高中生学习微积分的现存问题和教学方法

　　摘    要：　2017版新课标对高中微积分的内容和要求做出了较大调整,使得在微积分教学时遇到了一定困难。本文以新课标为出发点,归纳新课标中关于微积分的内容和要求的主要变化,揭示现阶段高中生在学习微积分中存在的问题,并针对这些问题提出具体的教学建议和策略,为新课标背景下高中微积分的教学提供一定思考和改革策略。

　　关键词：　新课程标准; 微积分; 高中数学; 教学;

　　随着课程标准的不断改革,微积分在高中阶段越来越受到重视。教育部颁布《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称新课标),对微积分的教学提出了更高的要求。事实上,微积分中所蕴含的美育价值、思维价值和应用价值,对高中生辩证思维的发展、解题思路的拓展和后续学习都有着十分重要的影响。因此,在新课标下,高中微积分教学成为数学教师亟需思考和研究的新课题。

　　微积分在高中数学中经历了多次改革,广大数学教育工作者针对历次改革的新内容、新要求,对高中微积分教学提出了许多建议。如孟季和[1]在《中学微积分教材教法》中,对适应1978年教学大纲改革的微积分教学的教法进行了探讨;杨钟玄[2]根据新《数学教学大纲》的改革情况,结合当时数学课本弊端,提出要将数列极限的定义由抽象的“ε-N”符号语言改成更为直观语言的建议;匡继昌[3]尖锐地指出教学大纲删去极限内容的错误性,并表示这种无极限的导数模式不是创新,而是一种退步;李倩等[4]对课程标准中所列出的高中微积分内容从教学价值、教学实施方面进行了不同的探讨,认为高中微积分教学要充分体现高中微积分和大学微积分对学生的不同要求,不能让学生产生对运用微积分知识过度依赖的心理。因此,高中课程改革中微积分教学方法研究一直是数学教师教学研究的热点课题。

　　另一方面,虽然我国数学教育工作者关于高中微积分教学研究较为广泛,但是在新课标框架下,探讨高中微积分教学的研究却不多。本文首先总结归纳新课标中微积分内容及其要求变化,然后剖析高中生学习微积分普遍存在的问题,最后有针对性地提出在新课标背景下高中微积分教学的几点策略。
 

　　1 、新课标中微积分内容和要求的变化

　　新课标对于微积分内容和要求做出了较大调整,尤其是对于理工科学生,其在内容的难度、深度、广度以及学习目标等方面都有很大的提高。表 1以新课标A类为例,比较了其与2003年《普通高中数学课程标准(实验)》的异同。经过比较和分析,新标准关于微积分的变化可归纳为以下三个方面:

　　1.1 、注重与大学数学的接轨

　　在2003版的高中数学课程标准中,考虑到高中生的认知水平,当时我国高中数学涉及微积分的知识无论是从内容的深度、广度和难度上都较为浅显。在世界范围内,相对于其他发达国家和部分地区高中数学课程标准中有关微积分内容,我国高中数学微积分内容的难度排名也相对靠后[5]。从表1可看出,新课标在微积分内容和结构上作出了调整。在内容上,数列极限、函数极限、连续函数、二阶导数、导数的应用、定积分的理论知识部分有明显的扩充和具体要求。在结构上,逾越极限直接通过大量的实例来理解导数的概念,修改为先学极限,再从极限的基础上给出导数这一数学定义,该教学结构与大学微积分基本一致。另外,新课标改善了高中和大学微积分内容的断点问题,在知识的建构上逐步与大学微积分接轨,其课程的连贯性和延续性得到进一步增强。

　　表1 新课标中A类微积分内容和要求的调整

　　1.2 、注重数学符号语言的培养

　　数学符号语言是一种简洁、高效的思考与表达方式[6]。一直以来,关于是否在高中阶段引入极限符号语言一直存在争议。数学课程标准研制组在《普通高中数学课程标准 (实验)解读》中明确指出高中学习极限的弊端:若按照先学极限再学导数的顺序,极限的抽象概念会对理解导数思想和本质产生不利影响[7]。也有不少数学教育学者指出,高中极限内容的删减只会对学生理解微积分会产生障碍。新课标再一次增设了极限内容,对极限内容的学习要求由了解上升到理解的层面,不仅给出了极限的数学符号定义,并且要求学生掌握极限的相关性质及其证明。此外,有关连续函数、导数、定积分的概念,新课标也都给出了严格的定义和证明,这充分体现了新课标对培养学生数学符号语言的表达能力的重视。

