《周易》与中国传统数学关系的解析

　　在中国传统文化中，有“《周易》是史”的重要观点。对《周易》的研究，目前学界主要集中在对其哲理的研究，而较少涉及对其数理的研究。本文试图通过对《周易》与中国传统数学关系的解析，阐明《周易》所蕴含的数学思想对传承中国传统文化的积极意义。

　　一、从“《周易》是史”的观点解析《周易》

　　在中国传统文化中，有“《周易》是史”的重要观点，认为《周易》经、传乃至卦、爻符号，都是一种历史记录，包含历史记叙或历史意义。《淮南子》就持《易》为上古史的看法。四部分类法始于晋代，它打破了原先史书隶属于经的观念; 隋代王通提出了“三经( 《书》《诗》《春秋》) 皆史”之说; 到了宋代，程颐提出了“九经( 其中有《周易》) 皆史”之说，南宋李光《读易详说》、杨万里《诚斋易传》

　　也提出以史证易; 元、明两代，有“五经皆史”和“六经皆史”之说，从王阳明开始，则明言《易经》是史; 清代章学诚提出“六经皆史”的理论。他在《文史通义》( 1832) 中开宗明义地指出: “《六经》皆史也。古人不着书，古人未尝离事而言理，《六经》皆先王之政典也。”

　　章学诚“六经皆史”的真正含义是建立在他对经这一本义理解的基础之上: “《易》曰: ‘上古结绳而治，后世圣人易之以书契，百官以治，万民以察’。夫为治为察，所以宣幽隐而达形名，布政教而齐法度也，未有以文字为一家私言者也。《易》曰: ‘云雷屯，君子以经纶’。经论之言纲纪世宙之谓也。……六经初不为尊称，义取经纶为世法耳，六艺皆周公之政典，故立为经。”

　　章学诚所理解的经之本义，既不同于后人所说的诗、书、礼、易、乐、春秋这传统的六经，也不同于以文字为一家私言的经书，而是指以“治”为核心的“经纶”。也就是说，《六经》并非古代圣人立言垂教后世的空言，而是当时统治者治理国家大事以及所制定的各种典章制度的记录。

　　经的本义是指织布的纵线，与“纬”相对，东汉许慎《说文解字·系部》曰: “经，织也。从糸，巠声。”清段玉裁注曰: “织之纵丝谓之经。必先有经，而后有纬，是故三纲、五常、六艺谓之天地之常经。”最早的“经”字写作“巠”，见于周代青铜铭文。大盂鼎、毛公鼎、晋姜鼎均有“巠”字; 虢季子白盘、齐陈曼簠、叔夷钟均有“经”字。西周早期器大盂鼎有“敬雍德巠”，晚期器毛公鼎有“肇巠先王令”，东周器晋姜鼎有“巠雍明德”。在郭沫若看来，“经”的初字应为“巠”，所以“经”应是后起字。

　　他认为: “大盂鼎‘敬雍德巠’，毛公鼎‘肇巠先王令’，均因乃用巠为经。余意盖经之初字也。观其字形，前鼎作巠，后鼎作巠，均像织机之纵线形。从系作之经，字之稍后起者也。《说文》分巠、经为二字，以巠属于川部，云‘巠水脉也，从川在一下，一地也，壬省声，一曰水冥巠也’。说殊迂阔。”

　　可以认为，“巠”“经”应该是同一个字。“巠”是早期的字，“经”则是中后期的字。《毛公鼎》的“肇巠先王令”和《大盂鼎》的“敬雍德巠”，这两处的“巠”都是指先人事而存在的纲纪的经纶，与章学诚所说的经的本义是完全相同的。在此基础上，章学诚才提出了“六经皆史”的论断。他反复强调，《六经》之所以是史，就是因为“《六经》皆先王得位行道，经纬世宙之迹，而非托于空言”，由此出发我们可以说“六经”皆史、“六经皆先王之政典”。章学诚还进一步指出: 古代根本就“无经史之别，六艺皆掌之史官”，而且《六经》是“先王之政典”的记录之所以得到重视，只是因为“以其即三代之史耳”。

