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《周易》与中国传统数学关系的解析

来源:学术堂 作者:韩老师
发布于:2014-10-15 共7042字
论文摘要

  在中国传统文化中,有“《周易》是史”的重要观点。对《周易》的研究,目前学界主要集中在对其哲理的研究,而较少涉及对其数理的研究。本文试图通过对《周易》与中国传统数学关系的解析,阐明《周易》所蕴含的数学思想对传承中国传统文化的积极意义。

  一、从“《周易》是史”的观点解析《周易》

  在中国传统文化中,有“《周易》是史”的重要观点,认为《周易》经、传乃至卦、爻符号,都是一种历史记录,包含历史记叙或历史意义。《淮南子》就持《易》为上古史的看法。四部分类法始于晋代,它打破了原先史书隶属于经的观念; 隋代王通提出了“三经( 《书》《诗》《春秋》) 皆史”之说; 到了宋代,程颐提出了“九经( 其中有《周易》) 皆史”之说,南宋李光《读易详说》、杨万里《诚斋易传》

  也提出以史证易; 元、明两代,有“五经皆史”和“六经皆史”之说,从王阳明开始,则明言《易经》是史; 清代章学诚提出“六经皆史”的理论。他在《文史通义》( 1832) 中开宗明义地指出: “《六经》皆史也。古人不着书,古人未尝离事而言理,《六经》皆先王之政典也。”

  章学诚“六经皆史”的真正含义是建立在他对经这一本义理解的基础之上: “《易》曰: ‘上古结绳而治,后世圣人易之以书契,百官以治,万民以察’。夫为治为察,所以宣幽隐而达形名,布政教而齐法度也,未有以文字为一家私言者也。《易》曰: ‘云雷屯,君子以经纶’。经论之言纲纪世宙之谓也。……六经初不为尊称,义取经纶为世法耳,六艺皆周公之政典,故立为经。”

  章学诚所理解的经之本义,既不同于后人所说的诗、书、礼、易、乐、春秋这传统的六经,也不同于以文字为一家私言的经书,而是指以“治”为核心的“经纶”。也就是说,《六经》并非古代圣人立言垂教后世的空言,而是当时统治者治理国家大事以及所制定的各种典章制度的记录。

  经的本义是指织布的纵线,与“纬”相对,东汉许慎《说文解字·系部》曰: “经,织也。从糸,巠声。”清段玉裁注曰: “织之纵丝谓之经。必先有经,而后有纬,是故三纲、五常、六艺谓之天地之常经。”最早的“经”字写作“巠”,见于周代青铜铭文。大盂鼎、毛公鼎、晋姜鼎均有“巠”字; 虢季子白盘、齐陈曼簠、叔夷钟均有“经”字。西周早期器大盂鼎有“敬雍德巠”,晚期器毛公鼎有“肇巠先王令”,东周器晋姜鼎有“巠雍明德”。在郭沫若看来,“经”的初字应为“巠”,所以“经”应是后起字。

  他认为: “大盂鼎‘敬雍德巠’,毛公鼎‘肇巠先王令’,均因乃用巠为经。余意盖经之初字也。观其字形,前鼎作巠,后鼎作巠,均像织机之纵线形。从系作之经,字之稍后起者也。《说文》分巠、经为二字,以巠属于川部,云‘巠水脉也,从川在一下,一地也,壬省声,一曰水冥巠也’。说殊迂阔。”

  可以认为,“巠”“经”应该是同一个字。“巠”是早期的字,“经”则是中后期的字。《毛公鼎》的“肇巠先王令”和《大盂鼎》的“敬雍德巠”,这两处的“巠”都是指先人事而存在的纲纪的经纶,与章学诚所说的经的本义是完全相同的。在此基础上,章学诚才提出了“六经皆史”的论断。他反复强调,《六经》之所以是史,就是因为“《六经》皆先王得位行道,经纬世宙之迹,而非托于空言”,由此出发我们可以说“六经”皆史、“六经皆先王之政典”。章学诚还进一步指出: 古代根本就“无经史之别,六艺皆掌之史官”,而且《六经》是“先王之政典”的记录之所以得到重视,只是因为“以其即三代之史耳”。