　　1.3 、注重微积分的实际应用

　　微积分是研究现代数学的基础,也是解决其他领域技术的重要工具。新课标更加强调借助几何直观和物理实际背景来引入微积分思想,并且对微积分的实际应用能力提出了更高的要求。事实上,微积分在研究数学的函数变化、物理学的物体变速运动以及经济学的生产优化等问题中起到关键作用。如在初等数学中,学生对于曲边图形面积和旋转体体积的计算往往倍感无从下手,但从微积分的极限思想出发,将曲边图形和旋转体划分为无数个无限小的面积微元和体积微元,再近似求和,便能有效地推导出曲边图形和旋转体积的求解公式。又如在物理的运动学问题中,对于常见的匀速直线运动等简单的运动形式,学生往往能得心应手,而对于变速直线运动来说,很多学生往往一筹莫展,但如果使用微积分工具便能很好地解决[8]。由此可见,提升微积分的实际应用能力是适应新时代数学教育发展,培养应用型人才的有效手段。

　　2、 高中生学习微积分存在的问题

　　高考是高中生数学学习的指挥棒,目前高考对于微积分内容的考查在分量和难度上普遍要求不高,导致高中生学习微积分存在很多问题,主要表现在以下三个方面:

　　2.1、 对微积分课程的学习感到枯燥

　　新课标加入微积分相关概念和定理,致使高中微积分课程理论性明显增强。然而,现有教材有关微积分的内容安排比较繁杂,并且缺乏针对性和系统性,导致难以调动学生学习的积极性。许多高中教师在教学微积分的过程中,仍然采取传统的灌输式教学模式,缺乏对微积分所蕴含的思维价值、文化价值和应用价值的挖掘,导致学生对微积分的学习存在畏难情绪。另外,伴随高考升学压力,高中微积分教学呈现出一种应试化倾向。由于微积分内容难度较大,致使教师更多专注于书本和考试,偏重于公式的推导、题目的演算等机械化的训练,忽视了对学生的素质能力的培养,从而加重了学生对于微积分枯燥的刻板印象。

　　2.2 、对微积分概念的理解不够透彻

　　为了准备高考,许多学生对于微积分的学习仅停留在对导数公式的记忆上,不断重复公式演算习题的训练,对微积分概念的认识浮于表面,死记硬背占很大的比重[4]。一方面,微积分本身对于初学者来说难度较大,尤其是对那些抽象的数学符号语言,让学生从常量思维跳跃到变量思维,难以接受,从而产生一种抗拒的心理。另一方面,由于初等数学内容的限制,高中数学教材一些知识点缺乏逻辑上的严密性。在课改前,我国大多数的高中教材都删去了极限的内容,对极限的思想一笔带过,加大了学生理解微积分的难度,再加上高中教师教学上偏重于题目的直观讲解,造成学生对一些基本概念的理解产生偏差。

　　2.3 、对微积分思难以做到灵活运用

　　着名数学教育家R·柯朗说:“微积分是人类思维的伟大成果之一[9]”。微积分的创立是一代又一代数学家思维方式发生变化的结果。微积分以函数为主要对象,分析函数的常量和变量间的关系,它打破了传统的常量一直保持不变的思想,使数学变为一种动态的语言。在高中阶段常常会遇到一些研究较窄、较深的题目,在解答这一类题目时,学生常常会将实现目标的手段当作解题目标,并由此陷入繁杂的运算或是中断解题[10],如此,在解题过程中将耗费大量的变形运算才能达到目标结果。在很多情况下,微积分的思想能为解答此类题目开拓思路,但由于受到高中阶段大量的填鸭式训练的影响,许多学生的思想被禁锢,难以做到对微积分思想的灵活运用。

　　3 、高中数学微积分的教学策略

　　高中微积分内容主要是微积分学的基础知识,教师的教学应符合微积分初学者的认知水平,要将微积分知识在课堂上通俗、直观、生动地呈现给学生。在高中数学微积分模块的教学过程中,教师可以通过讲述与微积分密切相关的数学史小故事,利用数形结合教学,运用微积分工具达到激发学生学习兴趣、增强概念理解和丰富学生解决问题能力等目的。

　　3.1 、穿插数学史小故事,让学生感受微积分的趣味性

　　高中正是学生世界观形成的关键时期,在微积分教学过程中适当地引入数学史的小故事,不仅有助于摆脱微积分的枯燥性,激发学生的学习兴趣,还能让学生感受文化熏陶,体会数学的人文价值,提升自身的文化修养。因此,教师在微积分教学中,应充分挖掘微积分思想中的美育价值,通过数学文化引导学生感受微积分思想文化中所蕴含的人文价值,从而培养学生感受美、鉴赏美、创造美的能力[11]。

