微积分的文化驱动教学策略

大学数学微积分论文专业推荐10篇之第四篇：微积分的文化驱动教学策略

　　摘要：在微积分的教学过程中， 应充分发挥数学史的作用。从微积分的发展历史探析具有教育价值的文化要素， 这些要素形成了一个完整的文化系统。在此基础上， 提出了微积分的文化驱动教学策略；根据微积分的基本概念之间的逻辑建构关系， 给出了以极限概念为基础的统一化教学策略；指出思想方法的层次化教学策略；依据知识之间内在的联系， 设计出知识模块的类比教学策略。

　　关键词：微积分； 数学史； 数学文化； 思想方法； 策略；

　　Abstract:

　　In the course of calculus teaching, the role of mathematical history should be fully utilized; the cultural elements with educational value should be explored from the development history of calculus. These elements constitute complete cultural system. According to the logical construction relationship between the basic concepts of calculus, a unified teaching strategy based on the concept of limit is presented; the hierarchical teaching strategy and the analog teaching strategy of knowledge module are designed according to the internal link between knowledge.

　　Keyword:

　　calculus; mathematical history; mathematical culture; ideas and methods; strategy;

　　一、问题的提出

　　教学内容决定教学方法和教学手段， 合理的教学内容和适当的教学方法就能取得良好的教学效果。按照教师专业发展的有关理论， 其专业的内涵包含教会学生学习、育人、服务等三个维度。其中， 教会学生学习的内容是极其丰富的， 主要包括三个层次：一是教师如何教的问题， 即教的策略；二是学生如何学的问题， 即学的策略；三是教授学生学什么的问题， 也可以理解为教的内容问题。因此， 学科的教学策略应成为学科教育或教学改革的一个重要研究课题。

　　17世纪以来， 经由牛顿和莱布尼茨创立的微积分一直是高等院校开设的重要公共基础课程之一。微积分的诞生不仅是近代数学产生的标志， 而且对现代数学的诞生和发展也有着巨大的推动作用， 微积分是人类科学发展史上具有划时代意义的一座里程碑。"微积分这一学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经经历了2 500年之久， 它深深扎根于人类活动的许多领域， 并且只要人们认识自身和认识自然的努力一日不止， 这种奋斗将继续不已。"[1]前言微积分在大学数学教育中的重要地位毋容置疑， 它不仅是数学后继课程诸如概率统计、复变函数等学科的基础， 而且也为相关专业课程的学习提供了重要的计算工具。微积分既是解决变量或总量问题的重要运算工具， 也蕴含着丰富的思想方法， 诸如无限思想、对立统一思想、对应思想以及关系映射反演方法、构造法、类比法等。因此， 无论是教师还是学生， 在研究、讲授、学习和应用微积分等过程中， 应透过这一学科的历史发展， 既要了解历代数学家为创立微积分所付出的艰辛的劳动， 又要接受其中的精神、思想观念的熏陶。但令人遗憾的是， 微积分的教学多流于形式、过于机械， 并没有真正地实现该学科应有的教育目标， 不能发挥其应有的教育功能。主要体现在以下几个方面。

　　第一， 微积分的课程目标有失全面性。即课程目标只是突出强调了学生的认知水平发展， 仅注重知识的传授和基本技能的训练， 忽视了知识创造性过程的"过程性""体验性"目标。

　　第二， 微积分课程内容过于封闭、片面。只注重课程内容的系统性、严谨性， 忽视了微积分所包含的丰富的人文方面内容。

　　第三， 教学方法单一。即以教师的讲授为主， 注重命题的演绎推理， 依靠大量习题的运算演示作为学生算法训练的主要内容；忽略了知识产生的背景， 从而抹去知识的形成过程， 使学生只沉湎于机械训练， 抑制了学生直觉思维与创造力的发展， 使许多学生感受不到微积分的思想性、创造性， 认识不到微积分应有的科学价值和历史意义， 更感觉不到它的文化功能和综合的教育功能。

　　第四， 枯燥的的教学内容和单调的教学方法让学生逐渐失去了学习微积分的兴趣， 这也是学生旷课、逃课的主要原因之一。

　　第五， 微积分的考核评价导向存在明显的不足。基于微积分教学过程中存在的问题， 如何改革传统的教学内容和教学方法， 有效地发挥微积分应有的教育功能， 成为当前急需研究的课题之一。研究者认为， 应充分运用数学教育改革的最新研究成果， 从数学史的角度出发， 结合微积分这门学科的历史演变状况和相关内容的逻辑建构顺序， 深入挖掘体现在微积分创立过程中的文化要素， 并以此为基础， 设计出微积分的教学策略。