  在这里,章学诚揭示了《六经》的根本性质,实际上是属于经世致用的史籍。

  《易教》篇所说的“《易》以天道而切人事”说明了天道而为人事的全部过程,《周易·系辞》又曰: “古者包犠氏之王天下也,仰则观象于天,俯则观法于地。观鸟兽之纹,与地之宜。近取诸身远取诸物。于是始作八卦,以通神明之德,以类万物之情。”

  至此,可以说《周易》属于章学诚所说的六经之一道理充足。《文史通义·内篇·易教》对《周易》进行了详细的论述,虽然其原意是旨在通过对《周易》的考证来厘清器与道的关系问题,但我们也可以由此推之,《周易》显然是可以被当做史料加以对待的。章学诚意在通过《易》是先王之圣典也———六经先王之圣典也———六经皆史这样的思想脉络,理出文献的通事理关系。其“六经皆史”的史学观,旨在打通经、史、文之间的隔膜。可见,《易》经是史的观点顺理成章。

  章太炎也曾认为,易经前十二卦讲述的是人类文化发展的历史,“《易经》也是史。”而仔细考察《易经》,则可以认为它是一部殷周奴婢的起义史。同时,它也是古代人们了解天、地、风、火等自然现象及规律之史。可以说,《周易》是和《左传》《史记》一样的史书,其反映的是我国先民从原始社会到殷周时期的全部史事。“乾、坤两卦是绪论,既济、未济两卦是余论,自屯卦至离卦为草昧时代至殷末之史,自咸卦至小过卦为周初文、武、成时代之史。”

  有学者解释《易经》的“九”和“六”的概念,将卦爻辞、卦象与先秦古籍互证,将其看做是商周之交 8 年的改朝换代史。而《周易》与其他史籍的不同之处,就在于它以每隔 9 天或 6 天占卜一次的形式来记述商周之交的历史大事,这也很好地解释了《周易》既是一部筮辞编集同时又是一部古史这一特殊文化现象。

  从“《周易》是史”的观点来读《周易》,将此与现代历史发展的情况和时代潮流的大势结合起来看,人们很自然地会把它和科学史结合起来进行研究。人类历史上有古代科学史、近代科学史、现代科学史,既言《周易》是史,那么在中国,这种结合型的研究,不论就其内在或外在来讲,都是应该的和必须的。以下,我们专门谈《周易》与中国传统数学史。

  二、《周易》中彰显着丰富的数学思想和数学方法

  诚然,通过认真研究中国传统数学史,并没有看到从《周易》中直接得到某个数学定律、数学定理或经验公式、数学定论。然而,人们特别是中国历代着名数学家却对《周易》情有独钟。在他们的数学活动及数学成果中,是高眼看待《周易》的。

  通常认为: 中国传统数学体系确立的标志是《九章算术》( 约公元 1 世纪) 的出现; 中国传统数学理论体系确立的标志是“《九章算术》刘徽注”( 公元 263 年) 的出现。刘徽注《九章算术》时,开头有个重要的“序”,这个序的首句是: “昔在包牺氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之术,以合六爻之变。”

  其中,如包牺氏、八卦、九九之术、六爻等,是紧紧地连着《周易》的。

  中国传统数学“算经十书”( 《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》) 中,最早的一部《周髀算经》说: “数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。”也就是说,数的艺术是从圆形和方形开始的。正多边形的极限,是由圆内接正多边形经过无数次倍边之后才形成的。木匠做工用的曲尺称为矩,也就是方中的直角,方之所以出于矩,是因为非矩不能作。“这里已包含用数的性质来研究形的性质,将数与形紧密结合在一起进行考察的思想。”其中,对九九之术格外重视。“矩出于九九八十一”,中国古人对乘法口诀的简称是“九九”,乘法口诀是从“九九八十一”而起的。中国传统数学思想中所谓“九九”,最早是九九乘法口诀的称谓。《易·本命》中就有“三三九”的口诀。

  又如《周易》四十六卦《易·升》曰: “君子以慎德,积小以成高大。”数学上,积乃众数聚居之称。有面积、体积等之称。乘得之数曰积,如 2×2 =4 称为积。《周易》中的积和数学中的积,思想同归一脉。

