小学数学思想的种类及其在数学教学中的应用

　　美国2000年公布的《学校数学教育的原则和标准》提出，要“使学生能通过交流、组织和巩固他们的数学思维；分析和评价他人的数学思维和策略等”[1].我国2011年修订的《义务教育数学课程标准》指出，“使学生理解和掌握基本的数学知识和技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验，实现两基到四基的转变”[2].在小学数学教学中渗透数学思想，对小学生学习的深度与教师教学的有效性可以产生很大的影响。

　　一、数学思想的本质

　　数学思想是数学产生和发展过程中必须依赖的思想，同时也是数学学习者必须具备的思维特征。数学思想是学科思想的具体化。所谓学科思想，是指人们对学科事物或学科事物的某些方面与问题的概括性、总结性、综合性认识、看法或见解。是人们对学科事物在感性认识基础上进行分析、概括、抽象、整合和辩证等思维活动的产物。

　　数学思想是人们对数学知识内容和所使用方法的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中提炼出的数学观点。它在认识活动中可以被反复运用，带有普遍的指导意义，是人们学习数学和用数学解决问题的指导思想，是对数学规律的理性认识。数学思想不同于数学知识，是“知识背后的知识”.但其与数学知识之间却有着密切的关系。一方面，学生数学思想的形成离不开数学知识的学习。没有获得一定的数学知识，数学思想的形成就如“无源之水、无本之木”.另一方面，获得了数学知识并不等于形成了数学思想。

　　数学知识学习多少与数学思想形成多少之间不存在正相关。学生数学思想是在数学知识学习过程中形成的，数学知识的学习过程就是数学思想形成的过程。数学知识的逻辑形式主要是指数学思想。它是隐含在数学知识的“符号表征”之中的，反映了人认识数学世界的方式和过程。有了数学思想，数学知识才具有了认知价值；有了数学思想，学习者才能够经由数学知识的符号获取到数学知识丰富的意义；有了数学思想，学习者才能获得数学知识本身具有的促进人的思想、精神和能力发展的力量。

　　二、小学数学思想的种类

　　小学数学教学中应该渗透的基本数学思想主要包括抽象、推理和模型三种思想。

　　1.抽象的思想

　　数学抽象就是从研究的对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，并借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。 抽象的思想在数学学习中几乎无处不在。一个概念的得出、一个计算过程的建立、一个证明技巧的发现等，都要用到抽象的思想。抽象的思想是数学基本思想之一，它可以派生出分类的思想、集合的思想、数形结合的思想、符号表示的思想、对称的思想、对应的思想、有限与无限的思想等。在数学教学中，渗透抽象思想的意义在于，能够让学生亲身经历数学抽象的具体过程，使其接受数学抽象的思维训练，进而提升其数学抽象思维水平。数学抽象根据对象的性质可以分为“表征型抽象”和“原理型抽象”两类。对事物外露的表面特征进行抽象，称为“表征型抽象”.如长方形、正方形、三角形、圆等概念地给出都是“表征型抽象”的结果。对事物内在因果关系和规律性联系进行的抽象，称为“原理型抽象”.如运算律的推导及三角形内角和的发现等都是“原理型抽象”的结果。

　　2.推理的思想

　　推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所依据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为演绎推理和合情推理两种形式。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。

　　演绎推理的常用形式包括三段论、选言推理、假言推理和关系推理等。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有归纳推理和类比推理。推理思想在数学学习中表现得非常广泛，在具体运用中还可以派生出归纳思想、演绎思想、公理化思想、转化思想、类比思想、逐步逼近思想、代换思想和特殊一般思想等。如四则计算法则的总结、加法交换律、加法结合律等运算律的推导是运用不完全归纳思想推理得出的；而小数、分数的运算法则、顺序是由整数的运算法则、顺序类比推理得到的；三角形、梯形的面积公式推导是用转化思想推理而出的。

　　3.模型的思想

　　数学模型是对某种事物系统的特征或数量依存关系概括或近似表述的数学结构。数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析、综合、概括等思维过程，把生活中的实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。从本质上说，数学就是在不断地抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。一切数学概念、各种数学公式、方程以及由系列公式构成的算法系统等都可以称为数学模型。数学建模的思想派生出简化的思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想和抽样统计的思想等。建立模型思想是数学学习的必然结果。严格地说，数学学习只有深入到“建立模型”的意义上，才称得上是一种有意义学习。如自然数“1”就是反应“1个苹果”“1个人”“1件衣服”1件事情“等具体事物共性的数学模型；”部分数+部分数=总数“这个数量关系就是反应”红花有3朵，黄花有5朵，一共有几朵“”白兔有2只，黑兔有4只，一共有几只“等实际问题的模型；正、反比例就是刻画现实世界中数量变化规律的数学模型。学生形成了数学思想，既有利于理解与记忆数学知识，又有利于进行数学知识迁移。

　　三、小学数学教学中渗透数学思想的策略

　　1.在知识的形成过程中领悟数学思想

　　”数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识在更高层次上的抽象与概括“.数学知识的发生、发展过程实际上也是数学思想方法的发生和凸显的过程。正是数学知识与数学思想方法的这种辩证统一性，决定了数学思想的教学必须依附于数学知识的教学。