　　二、从文化视角透视微积分思想的构成

　　作为数学文化， 国内学者从不同的角度给出了不同的阐释。黄秦安从系统论的观点出发， 指出了数学文化构成成分："从系统的观点看， 数学文化可以表述为以数学科学体系为核心， 艺术、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统。"[2]李铁安从人类思维活动的特点指出数学文化主要包含人类在数学活动中创造的知识所体现出的真、善、美等客观内容和渗透在这一活动中的"信念品质、价值判断、审美追求和思维过程等深层次的思想创造因素"[3];郑强等则借助于具有社会属性的"群体"和"意义网络"两个基本概念指出了数学文化的含义[4];杨叔子通过纯粹数学和应用数学的比较分析， 认为数学既具有科学性、工具性的特点， 又具有理性和人文科学的价值， 数学文化的内涵应包括"知识、思维、方法、原则与精神"等五个方面[5].研究者认为， 以数学文化学为框架去分析微积分， 微积分的思想及其相关内容就构成了一个完整的文化系统， 主要包含以下几个方面的内容。

　　（1） 历史背景微分学、积分学产生的背景：16世纪， 由于航海技术和天文学的发展， 急需解决两类问题， 即变速运动物体的瞬时速度问题和平面图形的面积问题。牛顿和莱布尼茨运用无穷小方法解决了上述问题， 并获得了实践的有力支持。极限理论产生的背景：牛顿在运用无穷小的过程中出现了严重的逻辑矛盾， 由无穷小悖论引发了数学发展史上的第二次数学危机， 成为数学家探索、研究微积分理论逻辑建构基础问题的导火索， 由此拉开了分析严格化的序幕。

　　（2） 基本结构微积分思想的基本结构由基本概念---极限定义、核心概念 （导数定义与积分定义） , 基本方法---"ε-δ"方法， 微分学中的基本原理---微分中值定理、积分学中的积分中值定理和牛顿-莱布尼茨公式等三个层次构成的。

　　（3） 历史及数学意义微积分的诞生为现实世界的各种运动变化和总量问题提供了有效的工具；创立了有关无限问题、动态现象研究的新方法---有限、静态方法。

　　（4） 思想观念微积分的演变是一个漫长而曲折的过程， 从古希腊的阿基米德时代到18世纪分析严格化， 经历了两千多年的时间， 在这两千多年的时间内， 自始至终是由动态与静态、有限与无限以及实无限与潜无限的辩证关系主导着人类思想， 其中的核心思想就是无限思想， 包括实无限及潜无限思想。微积分中的无限思想主要体现在极限概念之中， 因此， 突破极限概念教学难度的关键就是突破对实无限及潜无限思想及其辩证关系理解困难。

　　（5） 演进及认知历程在微积分创立过程中， 既蕴含着思想观念的演变， 也体现着认知思维的发展。无限思想经历着由实无限到潜无限， 再到实无限， 最后到潜无限等阶段；数学家从对一些概念如无穷小不清晰的模糊认识逐渐到对这些概念结构的清晰把握， 最终达到对这些概念的科学精确的表述。数学家的认知思维既包含了归纳思维， 又依赖于抽象思维， 其创造过程既体现出演绎思维， 又蕴含着审美直觉， 等等。

　　（6） 数学家的生平及人格品质微积分从其诞生到理论的完善经历了几百年的时间， 付出了数代数学家的艰辛劳动。数学家那种坚韧不拔、孜孜不倦追求真理的意志力， 深厚的文化底蕴和数学素养， 善于质疑、打破传统观念束缚的批判精神， 敢于创新的勇气等都是激励一代代年轻人努力学习、奋斗拼搏的重要动力源泉之一。

　　三、微积分的教学策略

　　（一） 以数学文化驱动微积分的教学

　　以数学文化驱动微积分教学的一个最大特点就是体现出不同学科的交叉融合， 使微积分的教学内容与数学史、数学哲学等学科相互渗透， 体现出教学内容的综合化、多元化， 从而打破了传统教学内容和教学方法的单一性。多元化的教学内容和教学方法必然体现出多元化的教育功能， 从而实现微积分综合性的教学目标。