  中国传统数学自秦汉确立体系之后,在三国两晋南北朝一直到隋唐得到充实和提高,至宋元达到鼎盛时期,居于世界数学的最高峰。就在鼎盛时期最着名的数学四大家秦( 九韶) 、李( 冶) 、杨( 辉) 、朱( 世杰) 中,也无一不垂青《周易》。如秦九韶创立了具有世界意义的“大衍求一术”( 一次同余组) ,就是把数学方法同演卦结合起来,采用《易·系辞上》中的大衍之数五十,并将其命名为“大衍求一术”。

  此命名说明秦九韶是受了《周易》“蓍卦发微”思想的影响,他认为圣贤已采用大衍之术,“圣有‘大衍’,微寓于易。奇余取策,群数皆捐。衍而究之,探隐知原”,“数与道非二本也”。《周易·系辞》云: “大衍之术五十,其用四十有九。分而为二以象两,挂一以象三,揲之以四以象四时,归奇于仂以象闰,五岁再闰,故再仂而后卦。”也就是说用来演算的蓍草的根数总数为 50,而大衍之术使用的蓍草则为 49 根,这是取“七七四十九”之意。秦九韶用现代数学语言表达“大衍总数术”:x ≡ ri( modi) ,( i = 1,2,3,4)据此可推出,元数: 1,2,3,4; 定数: 1,1,3,4; 衍数: 12,12,4,3; 奇数: 1,1,1,3; 乘率: 1,1,1,3; 用数: 12,12,4,9;各用数和: 12+12+4+9=37可得: 元数: 1,2,3,4; 衍数: 24,12,8,6; 用数: 12,24,4,9“大衍之数五十”即各衍数和: 24+12+8+6=50;“其用四十有九”即各用数和: 12+24+4+9=49。

  由此,秦九韶将“大衍总数术”的算理与《周易》的哲理有机地结合起来( 他的“天意”说法不足取) ,从而圆满地阐释了筮法和“大衍之数五十,其用四十有九”的来由。

  实际上,“蓍卦发微”有着不同凡响的意义。“即使从现代的眼光来看,‘蓍卦发微’也并非毫无意义,它不仅以极简单的数字,给出大衍术计算的一个范例,而且它还给人以这样的启示: 古老的《易经》可能蕴藏着丰富的、朴素的数学思想。”

  杨辉是世界上最早对幻方( magic square) 进行系统研究的人①,他的《续古摘奇算法》( 1275) 中有各种类型的纵横图。我国最早的纵横图,应该属宋代的九宫图,这与易学中的“洛书”“九宫图”紧紧相联。杨辉孜孜不倦地探索纵横图的构成规律,揭示了纵横图的规律性。他认为三阶和四阶纵横图的构成方法是: “易换术曰: 以十六子依次第作四行排列,先以外四角对换……后以内四角对换。”标准纵横图则是从 1 开始,连续 n2个自然数组成 n 阶纵横图。非标准型纵横图是不从 1 开始的以及对角线上的数字和不等于各行数字和的纵横图。杨辉对聚五图、聚六图、聚八图、八图阵、攒九图、连环图等奇异型纵横图也有研究,如他描述连环图是“七十二子总积二千六百二十八,以八子为一队,纵横各二百九十二。多寡相资,邻壁相兼,以九队化一十三队,此见运用之道”。

  这里的道是道家之道,是指规律。图 1 左边为杨辉的聚八图,即每个圆周上八个数的和皆为 100。右边为攒九图,即每条直径上九个数的和皆为 147。杨辉的奇异型纵横图是多样性和对称性的结合,具有其他数学成果所没有的直观美感,这种体现数字内部规律的巧妙排列是具有一种守恒美的。宋代理学家们将纵横图与《周易》中的“河出图,洛出书,圣人则之”联系起来,认为九宫图就是洛书,也就是伏羲画八卦的依据。杨辉的纵横图对后世影响深远,明清时期程大位、方中通、保其寿等的纵横图研究,都是建立在杨辉的研究基础之上的。