　　如在介绍微积分符号的时候,可以穿插数学史上着名“牛顿-莱布尼茨之争”的故事。在微积分发展史中,关于谁是创立微积分第一人一直存在着争论。1684年,莱布尼茨首次公开提出微分的概念,两年后,他发表了一篇论文,将积分符号记为“∫”据莱布尼茨的手稿记载,1675年他已发现并完成了一整套微分学。然而,英国皇家学会却认定微积分的创始人是牛顿,并指出莱布尼茨抄袭了牛顿的“流数术”。其实,经后人的研究发现,牛顿和莱布尼茨基于不同的思维模式创立了微积分。牛顿从物理的力学出发,运用集合方法创建了微分学和积分学,并用“y˙”表示导数。莱布尼茨从几何问题出发,利用分析学方法引出微积分概念,并引进“dx、dy”作为微分符号,这一发明相较于牛顿的符号更清楚、直观、合理,而被广泛的采纳沿用至今。至此,人们才普遍认为牛顿和莱布尼茨均为微积分的第一创立者,因此,教材将微积分基本公式取名为“牛顿-莱布尼茨公式”。通过讲述微积分的数学史小故事,引出微积分符号,不仅能够有效地加强学生记忆,而且可以让学生对微积分的创建历史有了一个初步的了解,从中感受数学的人文价值。另一方面,从课堂教学来看,穿插数学史小故事,有助于学生摆脱微积分课堂枯燥的刻板印象,激发学生的学习兴趣,同时也能让学生感受到微积分中的正能量,从微积分名人的身上汲取养分,学习他们的精神,达到情感育人的目标[12]。

　　3.2 、利用数形结合教学,增强学生对微积分概念的理解

　　新课标改善了高中微积分和大学微积分的断点问题,要求高中微积分中有关极限、导数、定积分等内容逐步与大学微积分接轨,这样提升了高中生对微积分概念理解的难度。在微积分教学中,教师应充分考虑高中生的认知水平和接受能力,在讲授抽象的数学概念和定理时,教师可以结合它的“形”直观地向学生传递其中蕴含的意义。通过数形结合引导学生主动参与到观察图像和公式的推导过程中,不仅有利于学生对于数学概念的理解,同时也能让学生充分感受到微积分和初等数学的差异性[13]。

　　如在讲授函数极限的ε语言时,对任意给定ε>0,在直角坐标平面上以y=A为中心线,宽2ε的窄带,可以找到某个M>0,使得在直线x=M的右侧,曲线y=f(x)完全落在窄带内(如图1所示)。教师可先运用图像法表示函数极限的几何意义,从而引导学生接受函数极限的ε语言,避免死记硬背概念。将“数”与“形”紧密结合应用到数学教学当中,不仅能让复杂的问题变得通俗易懂,而且有助于提高课堂的生动性和趣味性。

　　又如,在推导幂函数的求导公式时,可以先从最简单的函数y=x2出发。根据导数的概念,找到x单位的变化引起的函数变化率即可,即dx/dy可以被理解成是函数y=x2图像的切线斜率。如图2所示,在坐标原点处,切线与x轴重合,所以斜率是0,且随着横坐标x的增大切线斜率会不断增大,引导学生观察出y=x2的导数与自变量x正相关这一现象。

　　图1 函数极限的几何意义

　　图2 函数y=x2切线斜率与自变量x正相关

　　观察一个边长为x的正方形,假如给x一个微小的增量dx,此时其面积的增量可表示为dy(如图3所示),即由x的微小增量dx引起的y=x2的值的微小增加量dy。正方形面积多出三个部分,即两个小长方形和一个小正方形,如此dy=2xdx+dx2,当dx无限趋近于0,一个微小的变化量的平方(dx)2可以忽略不计,所以dy=2xdx,即dydx=2x,最终得到了函数y=x2的求导公式,也应证了先前观察到的规律。

　　同样,在推导函数y=x3的求导公式时,也可以考虑是在一个棱长为x的立方体上,给横坐标x一个微小的增量dx,其体积的增加量为3x2dx,故每单位x增加量引起x3的变化是3x2。由此,引导学生发现这两个函数的导数都是形如dydx=nxn?1,即可得到幂函数的一般求导公式。在教学过程中,通过直观的图形辅助求导公式的推导,不仅可以引导学生领会微积分思想,简化学生对导数概念的理解,还能通过亲历微积公式的推导过程,培养学生逻辑思维、演绎推理的能力。

　　图3 函数y=x2自变量变化

　　3.3、 运用微积分工具,丰富学生解决问题的手段

　　微积分是打开现代数学大门的重要理论基础,其所蕴含的思想能为学生解决问题提供独特的方法和思路[14]。在高中阶段,一些数学问题的求解与讨论过程相当繁琐,而微积分的引入拓展了学生的思维,能够使学生从枯燥而重复低级的训练中走出来。教师在实际教学过程中,应有别于传统的灌输式教学,充分借助微积分思想方法,丰富学生解决问题的手段,提高学生微积分的应用能力。