　　第一， 微积分是大学生进入高校后学习的第一门大学数学课程。相对于中学数学而言， 研究对象发生了改变， 从学习研究常量的初等数学转化为学习研究变量的高等数学， 并且初等数学中所研究的内容都是直接来源于现实世界中的空间形式和数量关系， 而微积分中则出现了没有任何实际背景的具有思维创造性特点的数学对象， 如极限、连续、一致连续、一致收敛等概念。因此， 在相关内容教学过程中渗透数学哲学的本体论与认识论， 使学生对数学对象的来源有正确的了解， 进而正确认识数学与实践、数学与逻辑之间的关系：社会实践是数学发展的外在动力， 逻辑需求则是数学发展的内在动力， 学习数学的最终目的是应用数学于社会生产实践中。这对学生辩证地认识数学， 进而形成正确的数学观和数学学习观有着积极的意义。

　　第二， 阐述微积分的历史发展， 可以使学生对微积分的形成过程有整体的把握， 了解数学家对某些重大思想或某些重要概念认识上的困惑， 这种困惑实际上就是今天学生在理解上遇到困难的逻辑重演， 对教师的教学就是一种策略性的指南， 对学生则是一种人性化的启迪！刚刚进入大学的新生始终坚持这样的观点， 即逻辑与历史是一致的。但微积分却为此提供了一个与此观点相悖的反例， 即历史与逻辑是不一致的。故在数学文化观念下， 把课堂教学内容与其创造的历史情景相互结合、相互渗透， 就会增加数学知识情景感和历史感， 数学知识就不会单调、枯燥， 而是充满活性和生命力。

　　第三， 在这种文化氛围中传授知识， 更加注重知识的形成过程， 突出学生在课堂教学过程中的主体地位， 使学生主动参与知识的创造过程。数学教育的目的不只是知识的传授、基本技能的训练， 更重要的是创新能力的培养， 创造性人格的形成。创造性理念应该主导着整个数学课堂教学的活动过程， 对学生而言， 创造性的活动就是数学课堂学习的核心。传统的数学课堂教学仅注重知识的选择与组织， 忽视了知识的存在方式。心理学研究表明， 学生学习数学概念的过程往往是一个概念的心理表征过程。从数学抽象的角度看， 应体现出数学概念抽象的层次性， 概念的表述经历了几何直观表述、自然语言表述和形式化语言表述等三个阶段。这就决定了数学知识的存在应具有开放性、对话性， 是一个生态"孕育"的创造性过程， 即再现知识重新发现的过程。在其过程中， 数学知识才能与学习个体的知识、经验、情感、意志、信念等建立起密切联系， 学生在课堂上的被动学习变成积极主动的探究性学习。事实上， 只有在知识的创生活动过程中， 学生才能获得精神上"自由", 也只有在这种"自由"的状态下， 才能突破自我， 出现超乎寻常的新的创造。"自由"应是数学创造的最高境界， 面对新知识的形成、新问题的解决， 让学生自由地充分发挥其想象力， 从多个不同的角度进行观察、分析， 使其脑海中的各种"观念原子"进行自由地组合。在师生的互动、学生的交流与合作过程中出现思维火花的碰撞、思想的交融， 由此导致数学创造过程中灵感或顿悟的产生， 使学生的认知产生飞跃， 对培养学生的直觉思维能力具有重要意义。

　　（二） 基本概念统一化的教学策略

　　如果把微积分看成是一棵大树， 那么微分学与积分学是这棵大树的主干， 而极限理论则是这棵大树的根， 微分学和积分学的几何应用、物理应用， 微分方程以及级数理论又是这棵大树的枝和叶。如果说极限定义是微积分这一大的知识系统中的最基本的概念， 那么导数和定积分的定义则分别是微分学和积分学这两个子系统中最基本的概念， 是这两个子系统相关内容逻辑建构的起点， 即相应理论体系中的性质及运算法则等可以按照演绎结构逻辑地展现出来。心理学家布鲁纳强调了掌握学科的知识结构、领会基本原理和概念是产生学习迁移的充分条件， "无论我们选择什么学科， 务必使学生理解学科的基本结构", "如果了解了知识结构， 这种理解就会使你靠自己的力量前进；你无需为了了解事物的本质而接触每一件事物， 只要理解了这些深刻的原理， 就可以根据需要推出各种细节"[6].奥苏泊尔认为， 要进行有意义的学习， 学习者的知识结构必须具备三个条件： （1） 具有用来同化新知识的原有知识； （2） 已有的知识是按照一定的结构、分层次组织的； （3） 已有的知识是巩固和稳定的。这里就涉及了有意义学习的先决条件之一， 即最先让学生掌握的则是基础性、包摄性和概括性最强的概念。如上所述， 极限思想贯穿于微积分的始终， 导数、微分及积分概念最终都统一于极限这一概念， 因此， 极限概念是微积分中基础性、包摄性和概括性最强的概念。事实上， 导数的定义最终归结为连续函数引入商的结构的极限， 教材中微分的定义通过恒等变形同样可以转化为极限形式， 而积分的定义则利用了整体与局部、连续变量与离散变量之间的对立统一关系， 把总量 （连续性） 问题转化为部分量 （离散型） 问题， 最终化归为离散变量平均值的极限， 因此， 以极限概念为基础的统一化教学策略符合布鲁纳的学科结构学说， 贯穿着有意义学习的基本原理。