  朱世杰在多元高次方程组的解法上创立的“四元术”( 《四元玉鉴》,1303 年) ,“立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上”,也是以“太”居中,用天、地、人、物四元来设未知数的,深深地打着易学的烙印。《周易·说卦》云: “昔者圣人之作《易》也,将以顺性命之理。是以立天之道曰阴与阳,立地之道曰柔与刚,立人之道曰仁与义。兼三才而两之,故《易》六画而成卦。”

  周易的天、地、人三才说对中国传统数学天元术的产生是有影响的,而朱世杰的四元术正是天元术发展的最高峰。朱世杰称一元方程为“一气混元”,二元方程为“两仪化元”,三元方程为“三才运元”,四次方程为“四象会元”。朱世杰创造了以“四元术”求解四元高次方程组的数值解法,由此成功地解决了高次方程组的建立和求解问题,其成就达到了宋元数学的最高水平。《易经》在中国传统数学中的地位,是不能小视的。

  我们的研究并无发现《易经》直接展示出某个数学定律、数学定理或经验公式等数学内容,但它彰显出的数学思想( 和方法) ,却一直在中国传统数学中发挥作用。数学思想( 和方法) 与数学内容本身是相连的,但数学思想和数学内容本身还是有不一样的地方。所谓的数学思想,就是指数学产生和发展的思想依据和思想方法,也包括数学成果中所蕴含的思想精髓。

  在中国传统数学思想发展中的源和流,都深深地打着《周易》的烙印。中国传统数学思想的起源,有学者将之梳理为结绳和书契、规矩和方圆、九九之术、河图洛书、算筹筹算等,其中,《周易》的影响和作用是显而易见的,如河图洛书、九九之术、规矩等都是有力的说明。而在以后的数学思想发展历程中,如上述我们所提到的从刘徽及《九章算术》刘徽注,到秦九韶及《数书九章》的大衍求一术等等,我们可以深刻地体会到《周易》对中国传统数学思想( 和方法) 具有深刻的影响。

  三、传承《周易》中彰显的数学思想

  对中华文化的传承和创新,是时代赋予我们的光荣使命。当今人们在探求《周易》的哲理方面成就斐然,值得肯定。然而探求《周易》的数理,成就则不多。实际上,《周易》中彰显( 或蕴含) 的数学思想( 和方法) ,内容十分丰富。我们以“河图洛书说”为例加以阐述。

  河图洛书是我国古代儒家关于《周易》和《洪范》两书来源的传说。《易·系辞上》曰: “是故天生神物,圣人则之; 天地变化,圣人效之; 天垂象,见吉凶,圣人象之; 河出图,洛出书,圣人则之。”

  《易纬·乾凿度》也云: “太乙取其数以行九宫,四正四维皆合于十五。”郑玄注曰: “春秋纬云: 河以通乾出天苞,洛以流坤吐地符,河龙图发,洛龟书感,《河图》有九篇,《洛书》有六篇也。”实际上,郑玄在这里构造了一个天地生成数图和九宫图。他认为《系辞传》中的“天数五”是指 1、3、5、7、9 这五个奇数,而“地数五”则指的是 2、4、6、8、10 这五个偶数。将这些奇数和偶数“五位相得而各有合”,按方位配合后即可构成“天地生成之数”。

  传说《周易》的来源就是伏羲根据龙马从黄河背负来的“河图”和神龟从洛水背负而来的“洛书”所完成的。“九宫”一词,见于汉徐岳《数术记遗》: “九宫算,五行参数,犹如循环。”“九宫”者,是东汉以前易纬家之说将离、艮、兑、乾、巽、震、坤、坎八卦加中央而合的。九宫实则一个三行纵横图,即世界上最古老的幻方。上文所述杨辉的幻方研究工作,就是起源于对“河图”“洛书”的数字化处理。杨辉所列的 20 个纵横图中,最简单的两个就是河图洛书。杨辉给洛书的口诀是: “九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出。”

  该口诀清楚地阐述了洛书“戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足”的三阶纵横图的构造方法,从而揭开了其神秘的面纱。以下是杨辉总结出的洛书幻方构造图( 图 2) 。

