解析几何建构及对数学的贡献

　　1 时代背景的分析

　　勒内·笛卡尔（Ren¨DesCartes,1596~1650），一般认为为近代欧洲哲学的始祖，理性主义的先驱，在哲学与科学上，完美地演绎了近代西方思想之流变的代表者。在哲学上，他以“我思故我在”的首命题开启了近代主体性哲学，被誉为“近代哲学第一人”;在自然科学上，解析几何、光的反射及折射定律、血液循环学说、漩涡宇宙论等突出成就奠定了笛卡尔在现代科学基础性地位。尤为重要的是在笛卡尔初期思想体系中，“哲学”与“科学”之间从未真正分离过，统一的原则性与相同的逻辑推理融会贯通。本文选择从解析几何创立出发，讨论笛卡尔方法论在解析几何创立过程中的运用，进而进一步分析笛卡尔方法论思想在其哲学道路中的演化。

　　2 几何的研究法对笛卡尔的影响

　　2.1 古代数学观的影响

　　柏拉图学园入口处的碑铭是：“不懂几何学者莫入。”而柏拉图本人也根深蒂固地认为几何学知识是掌握其他更高领域知识的必由之路。而这种思想也是古希腊多数智者的统一认识。古希腊毕达哥拉学派，以“数”为本原，认为量和形式是实务多样性的统一基础。笛卡尔认为，苏格拉底以前的希腊人凭借着创造性的天赋创立了几何学和算术科学，使之成为获取确定性知识的科学基础，这是柏拉图哲学形成的前期条件。如果说笛卡尔把几何学作为哲学研究的基础和模式，把几何学公里体系的确定性作为哲学的标准。那么笛卡尔从古朴的数学观开始，由此及彼，最终形成自己哲学体系。

　　2.2 笛卡尔对数学的探索

　　1919 年 7 月笛卡尔在慕尼黑的乌尔姆，与刚出版《论算术》数学家福尔哈贝尔交往，对其产生影响。11 月，笛卡尔开始试图借鉴数学构建他的哲学方法论规则，并在此规则下研究各种具体的科学问题。“我还继续练习运用我所规划的那种方法，因为我除了按照这些规则小心地对我的一切思想作普遍的引导外，还不时留下一点时间，从特殊方面着手，用来解决数学上的一些难题，有时也用来解决一些别的科学上的难题；我发现那些问题所依据的本原不够牢靠，使它们脱离那些本原，于是把问题弄得几乎和数学问题差不多了。”①1628 年 11 月，在巴黎罗马教皇特使的住所，笛卡尔发表了演讲。他通过周密的论证提出了不能在或然性上建立科学，而应当将科学建立在确定性的基础上，并且只能如此，实现的途径可以用数学的方法来演绎证明。

　　3 解析几何建构及对数学的贡献

　　解析几何创立之前，几何与代数就犹如两条平行线一样，是相互分离的两个完成不同的领域。文艺复兴后，欧洲学者不仅继承了古希腊的几何学，同时也接受了由阿拉伯传入的代数学。虽然欧洲学者接受了这门新兴学科---代数学，但是几何学的思维仍旧根深蒂固地占据着绝大多数数学家思维模式的统治地位。“至于古代人分析与近代人的代数，都只是研究抽象，看来十分无用的题材。”①笛卡尔认为：古老的几何学和新兴的代数学，二者的统一在于都是讨论高度抽象且毫无实用价值的东西之外，前者只限于摆弄图形，让想象力匮乏的人不知所云，疲惫不堪，也就不能很好地理解运用；而后者则高度限制于定律和方程式中，形成呆板、混乱及模糊的科学，以至于不但不能栽培心智，反倒阻碍了发展。笛卡尔看到了几何的直观与推理的优势和代数运算的简便，决定寻找一种新的方法，可以涵盖二者的优势，摒弃缺陷，笛卡尔希望提出把图形和代数完美结合的模式，建立一种“真正的数学”.

　　3.1 解析几何的创立

　　1637 年，笛卡尔在其第一部也是最具影响力的着作《谈谈方法》中分析了希腊着名的数学问题---帕波斯问题，在此基础上创立了解析几何。笛卡尔在附录《几何学》中把变量引进数学：把几何学的问题转化成代数的问题，用代数学的方法研究几何，开创了用代数方法解决几何问题的先河。

　　笛卡尔在坐标系中，引进单位长度，利用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。线段与数量联系起来，解决几何作图的原则性问题。他在单位线段基础上，进行线段的加、减、乘、除、开方等运算。通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”,然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。笛卡尔用数形结合的方法解决数学问题，依照这种思想他创立了“解析几何学”.

