摘 要：教学实践表明，课堂教学的有效性离不开教师的引导，教师引导的有效性决定于教师的专业水平。根据初中数学概念教学的地位和特点，结合 PCK 内涵的四个组成部分进行数学概念的 PCK 内涵解析，能帮助教师深刻理解概念本质、认识概念教学的学科教育价值，能够理解学生的经验与困难，可以进一步阐释概念的本质属性，发展学生的数学素养，设计恰当的教学策略，可以提升概念教学的有效性。
关键词：初中数学概念教学；PCK 内涵解析；数学概念 PCK 内涵。
一、初中数学概念教学的意义及一般方法。
（一）初中数学概念教学的意义。
概念是事物本质属性在人脑中的反映，是思维的基本形式之一，是进行判断和推理的基础。数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，是形成数学知识体系的基础，是数学思想方法的重要载体。而数学概念教学的意义不仅在于让学生掌握数学概念本身，更重要的是在获得概念本质属性的过程中，通过观察、比较、分析、归纳、抽象、概括等数学活动，发展学生的推理能力、抽象思维，体会数学的思想方法，促进学生的数学学科素养的发展。因此，数学概念的教学对数学学科和学生发展都有重要的意义。
（二）初中数学概念教学的一般方法。
在初中数学课程中，概念众多，南京师范学院的章飞教授就概念教学实施的角度，将概念分成 3 类（对象性概念、度量性概念、观念性概念），其中的对象性概念是教学的重点之一。对象即数学的研究对象，如各种数、各种式、各种图形的概念。概念教学的过程一般要经历：一是概念的引入（揭示研究的必要性）；二是概念的获得（揭示概念本质属性的过程）；三是概念的巩固与运用（了解概念的运用，在运用中进一步理解、巩固概念）三个过程。其中概念的获得最重要，它主要有两种基本形式---概念的同化和概念的形成（具体见图 1、图 2）。
从图中可以看出，“概念的同化”是直接明晰概念，通过教师的讲解、解释，学生逐步明确概念的内涵；通过运用变式的材料和例证，学生明确概念的外延。“概念的形成”是经历对具体特殊实例的特征的归纳、类比，检验后明确概念的本质属性；给出定义并用常用的形式符号表示概念。这就要求学生经历一个对概念本质属性的抽象过程，在此过程中发展学生的抽象思维、推理能力、符号意识、模型思想等，并使学生逐步形成数学的学科观念。
可见，不管采用哪种方式，教师都必须准确、深刻地理解概念的本质属性，了解概念的内涵外延，有清晰、完整的概念结构体系。同时，要了解不同概念适用哪种概念获得的方式。这就依靠教师对概念本身的理解，并设计出有效的概念教学策略。如果教师对概念本质属性的理解有偏差，对概念体系的认识不完整，对概念承载的数学教育价值不明确，那么，不论采取了怎样的课堂模式和教学策略，都不能够达成概念教学应有的目标，也就不能体现概念教学的意义。
二、进行初中数学概念 PCK 内涵解析的作用。
（一）运用 PCK 内涵解析进行概念教学可以进一步阐释概念的本质属性。
经过十多年的新课程改革实验，《义务教育数学课程标准（2011 年版）》倡导的教学理念已经逐步转化为教学行为，在概念教学中，教师一般都能让学生经历概念形成的过程，很少出现“一个定义、几项注意”的概念教学方式。但是，在“引导学生探究概念本质属性”的过程中，却屡屡出现对本质属性理解不准确的问题。尤其是，初中数学教材中很多概念的定义是用“形式化定义”或“发生式定义”方式给出的，其定义并没有揭示了概念的本质属性。在这些概念的教学中，教师就更容易出现将“形式化定义”作为概念本质属性的现象，在课堂上反复进行针对定义的辨析，而忽略引导学生体会概念所蕴含的丰富的问题情境、思想方法，使概念教学缺少了应有的教育价值。这样，既不能使学生深刻理解概念，也不能通过概念教学的过程发展学生的数学能力。例如，在“方程概念”的教学中，有些教师认为“方程”概念的本质属性是“含有未知数的等式”,由此可见，在课堂上让学生大量进行“判定下列各式是不是方程”的训练，使方程概念的教学成为辨析形式化定义的刻板过程，不能体现方程概念的教育价值。其实“方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”,其本质是：建立已知、未知之间的联系，并借助已知求量求出未知量，继而解决问题“.在方程概念的学习中，学生应经历”用方程刻画不同情境中的等量关系的过程“,抽象出”本质属性“,并体会”方程是刻画现实世界数量关系的重要模型“这一思想，以发展学生的抽象思维和模型思想，体现数学学科概念教学的价值。
（二）进行初中数学概念 PCK 内涵解析可以有效发展学生的数学素养。
正确理解概念的本质特征是教师进行数学概念教学的必要前提，是通过概念教学发展学生学科素养、体现概念教育价值的保证。那么，在概念教学中怎样才能避免出现以上问题，从而体现概念教学的价值呢？
如二次函数概念的学习，有利于发展学生”数学抽象“的核心素养，发展符号意识。抽象是数学最本质的特征之一，也是数学最基本的思想之一。在二次函数概念教学时，学生将经历从丰富的实际问题中建立出函数关系式，然后分析所得到的函数关系的特点，抽象出共性特征，从而建立二次函数的概念。在这个过程中，学生最主要的思维活动就是”抽象“,因此，合理设计二次函数概念的教学将有利于发展学生”数学抽象“的核心素养，同时在建立二次函数一般形式的过程中发展学生的符号意识。
再如，二次函数概念的教学，有利于发展学生”数学建模“的核心素养，体会数学应用的广泛性。二次函数在军事、体育、物理、心理、建筑等现实世界中都有广泛应用，是一种重要的”数学模型“.在二次函数概念的学习中，学生需要分析不同情境中变量关系与变化规律，建立变量之间的函数关系式，这个过程就是”建模“.
二次函数概念教学这一重要概念的教育价值还体现在”过程与方法“层面。对于学生而言，获得二次函数概念的过程是”从特殊到一般再到特殊“的认识事物的过程，而二次函数所刻画的问题的复杂性，更实现了学生研究函数问题经验与方法的进一步的积累与提升。
由引可见，对一个概念的”PCK 内涵“作透彻解析，可以帮助教师深入理解所教概念的本质，了解这一概念与其他内容的联系，获得概念教学目标中的知识技能目标。能够帮助教师理解数学内容蕴含的数学思想方法、使学生在学习该知识的过程中能够发展其数学素养、形成学科观念。
