高等数学应用能力的培养研究

　　数学在学生逻辑思维能力、定量分析问题能力等方面的培养毋庸置疑具有不可替代的重要作用。从小学一年级到高中毕业整整 12 年的数学学习，使进入大学的青年学生已经具备了这些能力。但大部分专业还要开设高等数学课程，其目的不仅仅是为了培养学生的逻辑思维能力，更主要是为了专业课程的学习，为了利用数学解决实际问题，体现在专业培养目标上就是要培养基础扎实、知识面宽、实践能力强的社会急需的人才。

　　很多研究人员已经在数学应用能力的内涵、评价等方面开展了深入研究[1] [2],有文献[1]指出影响大学生数学应用能力的因素主要有数学阅读能力，数学建模能力，近似计算与估算能力，检验、讨论与评价能力，实际上数学应用能力还应包括对问题的简化抽象能力，任何一个实际问题所涉及的因素非常庞杂，我们必须从中找出主要因素，对问题进行适度简化和合理假设，只有这样才有了应用数学方法解决实际问题的基础。本文根据以上影响数学应用能力的主要因素，结合我们高等数学的教学经验探讨高等数学应用能力的培养途径。

　　一、注重数学概念的引入，培养学生解决实际问题的数学思想

　　数学概念的引入本质上是一个用已学数学知识解决实际问题的最佳教学过程，因为大多数数学概念不是凭空想象出来的，而是为了解决人们在实际中遇到的问题而逐步归纳抽象形成的。这些概念从问题的提出到最后形成严格的数学定义一般都经过了一段较长的时期，它反映了人类为解决自然问题不断探索、精益求精的严谨态度。比如导数这一概念源于 17 世纪 20 年代法国数学家费马对曲线的切线的研究，但直到 19 世纪 60 年代在魏尔斯特拉斯提出 ε-δ 语言后才最终形成今天这一严格的定义，其间还有牛顿、莱布尼茨、达朗贝尔、柯西等一大批数学家的贡献。如果我们在导数概念的引入时能够把曲线的切线斜率、变速直线运动质点的瞬时速度等引例的来龙去脉讲解得十分透彻，那么对于培养学生数学应用能力无疑具有非常大的示范作用。

　　在每个数学概念形成的过程中，一些数学思想、方法被提出来并被升华。我们在数学的教学过程中，除了清晰讲述概念，还应该强调概念形成过程中所蕴涵的数学思想，总结其中所体现的数学方法。掌握好这些数学思想与方法比记住相应的数学公式要重要得多。

　　二、多方面搜集应用实例融入课堂教学

　　引入数学概念时强调如何利用曾经学过的数学知识解决实际问题，而当一个概念被提出来后，我们还要让学生知道如何利用这个概念去解决实际问题。这就要求我们在教学准备过程中收集、整理相关的实际例子。

　　这些实例可以从以下几个方面去挖掘。

　　（一）文献资料大量的文献资料中介绍了高等数学的应用，如文献[3]中编选了 205 个高等数学在物理、化学、天文、生物、医学、航空航天、工程技术、经济等方面的应用实例。我们可根据所授专业情况从中选择一些实例来介绍如何利用已掌握的知识和方法去分析和解决实际问题。另外其他专业的教材中也有大量的例子，如果我们能够把这些专业实例拿到数学课堂上来，那么一定能提高学生学习数学的积极性，加深其了解数学知识的应用。

　　（二）日常生活数学无处不在，我们身边处处蕴涵数学，所以我们要在日常生活中寻找数学的应用，这将极大地消除数学的神秘感，有利于消除学生学习数学的畏难情绪，增强学生学习数学、应用数学的积极性。比如“椅子可不可以在地面上放稳”“能不能通过面包上任意一点将它切成两块面积相等的部分”“下雨天没有带伞时你是应该快跑还是慢走”等问题，就非常贴近我们的生活，在学完相关知识后不妨把这些问题抛出来让学生思考。

　　（三）中学公式中学数学、物理课程中介绍过很多数学公式、物理公式，比如圆周长公式、圆面积公式、球体积公式、自由落体下降距离公式，等等。但这些公式在中学教材里并没有给出证明，学生们虽然对这些公式耳熟能详，但一般都是只知其然不知其所以然。我们可以在高等数学的教学中用相关高等数学知识来给出它们的证明。比如在介绍了极限计算后，不妨让学生们自己证明一下圆周长公式；在介绍完拉格朗日中值定理后，可以让大家用导数证明 sin2x+cos2x=1、Inxα=αInx 等公式；在学习定积分后，不妨布置学生从已知重力加速度出发探究一下自由落体下降距离公式。文献[4]