　　如证明对任意的正整数n,不等式ln(1n+1)>1n2?1n3都成立;又如,已知一力场由以横轴正向为方向的常力F构成,当一质量为m的质点沿圆周x2+y2=R2,按逆时针方向走过第一象限的弧段时,求场力所作的功。这些问题如果用常规方法很难解决,但如果将问题转换为讨论函数的单调性和定积分的问题,学生则会有一种醍醐灌顶的感受。由此可见,微积分思想的引入可以拓展学生的解题思路,将一些复杂的问题化繁为简,如此可达到灵活运用微积分思想解决实际问题的目的。

　　再如,求曲线C:y=3x-x3过点A(2,-2)的切线方程。学生解决该问题的常规思路是,由点A在曲线C上,得到切线斜率为k=y′=-9,因此过点A的切线方程为9x+y-16=0。这一解法的错误在于遗漏切线方程y+2=0的情况。在求切线方程时,学生很容易将问题简化为求已知曲线与直线只有一个交点的情形,直接将两个方程联立求单根,这种方法虽能找到切线方程,但得到的答案却不完整。出现错误的根本原因在于对切线概念理解不准确,仅停留在片面的认识上,并未真正领会导数的思想。正确理解是,切线是曲线的割线与曲线交点由一端沿曲线无限地接近于另一端时的极限位置,这样就不能仅凭直线与曲线的公共点个数来判断切线的条数。因此,在极限的教学中,教师如果能够通过分析变量与常量之间的内在联系,挖掘微积分思想的来源,让学生体会近似与精确、有限与无限的之间动态变化规律,能有效训练与培养学生的辩证思维,丰富学生解决问题的手段。

　　在新一轮的高中数学课程改革中,微积分知识的难度、深度和广度都有了一定提高。较以往的课程标准而言,新课标更加注重高中微积分和大学微积分的衔接、数学符号语言的表达能力和微积分的实际运用。与此同时,微积分课程难度的增加也给高中生的学习带来了更多的挑战,主要体现在对微积分理论的学习感到枯燥、对微积分概念理解不透彻以及对微积分思想难以做到灵活运用等方面。因此,探讨高中微积分的教学策略具有重要意义。本文在剖析新课标中微积分内容和要求的基础上,针对现阶段高中生学习微积分存在的问题提出对应的教学策略。在实际教学过程中,教师要以学生为本,从高中生的认知水平出发,以直观易懂,生动有趣的教学揭示微积分所蕴含的数学之美。通过穿插数学史的小故事,结合数形结合教学,运用微积分工具等教学方法来激发学生学习微积分的兴趣、增强理解微积分概念和运用微积分解决问题的能力,以期达到提升学生的数学核心素养的目的。总之,新课标下微积分的教学研究是一个全新的课题,如何在教学中充分体现微积分的教育价值仍存在很多探讨的空间。

　　参考文献

　　[1] 孟季和.中学微积分教材教法[M].重庆:重庆出版社,1983.
　　[2] 杨钟玄.对高中数学“微积分初步”内容处理的看法与建议[J].数学通报,2002,41(8):30-32.
　　[3] 匡继昌.如何给高中生讲授微积分[J].数学通报,2006,45(5):2-4.
　　[4] 李倩,胡典顺,赵军.对新课程标准下微积分课程教学的思考[J].高等函授学报(自然科学版),2008(2):58-61+64.
　　[5] 张玉环,王沛.高中微积分课程国际比较研究——基于十个国家和地区的十四个课标研究[J].数学教育学报,2016,25(2):36-43.
　　[6] 潘欣欣.提高学生数学符号语言表达能力的实践研究[J].教育界(基础教育),2019(11):34-35.
　　[7] 数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准(实验)解读[M].南京:江苏教育出版社.2004.
　　[8] 肖新义,肖尧.微积分方法在初等数学中的应用研究[J].和田师范专科学校学报,2009,28(5):205-206.
　　[9] R·柯朗,F·约翰.微积分和数学分析引论[M].张鸿林,周民强,译.北京:科学出版社,2006.
　　[10] 胡典顺,赵军.让微积分在高中数学中变得更精彩[J].数学通报,2006,45(12):45-47.
　　[11] 缪雪松.微积分思想发展的文化传承[J].中学数学月刊,2016(2):43-44+58.
　　[12] 董丹丹,周学君.浅谈数学故事在数学分析教学中的作用[J].黄冈师范学院学报,2018,38(3):75-79.
　　[13] 周建设.在高中数学中如何进行微积分教学[J].中国校外教育,2016(24):136-137.
　　[14] 曾宏建.大学数学先修课程的开设探索与思考——以《微积分》的课程设计为例[J].数学教学通讯,2019(12):3-5.