罗素悖论提出的背景研究,逻辑学论文

　　1902 年 6 月 16 日，罗素的着作《数学原理》 ( Principles of Mathematics) 发表前夕，他给弗雷格写了一封信，信中写道: “我在读您的着作《算术基础》 ( Grundgesetze derArithmetik) 时发现一个困境……。” 他提到的这个困境可以描述为:设谓词 w 表示: 不能描述自己的谓词。那么 w 能不能描述自己呢? 无论肯定还是否定的回答都会推出反面，因此我们只能说 w 不是一个谓词。

　　罗素从这个困境想到了另一个看似不同但更一般的问题: 由所有不属于自己的集合组成的类也存在同样的困境。因此，由这些不属于自身的集合 ( 每个都是一个总体) 形成的类 ( 总体)是不存在的。这样，我们可以得出结论: 按照这种方式定义形成的类不能作为一个总体。

　　实际上，他们是两个截然不同的问题。第一个问题涉及到谓词，一个不能描述自己的谓词。正如弗雷格在关于概念和对象的理论中描述的那样，他在给罗素的回复中也强调，如果严格区分个体能够满足的谓词和谓词能够满足的 ( 高阶) 谓词的话，那么考虑自己描述自己的谓词是没有意义的。“不能描述自己的谓词”是不存在的，因此，悖论也就不会发生。

　　当时，罗素并没有接受概念需要分类型的想法，而仅仅在《数学原理》的附录 B 中提到这种可能性。对于罗素来说，第一个悖论是最重要的。他只是在考虑其他理论，比如弗雷格的理论时，才在这些理论中描述第二个悖论的相关形式。相反地，弗雷格却立刻意识到第二个悖论揭示出了他的系统中存在的问题。

　　仅仅 6 天之后，6 月 22 日，弗雷格马上给罗素写了回信，信中这样写道:看来一个等式的一般形式不一定总能写成赋值过程的等式①，我提出的基本定律 V② 是错的， § 31 中的解释也不足以保证我给出的符号组合在任何情况下都有意义。

　　罗素的确是在考虑康托定理时想到了这个悖论。在康托定理中，如果万有集存在，那么对于任意一个集合，都不存在它的幂集 ( 所有子集的集合) 到该集合的一一映射。在康托定理的证明中，所有不包含自身的集合构成的悖论集是在万有集的幂集上添加得到的。然而罗素自己并没有意识到康托集合中的这个问题，当他最早在《数学原理》中提到这个悖论时，类被称为 “类概念”，实际上是用来表示类中的元素。类中的元素可以是一个或多个，而恰恰是在只有一个元素的类中，这个元素可以作为这个类的代表。这样，“不能描述自身”这个谓词正好可以用在它自身上，这就导致了矛盾的产生。

　　本文会追溯第二个悖论更早一点的历史，这个悖论是由策梅罗 ( Zermelo) 预言的。E.施罗德 ( Ernst Schrder) 引发了这个问题的讨论，后来弗雷格，胡塞尔都参与了讨论。最终，它出现在策梅罗给弗雷格的信中，同时希尔伯特也得出了他自己的形式。因此，说起这个悖论的历史，远比罗素给弗雷格写信的时间更早。罗素只是对悖论的第一种形式感兴趣，他写信给弗雷格只是为了说明弗雷格的《算术基础》中也有类似的问题。

