力就越强, 应用范围就越广, 因此数学之“善”体现在数学对于人类文明的特殊作用。人类未来的文化发展中, 数学自身仍会持续不断地丰富和完善下去, 同时对人类其他知识体系的作用将会更加引人注目。正如怀特海所强调的:鉴于可供数学进行研究的范围是无限广阔的, 即使是现代数学, 这门科学也还只是处于婴儿时期。在今后两千年内, 如果人类文明继续进步, 那么在思想领域里具有压倒性的新趋势, 将是数学式的理解问题占据统治地位。[8]

　　数学或许只是一种“至善”的理想, 尽管我们也许永远不会达到这个追求, 但它能让我们认识到该选择什么方向才能广泛影响自然科学、社会科学和人文学科的发展, 进而推动人类文明的进步。正如M·克莱因曾强调的:在一定程度上, 讨论数学这种人类理性的成就, 能够增强我们对文明的信心, 我们的文明面临着被毁灭之危险, 燃眉之急很可能来源于政治或经济。在这些领域中, 至今还没找到充分的证据以表明通过人类自身的力量能够克服这些困难, 进而去建设一个更加合理的世界。通过研究人类最伟大、最富理性的艺术———数学, 使人类更加坚信通过自身的力量足以能够解决这些问题, 到目前为止, 人类所能够利用的、最成功的方法是通过数学可以找到的。[9]

　　三、数学的艺术价值:臻美

　　数学的艺术价值在于臻美, 数学本身是美的, 数学的思维和方法也为其他学科提供美学标准。数学除了具有一般语言、艺术共有的美学特点, 作为一种科学语言在内容、结构、方法上都具有自身的数学美。伯特兰·罗素曾指出, “从正确的角度看, 数学不仅仅占有真理, 并且拥有至上的美, 冰冷而严峻的美……, 它不触及我们任何较脆弱的本性, 也没有绘画或音乐那种绚丽的装饰……”。或如诗人埃德娜·圣·文森特·米莱在有关欧几里德的十四行诗里开头所写的那样:“只有欧几里德一个人看到了赤裸裸的美。”[10]

　　对数学简单美的追求是数学家们自身所努力的方向, 数学家哈代认为做数学时“美”是首要的标准, 不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的。在现在受过教育的人中也许很难找到一个对数学之美全然无动于衷的人。彭加莱则直接指出, 数和形的和谐感, 几何上的雅致感, 这些数学美感是一切真正的数学家都知道的审美感……正是这种特殊的审美感, 起着我曾说过的微妙筛选作用。……缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创作者。[11]冯·诺依曼也认为, “数学家们无论在选择题材上还是判断成功的标准上都主要是美学的, 判断数学家们的努力是否值得、成功与否的主观标准是美学的, 是非常自足的, 且完全不受 (或几乎不受) 经验的影响”[12]。

　　数学因其抽象形式简单然却应用广泛而臻于大美。西方科学史上, 科学真理的“数学美学标准”从毕达哥拉斯的天体音乐到爱因斯坦的广义相对论都有体现。从古希腊毕达哥拉斯的万物皆数, 直到后来的奥卡姆剃刀, 简单性尤其是数学上的简单性一直被作为人类臻美的追求, 哥白尼就是在追求理论上的数学简单性才建立日心说体系。开普勒在阐述自己支持日心说的原因时就曾明了指出, 因为具有更强大的数学简单和谐性缘故, 我从灵魂的最深处证明“哥白尼的体系”是真实的, 我以难于相信的心情去欣赏它的美。[13]牛顿也曾指出过, 自然界从不做徒劳之事, 解释得太多完全是白费口舌, 言简意赅才能得见真谛, 自然界最喜欢的就是简单性。爱因斯坦建立自己的相对论体系也是到数学简单性中寻求唯一可靠的真理源泉, 对海森堡反对他谈论简单性和美而引进真理的美学标准时曾强调, “自然界所显示出的数学体系之美与简单性强烈地吸引了我。”[14]外尔也认为, 简单性是确立精确自然定律过程中最为本质的。如果我们不添加要受数学简单性定律支配这一陈述, 那么自然界受到严格定律支配之断言就完全是空洞无物的。数学家莱布尼茨早在“论方法”中就曾指出, 定律概念如果容许任意的复杂性, 那么它必将是空洞的。因此, 自然科学的基本工作原则就是追求数学上的简单性。[15]

　　西方文明形成的对数学的那种近乎信仰式的理性精神, 在西方美学发展中发挥了重要的作用。数的和谐、形式逻辑的演绎、定量化精确化的描述方法, 形成一种有确定性、逻辑性、结构性的研究目标和方式都体现在西方美学研究之中。数学在西方文明史上摧毁并构建了很多不同的宗教教义, 决定众多流派哲学的研究方法和思想内容, 为各类政治学说和经济理论提供了理性的依据, 塑造了绘画、建筑、音乐以及文学中的众多流派和不同风格, 数学还创立了逻辑学, 且为人类必须回答的基本问题———人和宇宙的问题———提供了可能是目前最为理想的答案。数学作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就, 已经成为理性精神的化身, 即便在提供审美价值方面可与其他任何一种文化门类相媲美。