　　在这里，章学诚揭示了《六经》的根本性质，实际上是属于经世致用的史籍。

　　《易教》篇所说的“《易》以天道而切人事”说明了天道而为人事的全部过程，《周易·系辞》又曰: “古者包犠氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地。观鸟兽之纹，与地之宜。近取诸身远取诸物。于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”

　　至此，可以说《周易》属于章学诚所说的六经之一道理充足。《文史通义·内篇·易教》对《周易》进行了详细的论述，虽然其原意是旨在通过对《周易》的考证来厘清器与道的关系问题，但我们也可以由此推之，《周易》显然是可以被当做史料加以对待的。章学诚意在通过《易》是先王之圣典也———六经先王之圣典也———六经皆史这样的思想脉络，理出文献的通事理关系。其“六经皆史”的史学观，旨在打通经、史、文之间的隔膜。可见，《易》经是史的观点顺理成章。

　　章太炎也曾认为，易经前十二卦讲述的是人类文化发展的历史，“《易经》也是史。”而仔细考察《易经》，则可以认为它是一部殷周奴婢的起义史。同时，它也是古代人们了解天、地、风、火等自然现象及规律之史。可以说，《周易》是和《左传》《史记》一样的史书，其反映的是我国先民从原始社会到殷周时期的全部史事。“乾、坤两卦是绪论，既济、未济两卦是余论，自屯卦至离卦为草昧时代至殷末之史，自咸卦至小过卦为周初文、武、成时代之史。”

　　有学者解释《易经》的“九”和“六”的概念，将卦爻辞、卦象与先秦古籍互证，将其看做是商周之交 8 年的改朝换代史。而《周易》与其他史籍的不同之处，就在于它以每隔 9 天或 6 天占卜一次的形式来记述商周之交的历史大事，这也很好地解释了《周易》既是一部筮辞编集同时又是一部古史这一特殊文化现象。

　　从“《周易》是史”的观点来读《周易》，将此与现代历史发展的情况和时代潮流的大势结合起来看，人们很自然地会把它和科学史结合起来进行研究。人类历史上有古代科学史、近代科学史、现代科学史，既言《周易》是史，那么在中国，这种结合型的研究，不论就其内在或外在来讲，都是应该的和必须的。以下，我们专门谈《周易》与中国传统数学史。

　　二、《周易》中彰显着丰富的数学思想和数学方法

　　诚然，通过认真研究中国传统数学史，并没有看到从《周易》中直接得到某个数学定律、数学定理或经验公式、数学定论。然而，人们特别是中国历代着名数学家却对《周易》情有独钟。在他们的数学活动及数学成果中，是高眼看待《周易》的。

　　通常认为: 中国传统数学体系确立的标志是《九章算术》( 约公元 1 世纪) 的出现; 中国传统数学理论体系确立的标志是“《九章算术》刘徽注”( 公元 263 年) 的出现。刘徽注《九章算术》时，开头有个重要的“序”，这个序的首句是: “昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术，以合六爻之变。”

　　其中，如包牺氏、八卦、九九之术、六爻等，是紧紧地连着《周易》的。

　　中国传统数学“算经十书”( 《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》) 中，最早的一部《周髀算经》说: “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”也就是说，数的艺术是从圆形和方形开始的。正多边形的极限，是由圆内接正多边形经过无数次倍边之后才形成的。木匠做工用的曲尺称为矩，也就是方中的直角，方之所以出于矩，是因为非矩不能作。“这里已包含用数的性质来研究形的性质，将数与形紧密结合在一起进行考察的思想。”其中，对九九之术格外重视。“矩出于九九八十一”，中国古人对乘法口诀的简称是“九九”，乘法口诀是从“九九八十一”而起的。中国传统数学思想中所谓“九九”，最早是九九乘法口诀的称谓。《易·本命》中就有“三三九”的口诀。

　　又如《周易》四十六卦《易·升》曰: “君子以慎德，积小以成高大。”数学上，积乃众数聚居之称。有面积、体积等之称。乘得之数曰积，如 2×2 =4 称为积。《周易》中的积和数学中的积，思想同归一脉。

