高等数学中建模思想的运用形式探析

　　摘    要：　建模思想是基于数学工具解决生活中实际问题的有效依据,本文对建模思想在高等数学中的应用进行研究。首先阐述了高等数学中数学建模的必要性、分析了数学建模基本方法,结合数学建模过程构建“层次分析法评估娱乐场所火灾风险”的数学模型,最终求解娱乐场所火灾风险值,达到数学建模解决实际问题的目的。

　　关键词：　建模思想; 高等数学; 应用;

　　Abstract：　The idea of modeling is an effective basis for solving practical problems in life based on mathematical tools.This paper studies the application of the idea of modeling in higher mathematics.Firstly,the necessity of mathematical modeling in advanced mathematics is expounded,and the basic methods of mathematical modeling are analyzed.Combined with the process of mathematical modeling,a mathematical model of “AHP to evaluate the fire risk of entertainment places” is constructed.Finally,the fire risk value of entertainment places is solved to achieve the purpose of solving practical problems by mathematical modeling.

　　Keyword：　modeling thought; advanced mathematics; application;

　　一、引言

　　高等数学是理工类专业的基础课程之一,也是教学的重点内之一。高等数学的基础性在于可为其他课程学习提供基础技能以及分析事物的基础能力。在现代社会发展与建设中,数学是探究科学奥秘、求解复杂问题的关键工具,同时具备培养学生严谨逻辑、抽象思维、批判创新意识的功能。

　　数学建模思想是常用于指导数学活动的一种高效理念,建模思想应用于高等数学中的结果即为“数学建模”。数学建模的意义在于使用数学观点解决现实问题,数学建模应用的实现过程中如下:将现实中待解决的问题进行总结并以数学模型的形式表达,进一步求解模型并对模型的合理性展开验证,使用此数学模型的解来解决现实问题。数学建模思想是支撑数学建模实践研究前行的理论依据,由于数学建模应用过程中一般使用的模型不是已经存在的,需要以数学建模思想作为依据构建数学模型,解决现实问题。
 

　　高等数学中基于建模思想构建数学模型的应用较为普遍,高等数学是一门抽象、相对难以理解的学科,在建模思想指导下构建数学模型、解决数学问题,是高等数学应用的重点之一,彰显了高等数学应用的实践性和价值性。基于上述分析,本文就建模思想应用于高等数学而形成的数学建模活动进行相关研究,并以基本建模方法层次分析法为例,详述数学建模的全过程。

　　二、建模思想在高等数学中的实际应用形式——数学建模

　　1.高等数学中数学建模的必要性

　　高等数学学习过程中,灵活运用数学建模技能十分必要:首先,数学建模集中体现了学习者综合应用数学知识的能力,数学建模是对数学知识体系运用程度检验,也是严谨钻研、认真探究能力的集中表达;其次,数学建模重点体现了学习者探究数学真理的过程,因此为全面提升高等数学学习效果,需掌握数学建模的核心要义;再次,数学建模在形成想象力、观察力、逻辑思维能力中起到不可替代的作用,这也数学建模区别于传统数学应用方法的优势所在,数学建模对于培养学生学科核心素养的作用不可忽视。基于上述分析可知,数学建模是实现科技创新所必需的前提条件,对于激发学习者创新灵感具有积极作用。数学建模的意义不仅仅局限于解决个别实际问题,更是提升个人学科素质和创新能力的必经之路。综上所述,在高等数学中使用建模思想构建数学模型意义重大。

　　2.数学建模基本方法分析

　　解决实际问题过程中,抽象思维与具象思维的双向转换可通过数学这一工具实现,因此数学是数学建模的工具。在数学建模中,利用数学这一工具将不同专业知识进行连接与转换,为解决不同领域实际问题打下基础。

　　机理分析与测试分析是数学建模方法的两个主要方向,详细的基本数学建模方法较多,如类比分析方法、层次分析法、最小二乘法、计算机仿真等等[7]。在以计算机建模软件为依托的建模环境中,数学知识的合理使用、工具的辅助应用是进行高效数学建模的关键点,统计学知识、计算机知识等多种综合技能的配合使用获取清晰的数学模型分析思路、精准的数据计算。