　　讨论谁先提出悖论的第二形式就像介入了数学家们关于 “首发现”的争论，但它确实引出了逻辑史上的一系列趣事，有些被大家所熟知，但之前并没有被联系起来。其中最有名的 “首发现”声明是策梅罗于1908 年在他的论文《良序可能性的新证明》( “A new proof ofthe possibility of a well-ordering”) 中提出的。当策梅罗提到罗素的《数学原理》中的 “集合论悖论”时，他加了一个脚注 ( 编号 9) :……然而，我已经独立于罗素发现了这个悖论，并于 1903 年之前就与希尔伯特教授等人讨论过。③1903 年希尔伯特在给弗雷格的信中，除了感谢弗雷格提供《算术基础》第二卷中关于罗素悖论的讨论的副本外，希尔伯特还提到他在几年前就听策梅罗提起过这个悖论。这一点恰好印证了策梅罗的声明。实际上，希尔伯特自己也提出过类似的悖论，是关于数的集合到其自身的所有 “自映射”序列所构成的集合。希尔伯特用对角线法证明了不存在这样的 “自映射”④在策梅罗的传记中，艾宾浩斯沿袭了 “哥廷根”的惯例，把这个悖论的发现归功于策梅罗一个人。( 实际上，艾宾浩斯在传记中更倾向于使用 A. 弗莱恩克 ( Abraham Fraenkel) 给出的术语 “策梅罗———罗素悖论”⑤。)“希尔伯特悖论”和 “策梅罗悖论”很相似，同样证明了某种集合不存在。但在 “希尔伯特悖论”构造的集合中，可以给出标准集合论的运算。我们可以根据希尔伯特 1905 年 7 月 10日的讲稿重新构建这个悖论⑥。希尔伯特通过构造数集 M 上的自映射构成的集合到数集 M 的映射，然后使用集合论的两个原理推出了矛盾。第一个集合论的原理允许我们 “把几个甚至无数个集合并成一个集合”，另一个原理认为 “任何情况下，良定义的集合都可以通过自映射运算从良定义集合中生成”。因此，有了集合 M，我们就可以描述出所有从 M 到 M 的映射集合MM。希尔伯特考虑任意多次使用并集运算和自映射生成的集合 U，然后他再次对 U 使用自映射原理得到 F =UU。这样，F 应该是 U 的子集，但运用与证明康托定理类似的对角线法，我们可以得到 F 中一个不属于 U 的元素。但是，希尔伯特的描述并不精确，尤其是他提到 “任意多次”使用两种运算来生成 U。有人猜测 F 是下面无限多个集合的并集构成的:MM，( MM)M，MM∪ ( MM)M，( ( MM)M)M) ，MM∪ ( MM)M∪ ( ( MM)M)M) ，…如果我们任意多次重复这个过程，那么 UU中的任意元素都已经被包含在这个过程中，因此这个过程生成的元素不会多于 U 中的元素。这样我们立刻知道所谓 “任意多次的”运算应该超出所有的序数，对 M 迭代 ω 多次后作并集，在每个序数上都重复这个过程做并或做幂，如此反复。这样看来，“希尔伯特悖论”证明了所有序数的集合是不存在的。据说，希尔伯特怀疑其他描述这个悖论的形式中所用的 “哲学”概念，例如 “所有集合的集合”，或 “所有序数的集合”，因此他愿意使用更一般的数学概念，如映射， “任意多次”运算。按希尔伯特的方式，悖论可以从两个非常简单的运算 ( 函数空间和对已构造出来的事物集合求并集) 得出，所以它不仅仅是集合或类这种概念内部所产生的矛盾。正如策梅罗所说，它是一个理论内部的矛盾，一个真正的悖论 ( antinomy) 。希尔伯特认为悖论是可以通过构建( 可证明的) 一致的公理集合论来避免的。

　　1902 年 4 月 16 日，策梅罗给他以前的老师———E. 胡塞尔 ( Edmund Husserl) 写了封信。信中策梅罗报告了他几年前的一个结果⑦，胡塞尔在信上的批注可以在胡塞尔的档案中找到⑧。这封信源于胡塞尔 1891 年为施罗德的《逻辑代数》 ( Algebra der Logik) 写的书评⑨。施罗德在书中证明了如果包含 “所有可以想到的东西”的万有类存在，那么一定会导致矛盾。( 这样看来，施罗德和康托都是最早发现这个不能扩充的概念的人。)为了在德国的逻辑学家中推广 C. 皮尔士 ( Charles S. Peirce) 的工作以及 “他的学院”瑏瑠施罗德进行了一系列的讲演。在第四次关于类的理论的演讲中，施罗德通过定义 “包含”( Subsumption) 这个概念提出了类之间的代数运算。称一个集合 a 包含于集合 b，用符号表示为 a b，读作 “a 是 b”或 “所有的 a 是 b”，显然这就是我们现在所谓的 “a 是 b 的子集”，表示为 a b。施罗德关于集合运算的内容与布尔提出的 “论域”的概念是相悖的，布尔用 1 表示类代数中的论域 ( 全集) 。下面是弗雷格引用施罗德的论述:

　　就像前面提到的，0 被包含在每个类中，可以从拓扑空间 1 中去掉; ……0 可以满足每个谓词。假设用 a 表示一个类，类中元素是等价于1 的拓扑空间类 ( 只要我们把所有能想到的都放入拓扑空间中 1 中，这显然是允许的) ，那么，a 中显然只包含一个拓扑空间类，即符号 1 自身，或者说是整个拓扑空间。除此之外，这个类还包含 “什么也没有”，即 0。因此，0 和 1 是等价于 1 的类，进而我们不仅有 1 =1，还有 0 =1。因为在这个例子中，作用于类的谓词是 “恒等于 1”。根据第二条原理，对于作用于类的谓词，这个谓词必须也能作用于类中的每个个体。

　　对于施罗德来说，所有的谓词都是关于 “包含”的论断，谓词 “等于1”，就是其中的一个，我们现在一般写作 “x =1”。如果我们用 0 表示空集，空集包含于任意集合 a 就可以表示为0a，当然也就包含于等于 0 的集合，因此我们就能得到 0 = 1，得出矛盾瑏瑶! 施罗德此处给出的是不存在绝对的万有类 1 的证明。存在不包含于 1 的集合，尤其是空类 0。

　　胡塞尔在书评中认为施罗德混淆了子集 ( 概念 “subordinate class”) 和元素的概念。虽然空类是任何集合的子集，但它不是任何集合的元素。尤其从 “0 是等于 1 的元素组成的集合的子集”并不能推出 “0 等于 1”。而前面的矛盾正是源于 1 是所有集合构成的集合这个假设的。策梅罗后来在给胡塞尔的信中指出: “关于这一点，如果不考虑证明的方法，施罗德是对的……”从原始的德文加比斯伯格速记法中得到的相关论述如下:

　　由自身的子集 m，m‘，……为元素形成的集合 M 是不一致的，即，这样的集合 ( 如果我们非要把它看作集合的话) 会导致矛盾。

　　证明: 我们考虑那些不以自己为元素的子集 m。M 中的元素是 M 自己的子集，那么 M 的子集也会包含子集作为元素，他们自己 ( 不)是元素。现在我们考虑的恰是那些不含有自己的子集 m，但可能包含其他的子集。) 上述所有 m 构成了集合 M0( 即 M 的所有不含自身作为元素的子集形成的集合) ，我们证明 M0具有下面的性质，( 1) M0不是 M0自身的元素。( 2) M0是 M0自身的元素。

　　考虑 ( 1) : M0作为 M 的子集是 M 的元素，但不是 M0的元素。否则，M0就包含一个元素 ( 即 M0本身，也是 M 的子集) ，这个元素以自身为元素。这与 M0的定义矛盾。

　　考虑 ( 2) : 因为由 ( 1) 可知，M0是 M 的子集，且不包含自身作为元素。那么根据 M0的定义，M0是 M0中的元素。

　　这个证明表明任何集合都不可能包含自己的所有子集使之作为元素。一个包含所有东西的万有集当然包含自己的子集，因为它们也是集合。集合 M0中的元素是所有不以自身为元素的万有集的子集，我们简单地用 M0表示由所有不包含自身的集合组成的集合。这样，M0就是罗素集，M0会导致矛盾的证明与罗素给出的是相同的: 如果说 M0是自身的元素则可以推出反面，反之，如果说 M0不属于自己却又推出应该属于。我们的矛盾和罗素信中提到的是一样的，二者都可以通过直接对所有集合构成的集合 ( 在策梅罗的悖论中，集合至少包含它自己的所有子集) 使用康托定理得到。

　　更进一步，那么我们会有罗素悖论吗? 实际上，我们已有的是一个关于集合的定理，定理阐明不存在以自己的子集为元素的集合。然而，早在 1908 年，一篇题为《关于集合论基础的研究》的文章已经把这个结论作为一个定理提出，并给出了以下证明:

　　定理 10. 每个集合 M 至少有一个子集 M0，M0不是 M 的元素。

　　证明: 对于 M 中的每个元素 x，x ∈ x 与否是确定的，因为 x ∈ x 的可能性不需要由公理来判定。根据我们的公理 III ( 策梅罗的分离公理) ，如果 M0包含 M 中所有不满足x ∈ x的元素，那么无论 M0∈M0还是不属于，M0都不可能是 M 的元素。在第一种情况下，M0中应该有一个元素 x = M0，那么就有 x ∈ x，但这与 M0的定义相矛盾。这样 M0自然不是自身的元素，并且如果假设 M0是 M 的元素，那么就有 M0是 M0的元素，这是相互矛盾的。