　　在此之前，有学者研究以两条相交直线作为参照系；同时也有学者天文研究时，提出了一点位置可由两个数量经度和纬度来表示。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响，但他们只是感性的认识，笛卡尔系统总结并公开发表。另外，在数学史上，法国数学家费尔马也是解析几何的创建者之一。他的思路是通过轨迹来研究方程，与笛卡尔相反，刚好是解析几何原则的两个相反的方面，互为补充。

　　3.2 解析几何创立的现实意义

　　解析几何的出现，架起了“数”与“形”的桥梁，把二者统一了起来，并改变了自古希腊以来代数和几何相互分离的趋向，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x 轴、原点、y 轴，构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用（x,y）唯一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。

　　笛卡尔这一天才创见，为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵的是，笛卡尔用运动的观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，通过将点、线、面等形和“数”统一起来，建立了曲线和方程的对应关系。这种函数概念式的萌芽，标志变量进入了数学思想方法。“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。”①笛卡尔的这些成就，为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分发现开辟了道路。此后，人类进入变量数学阶段。这也为后来的黎曼几何奠定了基础。

　　4 从解析几何创立分析笛卡尔数学方法论

　　一般认为亚里士多德学说是希腊科学的一个转折点。从宏观的角度，他是古希腊最后一个提出完整世界体系的哲学家。之后许多科学家放弃提出完整体系的想法，转入具体问题的研究上。在古希腊，数学是属于形而上学的一部分，它用抽象的思维来解释世界。笛卡尔在解析几何上突破，在亚里士多德的形而上学体系打破缺口，在认知问题跨出重要的一步，使得数学问题不再是困扰哲学的一个问题，促进数学与哲学各自的发展，推动数学方法推理，演绎更加合理化，从而在方法论发展哲学。

　　笛卡尔总结归纳其思想方法。

　　第一条：“凡是我没有明确认识到的东西，我绝不把他当做接受。”①永远不接受任何我自己不清楚的真理。即没有自身经历的问题，无论多么权威都可以怀疑，也必须怀疑。这也是“认识自己”的前提，笛卡尔认为除了公理以外，真理是可以证明的。这是笛卡尔回归古希腊的传统。这也是文艺复兴后，哲学的一个重要转向的问题，认知的问题。这也是培根提出“经验主义”的根源。笛卡尔认为几何就是用一连串的十分证明来完成最艰难的证明。他进行推广，由此及彼必然次序推理，只要我们不把假的当做真的接受，人类能够认识所有的东西。而一切要回到哲学的本源，最简单，最原始的东西开始。

　　第二条：“把我所审查的难题近按照可能和必要的程度分成若干份，一一妥为的解决。”①这是分析的方法。在研究的过程中，我们要将复杂的研究问题，化整为小，然后各个解决。笛卡尔就是利用几个月时间研究几何与代数最简单的问题，他抓住“全部仅仅是研究对象之间的各种关系或者比例”特点。为了研究他们，笛卡尔首先用简单的线段直观的出现，再“尽量用短的数字”说明它。“尽量用短的数字”这里指的是方程。这是笛卡尔的辩证的思想表现。

　　第三条：“按照我的次序进行思考，先从最简单的、最容易认识的地方开始；一点一点地上升，直到最复杂的认识对象；对于那些本来没有次序的东西，也给它们设定一个次序。”①将这些小问题从简单到复杂排列，先从容易解决的问题着手。先用简单的成功，促进局部问题的解决，这样有利整体问题的根本的解决。最重要要有次序，建立了一种逻辑关系。

　　笛卡尔认为直观和演绎是数学上两种基本方法。推演真理的程序是由公理达到结论。直观是理智最单纯的基本活动，是绝对真理的供给基础渠道。只要我们应用“心灵之眼”观看三角形只有三边等这样显而易见的感受事实，在研究任何问题的过程中，一切难题的解答必须借助这类单纯的观念。演绎也是理智的活动，但是和直观不同，它们不是单纯理智的活动，必须先假定了某些真理（或定义）之后，凭借这些定义推出一些结论。笛卡尔认为直观的功用是在于提供科学和哲学的最新原则；而演绎则是应用这些原则来建立一些定理和命题。也就是说，直观是发明的基本原则，演绎是导致最基本的结论。不过笛卡尔认为演绎是有缺陷的，因为同一个原则往往会演绎出不同的结论，每个人洞悉自己存在的事实和思想存在的事实。所以最终纠正的方法就是事实。这个纠正的方法就是经验，即所谓的诉诸事实。

　　历史的积淀和现实的创造织成了一张人类对知识的反思之网，纵向、横向这两个维度构成了一个“笛卡尔坐标系”,笛卡尔哲学不过是这张网上的纽结。它标示出了笛卡尔哲学的历史坐标。

　　笛卡尔认为一切科学体系等同人的智慧。科学应用到不同的事物上，自然反应也就不同。理智等同的信念就成为科学的方法根据。哲学是爱智慧，笛卡尔深信在所有的知识中，数学最具资格被称为真正的科学。它具有真正科学的条件和达到真理的方法，所以他要借助数学的形式作为一切知识的形式。同时，数学方法也是普遍知识的方法。所以应当在数学中寻求理智活动的法则。科学只有一种，因而方法也只有一个，数学方法也是其他科学的方法。任何人都能应用，并且十分方便，只要你仔细遵守，绝不会把假的当做真的，随着时间的推移，知识自然而然得到积累，而心灵达到理智所能知道的知识最高境界。

　　实验方法、数学方法以及两种方法的融合，是近代自然科学得以建立的基础，这样的实证研究方法在古希腊阿基米德那里已见传统，随着力学自然科学技术的发展，描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡尔站在方法论的自然哲学的高度，用数学方法演绎数学家与哲学家的历史地位。

　　参考文献

　　[1] 韩英丽。浅析笛卡尔的“理性直观”[J].武汉科技学院学报，2007（1）。

　　[2] 霍桂桓。论作为心灵哲学之先驱的笛卡尔心一身一元论[J].学海，2007（6）。

　　[3] 黄学胜。论笛卡尔哲学中的“上帝”[J].华中科技大学学报：社会科学版，2007（4）。