数列中包含的数学文化

　　数学家的故事———数学王子高斯

　　高斯(Carl Fried rich Gauss，1777～1855)德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。

　　1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。

　　幼年时，他在数学方面就显示出了非凡的才华。3岁能纠正父亲计算中的错误；10岁便独立发现了算术级数的求和公式；11岁发现了二项式定理。少年高斯的聪颖早慧，得到了很有名望的布瑞克公爵的垂青与资助，使他得以不断深造。19岁的高斯在进大学不久，就发明了只用圆规和直尺作出正17边形的方法，解决了两千年来悬而未决的几何难题。1801年，他发表的《算术研究》，阐述了数论和高等代数的某些问题。他对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大贡献。作为一个物理学家，他与威廉.韦伯合作研究电磁学，并发明了电极。为了进行实验，高斯还发明了双线磁力计，这是他对电磁学问题研究的一个很有实际意义的成果。高斯30岁时担任了德国著名高等学府天文台台长，并一直在天文台工作到逝世。他平生还喜欢文学和语言学，懂得十几门外语。他一生共发表323篇（种）著作，提出了404项科学创见，完成了4项重要发明。

　　高斯去世后，人们在他出生的城市竖起了他的雕像。为了纪念他发现做出17边形的方法，雕像的底座修成17边形。世人公认他是一位和牛顿、阿基米德、欧拉齐名的数学家。他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教书真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真。

　　这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来。“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发。教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。

　　还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样?”老师头也不抬，说“：去，回去再算!错了。”他想不可能这么快就会有答案了。可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师!我想这个答案是对的。”

　　数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小孩怎么这样快就得到了这个数值呢?高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+4+5…+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。

　　在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。

　　梦想与现实———谷神星的发现

　　1766年，德国有一位名叫提丢斯（J.D.Titius,1729～1796）的中学数学教师，把下面的数列：3，6，12，24，48，96，192……在这个数列的前面加上0，即：0，3，6，12，24，48，96，192……然后再把每个数字都加上4，就得到了下面的数列：4，7，10，16，28，52，100，196……再把每个数都除以10，最后得到：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6……令提丢斯惊奇的是，他发现这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定为1个单位）有着一定的联系。

　　1772年，德国柏林天文台台长波德（JohannElertBode,1747～1826）深知这一发现的重要意义，就于1772年公布了提丢斯的这一发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯———波得定则（Titius-Bodelaw）。数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6……即太阳系行星与太阳的平均距离。

　　当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太阳最远的行星。1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑了。根据这一定则，在数列的第五项即2.8的位置上也应该对应一颗行星，只是还没有被发现。于是，许多天文学家和天文爱好者便以极大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程。1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空。突然，他从望远镜里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯———波得定则中2.8的位置上。可是，当皮亚齐再想进一步观察这颗小行星时，他却病倒了。等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却不知去向了。皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”。天文学家对皮亚齐的这一发现持有不同的看法。有人认为皮亚齐是正确的；也有人认为这可能是一颗彗星，不然的话，为什么它只露了一面就不见了呢?

　　几个月过去了，人们的争论也没见分晓。可是，这场争论却引起了德国数学家高斯的注意。高斯想，既然天文学家通过观察找不到谷神星，那么，是否可以通过数学方法找到它呢?许多天文学家对高斯的这一提法不以为然。天文学家都找不到谷神星，难道高斯还能把它算出来吗?朋友们也劝他不要把自己的时间和才智浪费在这一毫无希望的问题上。年轻的高斯却有自己的看法。他认为，天文学是离不开数学的。如果没有雄厚的数学知识，是不可能成为一个出色的天文学家的。在天文学发展史上，情况也正是如此。开普勒正是凭借着自己的数学才能，才发现了行星运动的三大定律。牛顿也是凭着渊博的数学知识，才发现了万有引力定律。在高斯之前，著名数学家欧拉曾经研究出了一种计算行星轨道的方法。可是，这个方法太麻烦。高斯决心去寻找一种简便易行的方法。在前人的基础上，高斯经过艰苦的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论。他根据皮亚齐的观测资料，利用这种方法，只用了一个小时就算出了谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里。

　　1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空。果然不出所料，谷神星出现了!
高斯的计算方法成功了。高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐藏了整整一年后，却又成为人类的最好的新年礼物。这一礼物向人们显示了数学在科学研究中的巨大作用。

　　这一故事告诉我们：谷神星在比亚兹发现前就已客观存在的；太阳到行星的距离分布是有规律的，太阳与行星之间是和谐的。

　　数列中蕴含的数学方法

　　数列这一章蕴含着多种数学思想及方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法，掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发知识的迁移，举一反三、融会贯通的解决多数列问题。在这一章主要用到了以下几中数学方法：

　　不完全归纳法。不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观，而且可以帮助学生有效的解决问题，在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法。

　　倒叙相加法。等差数列前n项和公式的推导过程中，就根据等差数列的特点，很好地应用倒叙相加法，而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法。

　　错位相减法。错位相减法是另一类数列求和的方法，它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求和的问题。等比数列的前n项和公式的推导就用到了这种思想方法函数的思想方法。数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。

　　方程的思想方法。数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n项和前n项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程等比数列与等差数列虽然是两类不同的数列，但是它们在研究方法、性质上都有很多的共通之处。因此，等比数列的学习可采用类似等差数列相应知识的方法，不但可以很容易接受等比数列的内容，还可以加深对等差数列的理解。