　　策梅罗对这个证明给出了总结性的批注:

　　从定理中可知，论域 B 中的所有元素 x 不能全部作为一个相同集合的元素，即论域B 本身不是集合。这就是我们所知的罗素悖论的处理方式。因此，策梅罗通过给出定理的方式来讨论罗素悖论。他认为某些群体不是集合，并用反证法给出了证明。1897 年布拉利－福尔蒂 ( Burali-Forti) 在证明序数不能良序时也是采用这样的方法。如果每个集合都能被良序，那么就不存在序数的集合。实际上策梅罗的证明也可以看做是关于 “绝对无穷”的，或者在某种意义上是 “大得”不能成为集合的类的。

　　一个 “所有集合构成的集合”当然包含它自己所有的子集，那么根据策梅罗定理，我们立刻就知道不存在所有集合的集合了。

　　策梅罗认为他已经通过证明这个令人惊讶的集合的 “不存在”从而解决了罗素悖论，悖论是不存在的。但证明不存在满足某种描述的集合不同于证明满足某种描述不能被满足，因此只能说明满足描述的集合是空集。这恰恰证明了一些描述看起来像是集合，但实际不是，因为不存在那样的集合。无限制概括公理的反例正好说明了，的确存在一个谓词，满足这个谓词的元素却不能构成集合。但对于每个 “不存在”定理，并没有像无限制概括公理那样显然的反例。比如一个人认为论断 “不存在集合 y 包含自己所有的子集”是一个谓词，但满足这个谓词的元素不能形成集合。那么根据无限制概括公理得到的反例是:

　　yx ( x ∈ y ≡ . . . x . . . )这个反例描述的是: 存在 y，对于任意 x，x 是 y 的元素当且仅当……。等价条件是什么? 当且仅当 x 是 y 的子集? 这违反了上面提到的概括公理，公理不允许在定义集合元素的公式…x…中出现自由的 y。论断 “满足某个公式的集合是不存在的”是可以用公式描述出来的，但“以自己的所有子集为元素的集合是不存在”这个断言却不可以，但不是所有 “不存在”定理都有反例。因此策梅罗的确曾提出过罗素证明的不过是一个不存在的定理，而不是一个概括原理 ( 从开始就让人难以置信) 的反例。虽然让人吃惊的是，所有集合的集合不存在，包含所有子集为元素的集合也不存在，但我们还不清楚这是否能被称为悖论 ( paradox) 。实际上，策梅罗本人更倾向于使用 “矛盾”( antinomy) 而不是 “悖论” ( paradox) 瑏莹。他认为“paradox”指的是 “……与一般的观点相矛盾的论断; 而不存在像罗素悖论和布拉利－福尔蒂悖论那样内部的矛盾，罗素悖论和布拉利－福尔蒂悖论用 'antinomy’表示”。另一方面，就像策梅罗的用法一样，“antinomy”可以由形式理论推出的，用来证明理论的某个公理是错误的，必须被删除。但这并不意味着这个理论的基础概念或定义是错的，能够推出矛盾。因此，尽管策梅罗实际上已经预见到罗素后来信中提到的数学讨论，但他并不认为这是一个会从多方面影响集合的 “悖论”，包括影响弗雷格。关于施罗德的观点，我们还要多说几句。实际上弗雷格在文章《关于施罗德 “逻辑代数的演讲”中的一些批评观点》( “A critical elucidation of some points in E. Schrder's Vorlesungen über die Algebra der Logik”)中提出了他的看法。他引用了施罗德的观点后继续写道:

　　作者在第 246 页证明了我们可以考虑拓扑空间中除了 1 之外的任意类 b，用上述方法可以得到结论 0 = b。这个矛盾就像晴空霹雳一样，我们怎么能够容忍精确的逻辑中出现这样的东西! 谁能保证在今后的研究中，我们不会突然遇见这样的矛盾? 这种可能性指向了原始理论的错误。施罗德从这个结论中推出最初的拓扑空间 1 必须按照下列方式形成: 在拓扑空间中作为个体的元素不能是包含自身作为元素的类。这个权宜之计似乎使得船免于搁浅，但只有正确的驾驶才能使它安全行驶。现在我们越来越清楚为什么一开始就像预见到紧急的危险一样，把拓扑空间规定为运算的舞台，尽管这从单纯的范畴运算的角度看是没有理由的。接下来，这个领域对我们逻辑行为的限制绝不是优雅的。在其他领域，逻辑可以说具有无限制的有效性，但对于拓扑空间，我们必须小心地检验后，才能在其中使用逻辑。