　　（三） 思想方法分层的教学策略

　　20世纪80年代末， 我国掀起了数学方法论的研究热潮， 出现了一系列重要的理论研究成果， 包括《数学方法论选讲》《数学教育哲学》《数学文化学》《数学教育：从理论到实践》《问题解决与数学教育》《数学思维与数学方法论》等， 对我国数学教育产生了极其深远的影响。这种影响不仅改变了教师与学生的数学知识观， 也改变了教师的教学理念和学生的学习理念， 如MM教学方式正是数学方法论与数学教育的理论研究与实践相结合的产物。在课堂教学过程中， 数学思想方法已成为课堂教学内容的重要组成部分， 挖掘渗透在微积分中的历史演变以及相关概念形成过程中的思想和方法， 自然就成为高等数学课堂教学不可缺少的一个环节。微积分中的思想方法可分为三个层次， 即普适的哲学思想包括辩证思想， 一般的数学思想和具体的数学方法。首先， 思想方法的分层教学让学生认识到不同层次的思想方法对其认知有不同的作用。其次， 不同的内容融合不同的思想或者方法；同一思想或者方法渗透在不同的概念或者原理之中。通过数学思想方法的分类教学， 可以使学生运用数学思想方法理解数学知识、梳理知识， 揭示知识之间内在的联系， 以思想方法指导数学学习， 从而引起学习的正迁移。例如， 从哲学层面指出整体与局部之间的区别与联系， 运用二者之间的联系既可以从整体了解局部， 也可以从局部把握整体。由此提出是否可以利用体现函数局部性质的导数来研究函数的整体形态呢？由此可以引出起着重要桥梁作用的中值定理， 这也是为什么要引入中值定理以及中值定理为什么重要的一种合理的解释；借助于几何直观， 运用一般化思想， 在罗尔定理的基础上建立拉格朗日中值定理， 再对变形后的微分中值公式一般化， 自然会得出柯西中值定理；最后利用内容与形式之间相互依赖、相互作用的对立统一关系探索上述两个定理的证明思路， 本质上则又一次运用了一般与特殊的转换关系， 化未知为已知， 体现了重要的划归思想。又如， 在极限概念教学过程中， 首先运用观察、归纳法， 抽象概括出极限的描述性定义， 运用数学方法论中的"模式建构形式化原则", 借助于逐步精确化方法， 得到极限的精确化定义；而运用极限概念中渗透的过程与结果的辩证思想能够更深刻地理解极限的保号性原理。没有数学思想方法， 就没有科学的思维活动， 教学活动的设计也就失去了意义。以数学思想方法指导数学教学这一理念在我国数学教育界已达成共识。