　　中国传统数学自秦汉确立体系之后，在三国两晋南北朝一直到隋唐得到充实和提高，至宋元达到鼎盛时期，居于世界数学的最高峰。就在鼎盛时期最着名的数学四大家秦( 九韶) 、李( 冶) 、杨( 辉) 、朱( 世杰) 中，也无一不垂青《周易》。如秦九韶创立了具有世界意义的“大衍求一术”( 一次同余组) ，就是把数学方法同演卦结合起来，采用《易·系辞上》中的大衍之数五十，并将其命名为“大衍求一术”。

　　此命名说明秦九韶是受了《周易》“蓍卦发微”思想的影响，他认为圣贤已采用大衍之术，“圣有‘大衍’，微寓于易。奇余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原”，“数与道非二本也”。《周易·系辞》云: “大衍之术五十，其用四十有九。分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时，归奇于仂以象闰，五岁再闰，故再仂而后卦。”也就是说用来演算的蓍草的根数总数为 50，而大衍之术使用的蓍草则为 49 根，这是取“七七四十九”之意。秦九韶用现代数学语言表达“大衍总数术”:x ≡ ri( modi) ，( i = 1，2，3，4)据此可推出，元数: 1，2，3，4; 定数: 1，1，3，4; 衍数: 12，12，4，3; 奇数: 1，1，1，3; 乘率: 1，1，1，3; 用数: 12，12，4，9;各用数和: 12+12+4+9=37可得: 元数: 1，2，3，4; 衍数: 24，12，8，6; 用数: 12，24，4，9“大衍之数五十”即各衍数和: 24+12+8+6=50;“其用四十有九”即各用数和: 12+24+4+9=49。

　　由此，秦九韶将“大衍总数术”的算理与《周易》的哲理有机地结合起来( 他的“天意”说法不足取) ，从而圆满地阐释了筮法和“大衍之数五十，其用四十有九”的来由。

　　实际上，“蓍卦发微”有着不同凡响的意义。“即使从现代的眼光来看，‘蓍卦发微’也并非毫无意义，它不仅以极简单的数字，给出大衍术计算的一个范例，而且它还给人以这样的启示: 古老的《易经》可能蕴藏着丰富的、朴素的数学思想。”

　　杨辉是世界上最早对幻方( magic square) 进行系统研究的人①，他的《续古摘奇算法》( 1275) 中有各种类型的纵横图。我国最早的纵横图，应该属宋代的九宫图，这与易学中的“洛书”“九宫图”紧紧相联。杨辉孜孜不倦地探索纵横图的构成规律，揭示了纵横图的规律性。他认为三阶和四阶纵横图的构成方法是: “易换术曰: 以十六子依次第作四行排列，先以外四角对换……后以内四角对换。”标准纵横图则是从 1 开始，连续 n2个自然数组成 n 阶纵横图。非标准型纵横图是不从 1 开始的以及对角线上的数字和不等于各行数字和的纵横图。杨辉对聚五图、聚六图、聚八图、八图阵、攒九图、连环图等奇异型纵横图也有研究，如他描述连环图是“七十二子总积二千六百二十八，以八子为一队，纵横各二百九十二。多寡相资，邻壁相兼，以九队化一十三队，此见运用之道”。

　　这里的道是道家之道，是指规律。图 1 左边为杨辉的聚八图，即每个圆周上八个数的和皆为 100。右边为攒九图，即每条直径上九个数的和皆为 147。杨辉的奇异型纵横图是多样性和对称性的结合，具有其他数学成果所没有的直观美感，这种体现数字内部规律的巧妙排列是具有一种守恒美的。宋代理学家们将纵横图与《周易》中的“河出图，洛出书，圣人则之”联系起来，认为九宫图就是洛书，也就是伏羲画八卦的依据。杨辉的纵横图对后世影响深远，明清时期程大位、方中通、保其寿等的纵横图研究，都是建立在杨辉的研究基础之上的。