　　……当施罗德规定最初的拓扑空间中的元素不能是包含以自身作为元素的类时，他显然认为拓扑空间或类中的一个个体和拓扑空间中的一个类是不同的。胡塞尔在给施罗德写的书评中也提到了类似的区分，“包含元素的类”和 “包含子集的类”是不同的，他希望通过这种方法解决问题。

　　策梅罗的定理 10 提到 “每个集合 M 都至少包含一个子集 M0，M0不是 M 的元素”，这有效地证明了，一个给定集合的子集 ( ) 的概念和该集合的子集的元素 ( ∈) 的概念与集合的元素概念是不同的。策梅罗在讨论罗素悖论时提出了关于集合的相当好的定理，同时也证明了施罗德关于集合的概念存在着本质的缺陷。不仅如此，策梅罗为了避免产生悖论而使用自己的集合论公理系统的同时，发现了会导致悖论的集合性质。虽然弗雷格对施罗德的讨论进行了仔细的研究，但他却忽略了与自己的理论相关的结果。由此可见，策梅罗的讨论可以真正地被称作是罗素悖论的 “预言”，而他正是在研究弗雷格批评施罗德的文章时发现的。

　　当然，施罗德得出的矛盾结论 0 =1 是反证法的一部分。施罗德并没有因此认为每个类必须包含一些不是这个类中元素的类，而是认为每个类必须只包含那些本身不含原始类中的元素的类。而这些类恰是原始类中的 “元素”。弗雷格认为这是一个临时的解决方案，它 “使船免于搁浅。”弗雷格把逻辑看做具有 “无限制的有限性”，因此全称量词理所当然可以无限制地用在任何事物之前。

　　A. 丘奇 ( Alonzo Church) 的一篇文章完稿于 1939 年，但直到 1976 年才发表，他在文中把施罗德的论述看做是简单类型论的雏形。如果一个给定集合 a 中的 “元素”可能是其它类 b 中元素的子集，但不是 a 中任何元素的子集，则丘奇认为我们可以认为 a 和 b 属于不同类型，a 的类型高于 b 的类型，因为 a 中的元素都是包含 b 中元素的类。弗雷格则反对这些限制，丘奇认为弗雷格坚持逻辑无限制的法则不过是对他自己观点的重复: 所有的对象的类型都相同，包括弗雷格集 “赋值过程”，都可以出现在全称量词的论域中。

　　弗雷格同样引用了关于施罗德的书评，策梅罗于 1902 年在他的信中对这个书评做了修改。没有证据显示策梅罗之前读过弗雷格的文章。但至少两人都读过胡塞尔的书评，并作出了回应。弗雷格和胡塞尔曾经一致认为施罗德在 “属于”定义中把元素关系等同于子集关系。然而，弗雷格和策梅罗也注意到，论证的关键是为了证明不存在 “万有集”或无限制的 “论域”。实际上，正如丘奇提到的，弗雷格过于重视悖论的类型，即从存在一个所有事物的集合这个前提可以推出的悖论，而这正是弗雷格批评施罗德想要避免的。我们试图猜测策梅罗已经意识到逻辑学家们关于 “论域”的争论，并读到了康托的 “绝对”无穷以及序数集不存在等观点，并把这些事情都清楚地记载了下来。他的对角线法，从数学的角度看与罗素的相同，但比罗素运用到证明中要早。如果把猜测继续下去，当然有人会质疑策梅罗为什么没有把简单类型论作为可替代的方案来解决他发现的集合论 “悖论”。但实际上，策梅罗和罗素似乎是在集合论的不同世界中进行研究，策梅罗沿着哥廷根的康托集合论传统道路行进，而罗素则是对自己早期的观点进行提炼并放弃了早期观点。

　　没有直接的证据显示罗素研读过施罗德的证明，看过施罗德关于所有集合构成的集合会导致悖论的想法或类型理论的雏形。但是罗素的确读过弗雷格 1895 年的论着并做了大量的笔记。正因为有了这样的准备工作，1902 年夏天他为《数学原理》增加了 “附录 A: 弗雷格的逻辑和数学原则”，同样的准备才有了他给弗雷格的信瑐瑶。但是，任何关于这个问题的讨论都没有出现在笔记或最终的附录中。

