高中数学教材引入数学史的现状与思考

　　2013 年 4 月 13 日至 14 日，第五届全国数学史与数学教育研讨会在海南省海口市海南师范大学隆重举行，一百三十余名来自国内外的专家、学者参加了此次会议．此次研讨会围绕着主题“数学史与数学教育的整合”展开讨论．具体来说，讨论内容包括 4 个方面：数学史与数学教育的整合研究；传播数学史在文化发展中的意义；公开视频课程与数学史课程建设；数学史研究新进展．此次研讨会共进行了 12个大会报告，67 个分组报告．在大会报告中，李文林教授再次（在西安举行的第一届全国数学史与数学教育研讨会中第一次提出）强调提出，“数学史应该为数学教育而历史”．宋乃庆教授则在大会报告“数学史在中小学数学课程中的应用”中谈到：“数学史促进学生兴趣数学、认识数学、理解数学，最终学好数学．”深刻地揭示了数学史的教育价值．他还谈到：“应将数学史的史学形态转化为教育形态．”

　　目前，国内关于数学史与数学教育整合的研究，以义务教育阶段居多，既有理论研究，也有调查研究，还有开发具有教育形态的数学文化的研究．但是，关于数学史在高中数学教育中应用的研究却还很少．考虑到教材是数学史在教学中呈现的主要载体，在数学史教育中具有重要的作用．这里对高中数学教材（必修系列，下同）中数学史应用的现状进行探析，以此作为“第五届全国数学史与数学教育研讨会”的回音．
　　
　　1 数学史进入数学教材的意义

　　教材是教师教和学生学的依据．数学史进入数学教材既可以丰富教材的素材，也可以丰富教学内容，更重要的是可以促进学生兴趣数学、认识数学、理解数学，最终学好数学．首先，数学史进入数学教材可促进学生兴趣数学．爱因斯坦曾说过：“教育不是用‘好胜心’去诱导学生的竞争心理，而是用‘好奇心’去激励学生的科学兴趣．”在传统讲授式教学模式下，教学过程是教师灌输，学生被动接受，这会使学生对数学产生厌恶心理，不利于激发学生的数学学习兴趣．但是，如果在课堂中加入生动、丰富的史实，学生便能了解数学知识的产生及发展过程，感受数学的“火热”，从而对数学产生好奇心和求知欲，培养数学学习兴趣．其次，数学史进入数学教材可促进学生认识数学．认识数学的首要任务就是要认识数学的价值，树立正确的数学观．数学来源于生活，并且应用于生活．数学概念发生、发展的历史可以让学生认识到数学并不是数学家们“构造”出来的，而是人类在生活实践中总结、抽象而来的．数学应用的历史可以让学生认识到数学的应用价值，提高在现实生活中的应用数学意识，进而促进学生正确的认识数学，形成正确的数学观．最后，数学史进入数学教材可促进学生理解数学．数学教育是数学文化的教育，而数学史又是数学文化的一种载体，数学史融入数学课程有助于学生理解数学、感受数学文化．而且，读史可使人明“知”．数学专业知识与历史知识是互补的，专业知识的学习需要历史知识来帮助分析与思考．学习数学史不仅要学习史实，也要学习数学史背后所蕴含的基本知识、基本技能．例如，数学家高斯儿时求 1到 100 之和的史实中蕴含着等差数列求和的基本方法，学习这一历史，有利于帮助学生“再创造”等差数列的求和公式，促进学生理解这一数学知识并掌握求等差数列和的技能．可见，数学史进入数学教材，不仅是“史”入教材，还是对教材中数学基本知识的延拓，可以帮助学生更好的理解数学．
　　
　　2 高中数学教材中数学史应用的现状分析

　　数学史有机地融入到数学教育中是数学新课程的基本理念之一．《普通高中数学课程标准（实验稿）》明确指出，要在高中数学教材以及数学教学过程中渗透有关数学史的内容．在我国“一标多本”的现实数学教育背景下，各个版本的高中数学教材都必须设置数学史的相关内容．为了探析高中数学教材中数学史应用的现状，在此以我国最具代表性的，使用人数最多的人教版（A 版）普通高中数学教科书（以下简称高中教材）为研究对象，并从数学史的内容、分布以及呈现方式 3 方面进行统计分析．
　　
　　2.1 数学史的内容

　　统计分析发现，高中教材中涉及的数学史的总量比较多，内容比较丰富，并且和数学的基本知识联系紧密．下面从数学史的总量、数学史的具体内容以及数学史联系基本知识的紧密程度 3 方面进行具体的分析．
　　
　　2.1.1 数学史总量

　　高中教材中一共涉及了 46 个数学史，在各册中的分布如表 1 所示．可以看出，必修 1、必修 2、必修 5 中应用数学史的总量几乎持衡．必修 4 中最少，只有 3 个．必修 3中应用数学史的总量最多，究其原因，主要是必修 3 中设置了“算法”和“概率统计”的内容，与这两部分数学内容相关的可被应用的数学史内容很多．算法是中国的数学传统，古代中国的数学中蕴含着许多算法思想和方法，例如割圆术、秦九韶算法、更相减损术等，可供应用的算法发展史很多．概率与统计则在现实社会生活中具有广泛的应用，自然会涉及到许多关于应用“概率与统计”知识的历史．【表1】