　　朱世杰在多元高次方程组的解法上创立的“四元术”( 《四元玉鉴》，1303 年) ，“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，也是以“太”居中，用天、地、人、物四元来设未知数的，深深地打着易学的烙印。《周易·说卦》云: “昔者圣人之作《易》也，将以顺性命之理。是以立天之道曰阴与阳，立地之道曰柔与刚，立人之道曰仁与义。兼三才而两之，故《易》六画而成卦。”

　　周易的天、地、人三才说对中国传统数学天元术的产生是有影响的，而朱世杰的四元术正是天元术发展的最高峰。朱世杰称一元方程为“一气混元”，二元方程为“两仪化元”，三元方程为“三才运元”，四次方程为“四象会元”。朱世杰创造了以“四元术”求解四元高次方程组的数值解法，由此成功地解决了高次方程组的建立和求解问题，其成就达到了宋元数学的最高水平。《易经》在中国传统数学中的地位，是不能小视的。

　　我们的研究并无发现《易经》直接展示出某个数学定律、数学定理或经验公式等数学内容，但它彰显出的数学思想( 和方法) ，却一直在中国传统数学中发挥作用。数学思想( 和方法) 与数学内容本身是相连的，但数学思想和数学内容本身还是有不一样的地方。所谓的数学思想，就是指数学产生和发展的思想依据和思想方法，也包括数学成果中所蕴含的思想精髓。

　　在中国传统数学思想发展中的源和流，都深深地打着《周易》的烙印。中国传统数学思想的起源，有学者将之梳理为结绳和书契、规矩和方圆、九九之术、河图洛书、算筹筹算等，其中，《周易》的影响和作用是显而易见的，如河图洛书、九九之术、规矩等都是有力的说明。而在以后的数学思想发展历程中，如上述我们所提到的从刘徽及《九章算术》刘徽注，到秦九韶及《数书九章》的大衍求一术等等，我们可以深刻地体会到《周易》对中国传统数学思想( 和方法) 具有深刻的影响。

　　三、传承《周易》中彰显的数学思想

　　对中华文化的传承和创新，是时代赋予我们的光荣使命。当今人们在探求《周易》的哲理方面成就斐然，值得肯定。然而探求《周易》的数理，成就则不多。实际上，《周易》中彰显( 或蕴含) 的数学思想( 和方法) ，内容十分丰富。我们以“河图洛书说”为例加以阐述。

　　河图洛书是我国古代儒家关于《周易》和《洪范》两书来源的传说。《易·系辞上》曰: “是故天生神物，圣人则之; 天地变化，圣人效之; 天垂象，见吉凶，圣人象之; 河出图，洛出书，圣人则之。”

　　《易纬·乾凿度》也云: “太乙取其数以行九宫，四正四维皆合于十五。”郑玄注曰: “春秋纬云: 河以通乾出天苞，洛以流坤吐地符，河龙图发，洛龟书感，《河图》有九篇，《洛书》有六篇也。”实际上，郑玄在这里构造了一个天地生成数图和九宫图。他认为《系辞传》中的“天数五”是指 1、3、5、7、9 这五个奇数，而“地数五”则指的是 2、4、6、8、10 这五个偶数。将这些奇数和偶数“五位相得而各有合”，按方位配合后即可构成“天地生成之数”。

　　传说《周易》的来源就是伏羲根据龙马从黄河背负来的“河图”和神龟从洛水背负而来的“洛书”所完成的。“九宫”一词，见于汉徐岳《数术记遗》: “九宫算，五行参数，犹如循环。”“九宫”者，是东汉以前易纬家之说将离、艮、兑、乾、巽、震、坤、坎八卦加中央而合的。九宫实则一个三行纵横图，即世界上最古老的幻方。上文所述杨辉的幻方研究工作，就是起源于对“河图”“洛书”的数字化处理。杨辉所列的 20 个纵横图中，最简单的两个就是河图洛书。杨辉给洛书的口诀是: “九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”

　　该口诀清楚地阐述了洛书“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”的三阶纵横图的构造方法，从而揭开了其神秘的面纱。以下是杨辉总结出的洛书幻方构造图( 图 2) 。

