高中运算内容与教学建议

　　运算是解决数学问题的一种手段，同时也是一种重要的数学能力。从小学阶段到高中，运算的载体不断增加。在高中，运算则拓展到集合、初等函数、三角函数、向量等。尤其是向量运算的扩充，使运算进入到数学的各个领域。总之，运算始终贯穿于数学课程学习之中。

　　一、对高中运算主线的认识

　　高中运算是数学能力的一个重要体现，高中数学课程标准对高中数学运算部分的内容做出明确的要求。从必修模块的集合、基本初等函数、三角函数等，到选修模块里的向量、解析几何与导数的有机结合，对运算能力的要求越来越高，尤其是运算在几何问题里的应用越来越多。在以后的进一步学习中，还会涉及到矩阵、线性变换等运算，所以高中运算的学习为今后进一步学习其他数学运算、体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。

　　二、高中运算内容的分析

　　高中运算的主要内容，除了使用初中的多项式运算和数的运算之外，我们又引入了一些新的运算对象。以下将从知识结构、内容设计、运算核心、初高中运算知识比较等角度进行分析。

　　（一）高中运算主线结构图

　　（二）高中运算内容的设计

　　在高中数学课程中，运算的内容主要安排在以下位置：必修模块一中基本初等函数；必修四中的三角函数与三角恒等变换运算；必修二模块中空间几何的体积面积、直线与圆的方程；必修模块五中解三角形、数列与不等式；必修4和选修2-1中安排了平面向量、空间向量与立体几何；选修2-1中还安排了圆锥曲线与方程；在选修1-2和选修2-2中安排了数系扩充与复数的运算；在选修1、选修2中安排了导数的运算。

　　（三）运算主线的核心内容分析

　　从高中数学的教学内容中来看，运算是一个很重要的核心问题。从人教版高中数学必修和选修模块梳理出运算主线的核心，主要包括以下几个方面。

　　1.函数运算。高中的函数运算主要是函数的单调性、待定系数法、求函数的解析式、求函数的定义域、值域、最值等问题。这些问题需要利用等价变形、因式分解、消元的思想、配方法和整体代换的思想等。

　　2.数列运算。方程思想贯穿着数列这一整块内容。等差、等比数列的通项公式和求和公式中的一个变量都是一个方程。在等比数列当中常利用整体的思想、平方差公式和立方差公式，将高次方程转化成低次方程，求数列最值的问题同样要用到了配方法和基本不等式的性质。

　　3.不等式部分。在数或式的等比、等差比较中，需要进行等价变形，其中就涉及到用因式分解和配方来确定符号问题。在二次不等式的求解中，尤其是含参数的求定义域等，还要求对这个参数进行讨论，即分类讨论的思想。

　　4.三角函数与三角恒等式。高中学习六个一般角的三角函数，主要是求值问题以及三角函数的周期、振幅、频率等，还有三角恒等式的证明和应用问题。这里同样要利用到整体思想、等价变换和化归的思想，还有数形结合的思想。

　　5.立体几何与解析几何。空间几何部分主要涉及到计算空间几何体的面积和体积的问题，要把立体几何图形转化成平面几何图形，利用直角三角形的勾股定理来构造方程，进而来求解。

　　6. 向量运算。涉及到平面和空间向量的加法、数乘、点乘等，向量提供了丰富的运算内涵，如平行、垂直、夹角、距离等，都可以通过运算得到相应的解释。

　　从数的运算到向量的运算，是学生数学学习的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。

　　三、初、高中运算主线比较分析

　　处理好高中的运算主线的教学，需了解初中课标对运算的要求和内容的安排情况。从人教版初中新教材和高中教材在运算内容方面进行比较，主要有以下一些不同。

　　1.数与式的运算。初中的数与式的运算主要有有理数、绝对值、乘法公式、因式分解、二式根式的运算。

　　其中有理数混合运算以三步为主：绝对值强调借助数轴理解其意义，乘法公式只有平方差、完全平方公式，因式分解只要求掌握提公因式和公式法。对于二次根式则要求学生会对被开方数进行化简和计算。高中的有理数运算一般都是三步以上，多项式重点在二项式定理的运算，绝对值里含有字母，常要分类讨论。高中增加了立方和与立方差的公式，因式分解方法则提升到十字相乘法和分组分解法。高中的二式根式的被开方数常含字母，需要讨论。