　　
　　2.1.2 数学史类型

　　整体来说，高中教材中的数学史内容比较丰富．既有古代数学史，例如“欧几里得《原本》与公理化方法”，也有近现代数学史，例如“坐标法与机器证明”；既有外国数学史，例如“数学家高斯”，也有中国数学史，例如“割圆术”，还有中外数学史的对比，例如，古代中外数学中求最大公约数的两种不同方法：中国古代名着《九章算术》中的“更相减损术”和古希腊的“欧几里得算法（辗转相除法）”．具体来说，高中教材中应用的数学史在内容上主要涉及以下 5种类型：

　　第一类，数学概念的形成史（记为 H1），例如“函数概念的发展历程”，讲述了函数概念的形成及发展过程．虽然数学概念本身是冰冷的，但是其形成过程却是火热的．讲授数学概念的形成史，让学生经历数学概念火热的形成过程，“再创造”数学，有助于帮助学生更深刻地理解数学概念，并且掌握数学概念．第二类，数学家及其成就史（记为 H2），例如“笛卡尔与解析几何”，介绍了数学家笛卡尔以及他在数学方面取得的成就．数学家取得的丰功伟绩，往往都是他们辛勤付出所得到的回报，这些事迹能激励学生刻苦学习，培养学生坚忍不拔的毅力．在高中教材中设置数学家及其成就史，学生不仅能够了解更多的数学巨人，而且还能够了解他们的研究方向，拓展知识、增长见识．第三类，数学分支学科的形成史（记为 H3），例如“三角学与天文学”，讲述了数学的一个重要组成部分三角学从天文学中分离出来的过程．当今的数学是一个由许多分支组成的综合学科，它的每一个组成部分都有自己的发展历史．通过学习这些历史，一方面可以让学生知晓为什么这些数学分支会成为数学的一部分，另一方面，可以让学生了解相关的数学知识，加强学生对数学的整体认识．第四类，数学应用的历史（记为 H4），例如“概率与密码”，讲授了概率在破解密码中的应用．培养学生的数学应用能力是数学教育的一个重要的价值取向．数学应用包括了两层意思：一是将所学的数学知识用于解释或者解决现实生活中的实际问题；二是将生活中的现实问题转化为数学问题，并运用所学的数学知识去解决它．在高中教材中加入数学应用的历史，有助于引起教师对数学应用的关注，加强数学应用的教学，进而有利于培养学生的数学应用意识，帮助学生感受数学的价值，最终有利于学生形成正确的数学观．第五类，中外数学对比史（记为 H5），例如中国古代的“更相减损术”和古希腊的“欧几里得算法（辗转相除法）”，讲述了古代中外数学中求最大公约数的两种不同的方法．学习不同国家的数学史可以开拓学生的视野，有利于培养学生的发散性思维．各种类型的数学史数量如表 2 所示．可以看出，高中教材中有关“数学应用”的数学史最多，这和中国古代数学的算法化特点有很大的关系．自古代以来，中国数学教育就非常强调数学的应用价值，重视算术教学，数学主要用于计算税收、丈量田亩等实际问题，在古代名着《九章算术》中一共收录了 246 个实际问题，202 个术．【表2】

　　
　　2.1.3 数学史联系基本知识的紧密程度

　　在数学教育中应用数学史既是数学史得到发扬的过程，也是数学教育得到发展的过程．李文林教授从数学史的角度提出，数学史应该“为教育而历史”．宋乃庆教授则从数学教育的角度的提出，数学教育应该“依历史而教育”．两者相互辉映，相互补充，它们共同对数学史与数学教育的整合提出了高要求，即数学史与数学教育要紧密联系．因此，教材中应用的数学史必须要和数学基本知识紧密联系．分析发现，高中教材涉及的数学史内容和数学基本知识的联系都是比较紧密的．例如，在讲完“函数及其表示”以后，设置了数学史“函数概念的发展历程”．通过这一数学史的学习，可以加深学生对函数概念的理解．又如，在讲算法的基本概念时加入了数学史“秦九韶算法”，这可以帮助学生构建算法的基本概念，促进算法学习，提高学习效益．上述例子中的数学史和数学基本知识的联系都很紧密，它们都体现了“为教育而历史”和“依历史而教育”的思想．
　　
　　2.2 数学史的分布

　　高中教材各个版块中数学史的分布情况如表 3 所示．可见，数学史被广泛地应用于“阅读与理解”、“例题”、“习题”、“边框”、“正文”、“章（节）前语”以及其他（包括“实习作业”、“探索与发现”、“小结”、“探究”、“信息技术应用”）版块．另外，数学史在各个版块中的分布还具有以下特点：首先，应用数学史最多的版块是“阅读与思考”栏目，一共设置了 11 个数学史内容．这 11 个“阅读与思考”栏目均用较长篇幅介绍了与该节数学知识相关的数学史，选取的史料真实、详尽．其次，高中教材还充分利用了“边框”（提示框）来设置相关的数学史内容，这可以丰富学生的知识、开拓学生的视野．【表3】