　　幻方实际上蕴育了我国组合数学思想，是古代数学智慧的一个标志，是数学文化中的一朵奇葩，对它的研究也算是中算史上的一种骄傲。

　　河图洛书是从阴阳、五行、八卦发展而来并将它们内在地包容起来的，河图洛书虽说是传说，但它在中国历史上常年( 多年) 流传下来并被人们作为思想发展影响着社会这是真实的历史现象。

　　中国历代哲学家们研究河图洛书的哲理，而历代畴人( 天文、算学家) 则陈述河图洛书的天文、数学之意蕴，故《周易》之数理的意义和作用是回避不了的事实。到了大儒朱熹手中，可以说这个工作有了一个本质性的飞跃和进展。朱熹在他的重要着作《周易本义》之首，就列出河图洛书，以九( 九宫) 为河图，以十( 天地生成数) 为洛书( 其实际起源于道士陈抟) 。这九个易图是: 河图、洛书、伏羲八卦次序、伏羲八卦方位、伏羲六十四卦次序、伏羲六十四卦方位、文王八卦次序、文王八卦方位和卦变图。实际上，朱熹在自然科学上也有许多贡献，其河图洛书说深刻地支配着他的理学自然观。宋代丁易东研究纵横图也受河洛起源的影响，他在《大衍索隐》卷中云: “洛书四十九得大衍五十数图”，卷下亦云: “九宫八卦综成七十二数合洛书图。”明代王文素也认为“数之本原”是河图洛书，他在《通证古今算学宝鉴》( 1524) 卷首就列出了朱熹《周易本义》所载的河图图和洛书图。明代程大位在其珠算名着《算法统宗》( 1592) 卷首中也曾画出龙马负图、河图图和洛书图。他在《算法统宗·后识语》中还强调: “数何肇? 其肇自图、书乎? 伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物成务。凡天官、地员、律历、兵赋及纤悉杪忽，莫不有数，则莫不本于《易》《范》。故今推明直指算法，辄揭河图、洛书于首，见数有原本云。”

　　因《算法统宗》是本流传极广的珠算着作，河图、洛书为数之本源的思想也日益深入人心。清代《数理精蕴》( 1723) 上编卷一曰: “河出图，洛出书，八卦是生，九畴是序，数学亦于是乎肇焉。”由此可见，在中国传统数学思想中，数之河洛起源说影响不小。而《周易》中就有对河图洛书的记载，其对中国传统数学思想的影响同样值得重视。

　　至于数学上河洛起源说的原因，应该是由于人类将认识自然的能力归之于天意。中国古人在数学研究中，发现得到的数学规律( 包括数字规律) 无法在客观世界中找到恰当的、正确的解释( 或模型、原型) 时，他们就将之归于天意。而宋明儒家对此则更感兴趣，正如蔡沈( 朱熹的学生) 所说:“体天地之撰者《易》之象; 纪天地之撰者《范》之数。数者始于一; 象者成于二。一者，奇，二者，偶也。奇者，数之所以行; 偶者，象之所以立。故二而四，四而八，八者，八卦之象也。一而三，三而九，九者九畴之数也。由是，重之八而六十四，六十四而四千九十六而象备也; 九而八十一，八十一而六千五百六十一而数周矣。《易》更四圣而象已着; 《范》锡神禹而数不传。后之作者昧象数之源，窒变通之妙，或即象而为数，或反数而拟象，……牵合附会，自然之数益晦蚀焉。”

　　究其原因，宋明理学家们本就认定“理”先天地而存在，而河洛起源说恰恰是对他们理论的有力支持。可以说，数学源于“河图”“洛书”是宋明理学思想在数学中的反映，同时它又是“格物穷理”之学的缩影。

　　综上所述，从古人对《周易》河图洛书之哲理和数理结合起来研究的综合考察，我们发现，人们对河图洛书的健康研究，并不是为了搞数字神秘主义，而是以《周易》中所蕴含和体现的数字及数字变化规律，来探索和揭示自然界的奥秘。其研究路径是正确的，应当引起重视，必须深入加以研究。我们明显地感觉到，从朱熹开始，中国传统文化及对传统文化的研究，可以说在这里出现了微妙的转型，必须引起学界的注意和重视。【图略】