　　（1）理清数学思想在教学中渗透的脉络

　　小学数学教材中数学思想往往以隐蔽的形式存在，需要教师按照知识-方法-思想的顺序，认真分析教材，理清教材中思想方法渗透的体系和脉络，有目的、有梯度地渗透数学思想。如一年级认数的教学中，除了教材上呈现的例子以外，教师可以通过一些直观的几何图引导学生用数字造句，及时渗透一些数形结合的思想。如”一个圆有1个圆心“”一条线段有2个端点“”三角形有3条边、3个顶点“”正方形有4条边、4个顶点“等。这样，学生在启蒙阶段就对数形结合有一定的感性认识，数学思想可以得到初步的孕育。

　　（2）挖掘数学内容中蕴含的数学思想数学思想是前人探索数学真理过程的经验积累，而数学教材并不一定是探索过程的真实记录。恰恰相反，人们对教材完美演绎形式的追求往往会掩盖教材内在的数学思想。因此我们还要深入分析教材，挖掘教材内在的思想。如初学乘法时，包含着重要数学思想的九九口诀表总是要背的，但绝不能简单地死记硬背。如四七二十八的下一句是五七三十五，如果背了上句忘了下句，或者知道下句不知道上句时，可以想想28+7=35或35-7=28.这种用加法帮助乘法、理解帮助记忆的方法，实质上包含了变量和函数的思想：4变成5,对应的就由28变成了35.这里不是把4和5看成孤立的两个数，而是看成一个变量先后取到的两个值。深入思考九九口诀表里的规律，不仅把枯燥的死记硬背变成了有趣的思考，还会在这样的思考中使学生初步体会变量和函数的思想。

　　2.在问题解决过程中运用数学思想

    问题解决是以思考为内涵、以问题目标为定向的心理活动，是在新的情景下通过思考去实现学习目标的活动。”思考活动“和”探索过程“是问题解决的内核。无论是数学概念的概括与形成，还是公式、法则、定理的发现与推导，教师都应通过创设问题情境，激发学生探索问题的需要，通过观察、实验、分析、综合、归纳、概括等过程，使学生在获得对问题的认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识和感悟[3].

　　（1）丰厚探索问题的过程

　　在教学中，教师可以让学生经历”读-理解“”疑-提问“”做-解决问题“”说-表达交流“的过程。学生经历的过程越丰厚，感悟的思想就越深刻。如教学”乘法分配律“时，教师可以通过以下四个层次来引领学生感悟：第一层次初步感悟，出示两个用两种方法解决的实际问题，得到两个等式；第二层次再次感悟，比较两组算式的计算过程难易；第三层次深入感悟，让学生自己写出类似的等式，并找出反例；第四层次总结归纳，深入比较分析这些等式，归纳出乘法分配律。如此，学生就经历了一个简约事理、去粗求精、凸显本质、数学归纳、生成模型的探索过程。

　　（2）创设亲身实践的活动

　　学生在亲身解决问题的时候，其大脑会进行迅速的思考，联想曾经习得的数学思想，并运用这种思想去尝试解决问题。在这样的思考和运用中，他们数学思想就会得到进一步的内化和提升。如学完”长方体、正方体的体积“后，可以让学生动手求一个土豆的体积。这时，学生用长方体、正方体的体积是不能直接求出的。怎么办呢？学生经过思考会得出”是否可以将这种不规则物体体积转化成已学过的长方体、正方体等规则物体的体积来算呢？“的想法，此时，转化的思想就成了解决这道问题的关键。

　　3.在反思与小结过程中提炼数学思想

　　反思与小结是对知识进行深化、精炼和概括的过程，能够帮助学生揭示知识之间的内在联系，归纳提炼出知识中蕴含的数学思想方法。

　　（1）在一节数学课结束后，教师要及时引领学生进行反思小结

　　一堂高质量的数学课，不是单看学生会解了几道题，还要看学生在整节课教学中对知识发生、发展过程中体现出的数学思想的认识程度。对在一节课中所涉及的数学思想进行总结梳理，是深化学生思维认知的重要内容。当学生能用自己的语言表达对问题的理解时，他们对数学思想也就有了一定的认识。如在进行”一条裤子28元，上衣的价钱是裤子的3倍，买一套衣服要多少元？“这类实际问题的课堂总结时，除了总结分析数量关系的方法，还可以这样提问：”解决这类实际问题时，我们借助了什么？通过画线段图你觉得对解题有什么帮助？“通过这样的提问，使学生的思维关注点不再仅仅停留在分析题目本身上，而且着眼于解决问题的策略上。如此，数形结合的数学思想就会进一步被学生所关注并不断内化。

　　（2）在一个单元结束后，教师更要及时引领学生进行反思概括

　　学生学完一个单元的内容后，教师既要在知识体系的层面帮助学生进行归纳和梳理，还要从数学思想的角度帮助学生进行提炼与概括，使学生在整体上对该单元的教学内容有一个清晰、全面的认识。如进行四年级平面图形面积内容的复习，除了知识层面外，还可以这样提问：”推导这些面积公式时，都是把它转化成了怎样的图形？转化时，一般有哪些方法？今后再碰到其他的图形面积题时，我们可以怎样想？“通过反思，学生对把”高维“转化为”低维“、把”一般形体“转化为”特殊形体“的转化思想会有比较理性的认识。

　　参考文献：

　　[1]全美数学教师理事会。美国学校数学教育的原则和标准[M]. 蔡金法，译。北京：人民教育出版社，2004:58.

　　[2]中华人民共和国教育部。义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011:3.

　　[3]熊华。加强数学思想渗透，发展数学思维能力[J].课程·教材·教法，2011（9）：61-66.