　　3.数学建模过程探究

　　表1详细展示了数学模型构建过程。

　　表1 数学模型构建过程详解

　　表1详细描述了构建数学模型不同阶段需要完成的任务,合理划分了数学模型构建任务,环环相扣,最终呈现一个相对完善的数学应用模型。

　　4.实际案例应用

　　本文以数学基本建模方法之一的层次分析法为例构建数学模型,解决娱乐场所火灾风险评估问题,即“基于层次分析法评估娱乐场所火灾风险”。通过实际案例构建解决实际问题的数学模型,展示数学建模的实际应用过程,结合表1的数学建模步骤如下:

　　(1)模型准备阶段。以棋牌室、桌球室、美容美发店铺、酒吧等为代表的具有休闲娱乐功能的场所火灾发生频率攀升,原因主要分为三点:其一,由于娱乐场所具备一定程度的加工与生产性质,需使用一些容易引起火灾的工具,增加了火灾发生的风险程度;其二,娱乐场所营业时间较长,且夜间营业比重较大,不能及时发现火灾起因并及时扑救;其三,娱乐场所的消防意识相对薄弱,不能从根本上降低火灾发生的几率。为精准掌握娱乐场所的火灾发生风险、降低火灾发生概率、保障经营安全,需对娱乐场所火灾风险等级进行评估[8]。尽可能收集与娱乐场所火灾风险发生相关的材料与信息,为模型假设与构建做准备。

　　(2)模型假设阶段。根据收集的相关数据材料信息构建评估娱乐场所火灾风险的指标体系,如图1所示。由图可知,娱乐场所火灾风险评估指标体系准则层包括火灾扑救因子与关键致灾因子两个层面,下设共9个风险评估指标。

　　图1 娱乐场所火灾风险评估指标体系

　　(3)模型构建阶段。构建与实际情况尽量相符的风险因素评分标准、风险评估指标判断矩阵,指标判断矩阵如表2所示。

　　表2 指标判断矩阵

　　为解决娱乐场所火灾风险等级问题构建的数学模型如公式(1)所示:

　　其中,是评估值,与分别表示指标权重与风险因素评分。由公式(1)可知,想要得到娱乐场所火灾风险等级评估值需先求解。

　　(4)模型求解阶段。

　　首先求解值。表2中,准则层指标对目标层火灾风险值的重要性的比值用表示,举例说明的计算方法,见公式(2):

　　计算指标判断矩阵每行的乘积如下:

　　其中i的取值在1～9之间。定义准则层指标数量用n表示,因此对公式(3)结果开n次方,得到的结果用表示。求和得到:,权重的特征向量计算方法为。

　　值为风险因素评分,评分标准以国内外的建筑火灾风险评价文献和保险业的操作惯例为准,在5分制评分标准中,风险越大、数值越低。

　　根据上述提供的与值即可求解模型,得到火灾风险评估值。

　　(5)模型分析与检验阶段。采用一致性检验方法检验基于层次分析法构建的火灾风险评估数学模型的可行性,计算得到一致性比率为0.04,符合小于0.10的标准,因此构建的数学模型可行性较强,可作为有效的娱乐场所火灾风险评估模型使用。

　　(6)模型应用验阶段。根据构建的娱乐场所火灾风险评估模型可准确评估娱乐场所的火灾风险问题,为预测火灾风险、提升火灾安全防范意识提供了可靠依据。

　　三、结论

　　数学建模是使用数学知识解决实际问题的有效方式,本文基于实际案例总结两点数学建模期间应该注意的问题:其一,使用精简思维看待问题。精简思维要求把复杂问题简化着重凸显事物的本质,抓住事物的主要矛盾面构建符合实际情况的数学模型,避免干扰因素扰乱视线。其二,保持批判性态度面对建模结果。面对数学模型所得的结果时,应注重使用批判性思维总结建模的优点与缺点所在,善于总结建模的不足之处,在以后的数学模型构建活动中加以修正,不断形成最佳的解决问题方法。

　　在以后的研究中可引进数学建模的最优化理论辅助优化建模结果,最优化技术是一个新兴的学科分支,能够在众多解决问题方法中选取最简便的办法,将该理论应用在数学建模中,利于寻求建模方法的捷径,这也是数学建模领域研究的一个重要方向。

　　参考文献

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