　　
　　2.3 数学史的呈现方式

　　数学史内容的呈现方式指的是教材中呈现数学史内容的具体形式，换句话说，就是数学史内容在教科书中是如何表达的，是以什么样的视角和形式呈现给学习者的，是以怎样的姿态面对学习者的．下面从呈现位置和呈现形式两个方面来讨论高中教材中数学史的呈现方式．
　　
　　2.3.1 呈现位置

　　呈现位置指教材中数学史与相关数学知识的相对位置．从呈现位置来看，高中教材中数学史的呈现方式多样，包括了 3 种：前置方式、并列方式和后置方式．前置方式指数学史在相关数学知识之前呈现，主要用于引出相关的数学知识．例如，在“直线与方程”相关数学知识之前设置了关于笛卡尔与解析几何的数学史，用以引出解析几何的相关内容．并列方式指数学史与相关数学知识同时呈现出来，主要用于数学教学过程中促进学生理解相关数学知识．例如，与“回归”这一数学概念并列设置了数学史“回归概念的由来”，用以加深学生对“回归”的理解．后置方式指数学史在数学知识之后呈现，主要用于巩固知识、加深理解．例如，在对数函数这一基本知识之后设置了数学史“对数的发明”，用以巩固学生对对数函数的理解．就各种呈现位置的数学史数量来看，后置方式呈现的数学史数量最多，随后依次是并列方式和前置方式．各种呈现方式呈现的数学史的具体数量如表 4 所示．【表4】

　　
　　2.3.2 呈现形式

　　呈现形式指数学史在教材中的表现形式，包括图形呈现、文字呈现、图文并茂呈现．统计发现，高中教材中数学史的呈现形式涉及了两种：文字呈现（如图 1 所示，通过文字叙述的形式说明“对数的出现早于指数”的数学史实）和图文并茂呈现（如图 2 所示，通过文字的形式介绍数学家贝努里且呈现其头像）．统计发现，在 46 个数学史中，文字呈现的有 28 个，图文并茂呈现的有 18 个．可见，就呈现形式来看，高中教材中数学史的呈现形式主要是以文字呈现为主，这和小学学段的图文并茂呈现为主有所区别，这非常符合学生思维发展的特点（高中生具备更强的抽象思维能力）．【图略】
　　
　　3 结论与思考
　　
　　基于上述对高中教材中数学史应用的现状分析，可以发现：总体来说，高中教材中应用数学史的总量较多，一共有 46 个；内容较丰富，涉及了古今中外的数学史；数学史在高中教材的例题、习题、阅读与思考、正文等多个版块均有所涉及；呈现的位置方式多样化，包括“前置方式”、“并列方式”和“后置方式”，呈现形式多样，既有文字呈现也有图文并茂的呈现．可见，总体来说高中教材对数学史的渗透是比较积极的．尽管如此，为了使高中教材能够更好的渗透数学史，研究者在此提出几点思考供同仁们讨论．其一，数学史的分布不均衡，“数学史知识在高中教材中应该有总体上合理的布局”．
　　
　　首先，各册高中教材中数学史的分布不是很均衡．各册应用数学史的数量占必修系列教材（5 册）应用数学史总数量的比例如图 3 所示．可以看出，必修 3 与必修 4 中应用数学史数量相差很大，必修 4中数学史的数量还有待增加．其二，虽然高中教材中涉及数学史的版块很多，但是涉及数学史最多的一个版块却是“阅读与思考”栏目，并且这些数学史都是以“读物”的形式呈现出来．众所周知，高中数学教学在面对高考 “指挥棒”时，往往是考什么就教什么，不考就不教．事实上，在高考的压力下很少有老师和学生愿意去学习这种“不考”的内容．因此，研究者认为这些作为“读物”的数学史并不能起到其应有的作用，无法实现其教育价值．鉴于此，数学史应该更多地被渗透到正文、例题、习题、探究版块中．这些版块是高中数学知识呈现的重要载体，在其中渗透数学史可以在学生学习数学知识的同时了解数学史，在消化数学史的同时加深对数学知识的理解，两者相辅相成．其三，虽然高中教材中应用数学史的类型很广泛（包含了 5 种类型的数学史），但是 H3 和 H5 的比例太少，还应开发更多关于 H3 和 H5 的数学史．数学的每个分支都有其发展历史，学习这些历史可以了解它们的发生、发展过程，有助于数学知识的掌握．例如，“三角形和天文学”讲述了三角学从天文学中分离出来的历史，既可以了解三角形的形成历史，也可以厘清三角学与天文学的联系．中外数学对比史则可以开拓学生的视野，培养发散性思维．
　　
　　［参 考 文 献］
　　
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