  幻方实际上蕴育了我国组合数学思想,是古代数学智慧的一个标志,是数学文化中的一朵奇葩,对它的研究也算是中算史上的一种骄傲。

  河图洛书是从阴阳、五行、八卦发展而来并将它们内在地包容起来的,河图洛书虽说是传说,但它在中国历史上常年( 多年) 流传下来并被人们作为思想发展影响着社会这是真实的历史现象。

  中国历代哲学家们研究河图洛书的哲理,而历代畴人( 天文、算学家) 则陈述河图洛书的天文、数学之意蕴,故《周易》之数理的意义和作用是回避不了的事实。到了大儒朱熹手中,可以说这个工作有了一个本质性的飞跃和进展。朱熹在他的重要着作《周易本义》之首,就列出河图洛书,以九( 九宫) 为河图,以十( 天地生成数) 为洛书( 其实际起源于道士陈抟) 。这九个易图是: 河图、洛书、伏羲八卦次序、伏羲八卦方位、伏羲六十四卦次序、伏羲六十四卦方位、文王八卦次序、文王八卦方位和卦变图。实际上,朱熹在自然科学上也有许多贡献,其河图洛书说深刻地支配着他的理学自然观。宋代丁易东研究纵横图也受河洛起源的影响,他在《大衍索隐》卷中云: “洛书四十九得大衍五十数图”,卷下亦云: “九宫八卦综成七十二数合洛书图。”明代王文素也认为“数之本原”是河图洛书,他在《通证古今算学宝鉴》( 1524) 卷首就列出了朱熹《周易本义》所载的河图图和洛书图。明代程大位在其珠算名着《算法统宗》( 1592) 卷首中也曾画出龙马负图、河图图和洛书图。他在《算法统宗·后识语》中还强调: “数何肇? 其肇自图、书乎? 伏羲得之以画卦,大禹得之以序畴,列圣得之以开物成务。凡天官、地员、律历、兵赋及纤悉杪忽,莫不有数,则莫不本于《易》《范》。故今推明直指算法,辄揭河图、洛书于首,见数有原本云。”

  因《算法统宗》是本流传极广的珠算着作,河图、洛书为数之本源的思想也日益深入人心。清代《数理精蕴》( 1723) 上编卷一曰: “河出图,洛出书,八卦是生,九畴是序,数学亦于是乎肇焉。”由此可见,在中国传统数学思想中,数之河洛起源说影响不小。而《周易》中就有对河图洛书的记载,其对中国传统数学思想的影响同样值得重视。

  至于数学上河洛起源说的原因,应该是由于人类将认识自然的能力归之于天意。中国古人在数学研究中,发现得到的数学规律( 包括数字规律) 无法在客观世界中找到恰当的、正确的解释( 或模型、原型) 时,他们就将之归于天意。而宋明儒家对此则更感兴趣,正如蔡沈( 朱熹的学生) 所说:“体天地之撰者《易》之象; 纪天地之撰者《范》之数。数者始于一; 象者成于二。一者,奇,二者,偶也。奇者,数之所以行; 偶者,象之所以立。故二而四,四而八,八者,八卦之象也。一而三,三而九,九者九畴之数也。由是,重之八而六十四,六十四而四千九十六而象备也; 九而八十一,八十一而六千五百六十一而数周矣。《易》更四圣而象已着; 《范》锡神禹而数不传。后之作者昧象数之源,窒变通之妙,或即象而为数,或反数而拟象,……牵合附会,自然之数益晦蚀焉。”

  究其原因,宋明理学家们本就认定“理”先天地而存在,而河洛起源说恰恰是对他们理论的有力支持。可以说,数学源于“河图”“洛书”是宋明理学思想在数学中的反映,同时它又是“格物穷理”之学的缩影。

  综上所述,从古人对《周易》河图洛书之哲理和数理结合起来研究的综合考察,我们发现,人们对河图洛书的健康研究,并不是为了搞数字神秘主义,而是以《周易》中所蕴含和体现的数字及数字变化规律,来探索和揭示自然界的奥秘。其研究路径是正确的,应当引起重视,必须深入加以研究。我们明显地感觉到,从朱熹开始,中国传统文化及对传统文化的研究,可以说在这里出现了微妙的转型,必须引起学界的注意和重视。【图略】

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