　　（四） 内容类比迁移的教学策略

　　类比是数学发现或发明的的重要方法， 许多概念的建立、重大方法的出现甚至新理论或新的数学分支的诞生都离不开类比法。关于类比， 美国数学家、数学教育家G.波利亚把类比定义为"某种类型的相似性""两个系统可做类比， 如果它们各自的部分之间， 在其可以清楚定义的一些关系上一致的话"[7]12.我国学者史久一、朱梧槚在《化归与归纳·类比·联想》中则进一步给出了类比推理的含义："类比推理是根据两个不同的对象， 在某些方面 （如特征、属性、关系） 的类同之处， 猜测这两个对象在其他方面也可能有类似之处， 并作出某种判断的推理方法。"[8]154迁移是学生学习过程中的一种重要的心理现象。类比迁移是心理学界研究、探讨的一个重要课题， 主要包括由Gentner等人提出的结构映射理论、Holyoak和他的研究团队创立的的实用图示理论以及由Ross提出并进一步发展的示例理论。三种不同的理论各自强调了影响类比迁移的不同要素， 未免偏颇。事实上， 影响类比迁移的因素有多种， 在数学教学过程中要正确地运用类比迁移理论， 不仅要注重不同概念、不同原理甚至两个不同理论体系的外部因素的类似性， 还要强调学习者自身的内部因素， 包括学习者的知识结构、认知能力以及对外在要素相似性的感知意识等。特别是对于两个具有间接类比关系的类比系统， 更需要教师对目标系统进行适当的变换和重整化的处理， 才能引导学生产生真正的正迁移。在微积分教学过程中， 既有数与形的类比， 又有特殊的数系运算与一般的集合运算的类比；既有有限与无限的类比， 又有连续与离散的类比；还有从低维到高维的类比等。从一元函数的定积分到二元函数的二重积分再到三重积分， 同样遵循着从特殊到一般的认识规律， 由于定积分解决的曲边梯形的面积与二重积分解决的曲顶柱体的体积可类比， 因此在解决这两个问题的过程中， 自然存在着操作步骤的类似性， 而由定义结构的类似性又可以类比推出二重积分的性质， 进而可推出类似的三重积分的定义和性质。从三重积分的计算公式的推导过程来看， 三重积分的计算公式无疑是受到二重积分的计算公式的直观解释启发而建立起来的， 如穿过积分区域D的内部且与y轴平行的直线与其边界曲线的交点不多于两个， 则可把D投影到x轴上， 得到的x变化范围[a, b].过该区间上的任意一点x, 作平行于y轴的直线， 得到穿入点和穿出点的纵坐标分别为φ1 （x） 和φ2 （x） （积分区域D的上、下两条边界的方程分别为y=φ2 （x） 和y=φ1 （x） ） , 先计算函数f （x, y） 在区间[φ1 （x） , φ2 （x） ]上对y的定积分， 得到一个以x为自变量的一元函数， 再计算这个一元函数在区间[a, b]上对x的定积分， 这样就把二重积分最终转化为先对y后对x的二次定积分。对于空间闭区域Ω， 如果穿过其内部且与z轴平行的直线与其边界曲面的交点不多于两个 （这正是二重积分与三重积分的积分区域在结构上的关键类似点） , 类比二重积分， 可以把空间闭区域Ω投影到xOy面上， 从而得到x, y的积分范围Dxy.在Dxy内任取一点 （x, y） , 过 （x, y） 作z轴的平行线， 得到穿入点和穿出点的竖坐标分别为φ1 （x, y） 和φ2 （x, y） （积分区域Ω的上、下边界曲面的方程分别为z=φ2 （x, y） 和z=φ1 （x, y） ） , 先计算三元函数f （x, y, z） 在区间[φ1 （x, y） , φ2 （x, y） ]上对z的定积分， 得到一个关于x, y的二元函数， 再计算这个二元函数在Dxy上对x, y的二重积分， 再把对x, y的二重积分化为两次定积分， 最终三重积分的计算是通过三次定积分的计算来完成的。在曲线积分与曲面积分相关内容的教学过程中， 应充分利用线、面积分与重积分所解决问题的类似性去建立线、面积分的定义和性质， 并在分析微积分基本公式的特点的基础上， 借助于类比、联想进行合情推理， 揭示二重积分与线积分、三重积分与面积分以及线积分与面积分之间的联系， 从而引出格林公式、高斯公式以及斯托克斯公式成立的条件和结论， 进而再寻找其证明方法的类似性。因此， 重积分、曲线积分以及曲面积分的主要内容包括定义、性质、重要公式应采用类比教学法， 即借助于类比法由已知的猜测未知的， 由已知的证明方法猜测未知的证明方法， 最终达到由旧知识理解新知识， 实现学习正迁移和知识系统化的目的。

　　参考文献
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　　[3]李铁安。文化意义下的数学及其教育意蕴[J].数学教育学报， 2008, 17 （6） :16-20.
　　[4]郑强等。教育形态数学文化的研究对数学教育的启示[J].数学教育学报， 2008, 17 （3） :21-22.
　　[5]杨叔子。数学很重要文化很重要数学文化也很重要打造文理交融的数学文化课程[J].数学教育学报， 2014, 23 （6） :4-6.
　　[6]付夕联， 张玉峰。数学学习中的类比迁移[J].数学教育学报， 2006, 15 （4） :33-36.
　　[7]G·波利亚。数学与猜想[M].李心灿， 等， 译。北京：科学出版社， 2001.
　　[8]史久一， 朱梧槚。化归与归纳·类比·联想[M].南京：江苏教育出版社， 1988.