　　然而，有证据显示罗素关于施罗德理论的大概看法来源于 1913 年与 N. 维纳 ( NorbertWiener) 的交流。1913 年 9 月，年仅 18 岁的维纳去剑桥拜访罗素。他刚在哈佛大学完成了题为《对施罗德、怀特海及罗素处理关系代数的方法比较》( “A comparison between the treatment ofthe algebra of relatives by Schrder and that by Whitehead and Russell”) 的博士论文。I. 格拉坦－吉尼斯 ( Ivor Grattan-Guinness) 找到了几页罗素写的评语及维纳的回答，后面还有两人当年9、10月的一系列讨论。维纳也参加了罗素的演讲，并在家书中提到了他们之间的交流。

　　罗素在 1913 年 10 月 19 日写给 L. 唐纳利 ( Lucy Donnelly) 的信中同样也提到了这些讨论: 9 月底，一个年仅 18 岁的哈佛博士和他父亲一起来拜访我……这个年轻人叫维纳，自认为无所不能，也常被别人夸奖。我们进行了长时间的讨论试图说服对方。维纳带来了博士论文的副本，并和罗素在一系列的会议上进行讨论，会议中间通过信件交流瑐瑧。论文和信件中包含了许多施罗德的逻辑。论文的主题是将施罗德的逻辑与《数学原理》中的作比较，为施罗德逻辑的优点进行辩护。格拉坦－吉尼斯挑选出与这个事件相关的两段话:

　　施罗德和罗素的系统之间的一个重要差别在于: 施罗德系统中的个体对应于罗素系统中个体的单位类。这样，罗素的系统中有个体与类之间的属于关系，而施罗德的系统没有。但这并不要紧，因为施罗德不需要这样的关系，这与帕多阿 ( Padoa) 和罗素的观点相反。帕多阿把元素关系和包含关系合为一个，罗素则认为在皮亚诺和弗雷格之前的所有人都把元素关系认为是包含关系的一种特例。瑐瑨维纳认为施罗德不需要区分元素与子集，但罗素并没有接受这一看法。在罗素的一封回信中，他问道: “你有证据表明施罗德知道彼得与仅以彼得为元素的类的差别吗?”维纳对此强调说施罗德只是 “没有涉及”到这个差别。

　　维纳相信施罗德在万有类的讨论中预言了罗素的类型理论: 拓扑空间中的任意个体都不能由拓扑空间的其他个体形成的集合组成。实际上，个体形成的类属于 “原始”( ursprüngliche) 拓扑空间的第一 “派生” ( abgeleitete) 空间。由个体形成的类作为元素的类属于第二派生拓扑空间，依此类推。这就生成了与罗素定理对应的类型分层。不同的是，罗素可以一次使用多个类型，而施罗德一次只能使用一个类型。( 维纳和丘奇对施罗德的分析是一致的，但比丘奇早了26 年。) 没有记录显示罗素对这部分理论的反应，但有一点是清楚的，罗素读过维纳的观点: 施罗德在论述不存在包含任何东西的万有集的讨论中预言了类型理论。显然罗素并不认为他使用了像康托证明中使用的对角线法就算证明了不存在所有集合的万有集。尽管他从 1908 年起就开始研究并引用策梅罗的论文，并没有任何记录显示其他人预言了悖论。施罗德的逻辑与罗素的完全不同，因此可以理解罗素为什么没有发现施罗德对类型理论的预言了。尽管类型这个概念受弗雷格的 “stufe”或 “概念分层”，“概念的概念”等的启发而产生的，但罗素并没有在《数学原理》的附录 A 中列出它的出处。

　　关于类型理论，罗素的观点与策梅罗相近，都认为是施罗德在对悖论的讨论中最早提出的，但最后并没有完成。罗素的悖论是第一个关于谓词的悖论，他发现谓词的悖论与自已为元素的所有集合构成的集合产生的悖论是相似的。他对第一个悖论的兴趣使他没有注意到第二个悖论。第二个悖论在施罗德的论证中提出，策梅罗证实。弗雷格后来在仔细阅读施罗德的论证时也没发现，他们都在思考其它问题。