　　2.方程与不等式。初中只要求学生认识方程、解方程和方程的实际应用问题，三元一次方程则只作为需了解的知识，方程的系数不含字母。高中里对方程的要求更高，比如方程里含字母系数的方程要进行讨论、根与系数的关系、解三元一次方程组、无理方程、二元二次方程组等在高中都有涉及到。高中的一元二次不等式要求结合图形和分类讨论进行求解。

　　3.函数运算。初中涉及一次函数、反比例函数、二次函数这三类，要求会用待定系数法求函数的解析式，主要是通过转化成二元一次方程组进行求解。高中的函数还设计到求函数的定义域、值域、最值等问题，所用到的方法有配方法、换元法、因式分解法化简等。

　　4.三角函数运算。三角函数，初中是在直角三角形中定义了三个锐角的三角函数（正弦、余弦、正切），而高中是在单位圆中定义了六个任意角的三角函数，还涉及到重要的三角公式以及三角恒等式的证明和应用方面的知识，是高中运算的一个重要内容。

　　5.高中新的运算载体。高中新学的运算有指数函数、对数函数、数列、向量、导数、解析几何与立体几何等。

　　四、运算在教学中的建议

　　综合上面的高中运算主线的分析，高中数学教师在教学中要针对运算内容的特点和课标要求，合理补充相应的知识和思想方法，才能有效提高学生的运算能力。

　　1.注重强化重点内容和重要的数学思想方法。高中运算里涉及到解方程、配方法、因式分解、不等式、方程的思想、消元思想、化归与转化思想、整体思想、代换思想、分类讨论思想等重要的知识和思想方法，在教学中要强化这些内容。如待定系数法求函数解析式、列方程、解方程组等问题，如何把三元转化成二元，再进行消元思想把二成转化成一元，这要强化学生对消元思想的理解；在数列部分，为学生强调整体代换的思想；在空间几何部分，继续让学生感觉到方程、方程的思想和解方程的能力在高中数学中占有重要的地位。另外，立方和、立方差公式，再比如因式分解中十字相乘法和分组分解法等，这部分内容要有意识地突出和强化。

　　2.强化变式训练，做到量变到质变的提升。对于运算，需要做一定量的练习这是不争的事实，同时需要做变式训练。在变式训练中，让学生抓住根本的东西，通过变式强化问题的本质，特别是对一些基本运算的难点要把握，有针对性的变式训练可以做到这一点。

　　3.注意运算算理的正确引导。在运算教学中，讲请运算的算理十分重要，在掌握一个新的运算法则的时候，没有弄清算理很可能一开始就出问题，那么往后运算的正确率很难得到提升。比如说关于符号的运算常常容易出问题。在数学运算里面，减号有两种不同的含义，反映在乘法和减法上，需要转化它的含义。在开始，对它的算理要有一个正确的引导，可以避免因算理不清而出错。

　　4.培养学生良好的学习习惯和提高其自信心。对于运算，只靠大量的强度来做题是不够的，还需要有思维的训练，不能做了一遍又错，做了一遍还错，这样有可能会养成一些很不好的习惯。这里强调运算过程中要养成良好的解题习惯，比如细心、书写各式的规范性、检查的习惯等。另外还要培养学生自信的能力，每一步要做得踏实，开始可以慢一点，要自信，慢慢的自信心就会越来越强。

　　参考文献：
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　　[2]陈小倩。浅谈新课改下高中生数学运算能力的培养[J].学科研究，2012,（4）。
　　[3]谢金芮。初高中数学教材知识结构衔接研究[J].重庆：西南大学，2014.