　　四、数学的智识价值:融慧

　　数学的智识价值在于融慧, 数学在西方历史上从古希腊至今一直都跟哲学同根同源、密切交织, 大部分数学家也是哲学家。哲学作为“爱智慧”的学科, 始终思考的是人生的终极意义问题, 这是个斯芬克斯之谜一样的谜团, 但一定与人生幸福这一终极追求有关, 追求幸福的过程一定充满着真、善、美和智慧。真、善、美作为人类的终极价值追求, 三者的关系非常密切。成中英曾指出:“所谓真乃是知识上的善, 美乃是知觉上的善;而善则为道德价值的真, 美则为表象与知觉上的真;真可以说是知性的美, 而善可以说是行为的美。”[16]纵观科学发展史, 我们必须承认“科学还未能对善 (道德) 、真、美、个人义务或自知作出解释……也就是说人之所以为人的核心不在科学研究的范围内。”[17]因为与人的问题有关的科学伦理学和科学哲学不在科学本身的范畴内, 而属于哲学领域。

　　人们为什么要强调智慧, 因为每个人都能做出关于真假的判断、善恶的评价以及美丑的辨别, 没有智慧也就无法做出正确的判断、评价与辨别了。何谓智慧?仁者见仁智者见智。亚里士多德认为智慧就是有关某些原理与原因的知识。[18]罗素认为智慧主要是指人的求知能力与好奇心。怀特海则主张智慧事关我们以何种方式掌握知识, 我们在确定相关问题时该如何对知识进行选择、处理和运用, 方能使得我们的直觉经验更有价值。这种掌握知识的方式便是智慧, 通过这种智慧人才有可能获得最本质意义上的自由。

　　脑科学家的研究指出, 生物进化为有自我意识的存在提供了人脑这一物质基础而超越了它自己, 而这个有自我意识存在的天性是在探求爱、真、美的过程中寻求希望和意义。[19]人类的首要任务虽然是讲述真理, 但在求真、辨真、讲真的过程中一定伴随着至善、臻美和走向智慧的信念和精神, 为了实现真、善、美的统一, 我们应该从传统的“知识哲学”观走向“智慧哲学”观, 应该认识并反省到固有的理智价值不能公平地被以往的知识哲学所正确对待, 以至于在对伦理的一致追求与探究中遮掩甚至从中破坏科学与学术的潜在智力价值。为了充分发展科学与学术中各方面理智, 使其内在财富变得可获取, 把智慧哲学引入实践是必不可少的, 也即以我们共有的努力去观看、理解世界, 以及我们自己内心中值得去爱的东西。[20]

　　数学在人类文明传承过程中的终极价值追求是什么?这涉及人类生活的最高追求是什么的问题, 毫无疑问是追求真、善、美及其三者的统一。而这一追求过程中也一定伴随着人类的智慧。因为智慧是真、善、美的统一, 是真、智、乐的会通, 是知、情、意的和谐, 智慧把诸多“三位一体”尽集于一身。数学作为一种模式化的科学, 其波澜壮阔的发展史已然表明, “理想化的数学模式理应具备真、善、美的特点”[21], 数学的思维、方法和理性精神在实现人类“真、善、美”追求的三维结构中扮演了重要的、不可替代的融合角色, 实现数学“真、善、美”的统一必然需要智慧的贯穿, 对数学“真、善、美”的理解必然包含对数学的哲学省思, 离不开数学智慧与哲学智慧相互交融、彼此促进。

　　我们学习西方数学一百年以来, 在“技艺致用”的传统数学价值观影响下, 过多的关注数学对于人类文明发展的“形而下” (器物层面) 价值, 过于重视数学在方法、技术层面上的广泛应用性和实用主义功能, 往往忽视西方数学在“形而上” (精神层面) 的作用, 导致技术理性和功利主义泛滥, 忽略数学作为一种语言、思想、方法背后所蕴含的智识价值。[22]正如布朗曾评价过的, 科学不仅仅是知识, 更是智慧, 科学最有价值的“用处”就是获得智慧, 这种智慧不仅是人们安身立命之根本, 而且人类种族永久存续也取决于科学智慧的获得。[23]当前我们的数学教育越来越远离数学本身的理性精神和智慧, 越来越忽视数学的人文意蕴和价值, 人们的数学观渐趋技术主义、工具主义, 数学成为科学的婢女、女仆, 数学成为方法、技术的代名词, 我们大中、小、学的种种数学教学行为深陷方法主义、技术主义、实用主义和功利主义泥潭。因此, 应该实现“数学知识教育”向“数学文化教育”乃至“数学智慧教育”的转变, 使学生学到数学兼具“求真、至善、臻美、融慧”的四维人文价值追求。[24]人类的发展史在过去、现在和未来都持续证明爱因斯坦的断言, “只教人专业知识是不够的。这种教育培养出来的人可以成为一个有用的机器, 却成不了一个人格完整的人。重要的是, 要让学生对‘价值’有所理解并获得切身的感受。学生必须对何为美以及何为道德上的善有敏锐的辨识力, 否则只是靠那点儿专业知识, 更像一只训练有素的狗, 而不是一个均衡发展的人。”[25]

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