　　还介绍了一些用高等数学方法解决初等数学问题的其他例子。

　　（四）社会现象正如文献[5]所述，在数学引入之前，社会科学的研究多是模糊研究、定性研究，甚至某些概念都是人为地、感性地在进行描述。但是社会科学中很多问题，比如人口预测、区域经济规划等，无不需要数学方法的支持，将数学与数学方法应用于社会科学已经成为社会科学发展的迫切需要。目前在社会科学问题的研究中已经大量应用数学的方法，其中统计方法的应用是最为广泛的。但除了统计方法，高等数学中的导数、积分、级数也是社会科学研究中的常用方法。比如文献[5]

　　就用微分方程建立了一个“朱丽叶与罗密欧数学模型”,把导数应用到心理学研究中。还有一些悖论我们也可以用数学方法进行解释，比如二分法悖论，我们就可以利用级数的方法进行反驳。

　　三、开展以提升高等数学应用能力为主题的学生课外活动

　　培养学生高等数学应用能力，不能仅仅依靠课堂教学，还可以通过学生课外活动来实现能力提升。首先教师应该积极组织学生申报各类与数学应用相关的科研项目，通过指导学生完成项目来提高其数学应用能力。

　　在我们学校，这些项目来源主要有团委的大学生科技创新项目，有教务部门的研究性学习项目。其次，我们可以利用学生社团开展一些数学应用方面的讨论或报告活动，比如我们协助学生成立了校数学爱好者协会、数学建模协会，这些社团经常组织学生科研项目成员交流研究心得，邀请专家做学术报告，组织协会成员开展校际间的活动。活动的内容可以是高等数学概念、思想、方法的进一步讨论，比如在完成定积分概念教学后，我们可以就定积分概念形成过程中所涉及的数学思想方法组织一场课外的讨论，让学生掌握这一概念中“分割-求和-求极限”过程所反映的“化整为零-积零为整”、“局部近似-整体精准”等数学思想。

　　四、扩展大学生数学建模竞赛的影响

　　全国大学生数学建模竞赛的内容来自实际问题，有明确的实际背景，它有效地提高了大学生利用所学数学方法解决实际问题的意识和能力，目前它已经成为全球规模最大的一项课外科技竞赛活动，2014 年参赛院校达到 1338 所，参赛学生达到 7 万多人，但相对于 2014 年全国在校大学生人数 2000 多万的数字来说，这只是其中一小部分。扩大数学建模竞赛的影响是提高大学生数学应用能力的一条有效途径。

　　目前国内大部分高校通过开设数学建模课程、组织校内数学建模竞赛等形式使更多的学生参与到数学建模活动中来。除此之外，我们可以采取一种所谓的“后数学建模竞赛”的形式发挥数学建模竞赛的余威，也就是说在三天竞赛后组织更多的学生参与该次竞赛题目的研究。很多参赛学生反映如果给他们更多的时间，问题就能解决得更完美。所以比赛后我们还可以组织学生一起交流讨论，或者再让学生针对问题开展更加深入的后期研究并提交论文，从而使数学建模由一年一次的竞赛成为一种经常性的课外科技活动。

　　五、注意挖掘本身的科研问题，形成学生研究素材

　　很多数学教师除了从事数学理论研究外，还会和相关专业教师合作从事一些应用数学的研究，这些研究问题无疑是最直接、最生动的数学应用实例，我们应该充分利用它们来作为培养学生数学应用能力的素材。

　　我们可以把一些已经获得的结果提炼出来总结成案例在课堂上讲，或在课外活动中作为研究课题布置给学生进行研究，也可以作为校内数学建模竞赛的题目。

　　对于正在研究的问题，我们可以从中分离出一些相对简单的小问题，组织部分能力强的学生开展研究，这样不但培养了学生的数学应用能力，而且也锻炼了他们从事科学研究的素质。

　　总之，教师应该积极开展应用数学方面的研究，使自己具有较强的数学应用能力，平时多积累数学应用案例，这样无论是在课堂讲授中，还是在其他教学活动中，都能使用最恰当的问题，做到得心应手，这样培养学生应用数学的能力就不会是纸上谈兵。

　　[ 注 释 ]

　　[1] 范文贵，张守波，朱凤林。影响数学应用能力之主要因素的剖析[J].锦州师范学院学报，2000（1）：67-69.
　　[2] 耿秀荣。高等数学应用能力研究现状刍议[J].大学数学，2008（2）：7-10.
　　[3] 李心灿。高等数学应用 205 例[M].北京：高等教育出版社，1997.
　　[4] 赵金兰。用高等数学方法解决初等数学中的某些问题[J].雁北师范学院学报，2003（5）：72-73.
　　[5] S.Strogatz.Love affairs and differential equations[J].Math-ematics Magazine,1988（1）：35.