探讨科学技术方法中的数学模型方法

　　摘要：本文首先介绍了如何建立数学模型，数学模型的特征和数学模型方法；其次介绍了四种类型的数学模型，即确定型的数学模型，随机型的数学模型，模糊型的数学模型和突变型的数学模型.  
　　
　　关键词：数学模型；特征；发法；类型
　　
　　自然辩证法是关于自然界和自然科学发展规律的科学，自然辩证法不是纯粹的哲学思辨，它对自然界的辩证法的揭示，是以科学技术为中介的。自然辩证法的研究对象是自然界，科学技术以及人对自然界的认识与改造。其中与人对自然界的认识与改造相对应的形成了科学技术方法论，它是自然辩证法三大理论内容之一。本文主要介绍科学技术方法论的一个小分支，即数学方法中的数学模型方法。  数学科学是一种横向学科，不仅横向伸展到一切学科领域，而且还贯穿于每一科学研究的全过程，发挥一般发法论的功能和作用。在科研工作的实践中，科技工作者的数学方法论功底主要体现在建立和使用数学模型的技巧上。数序模型是依据现实世界中的问题而提炼出来的。美国数学家D﹒L﹒伯恩斯坦说过：“可以从现实世界的问题出发，直接通过实验或观察，从而获得现实世界的解；但是这样做往往是行不通的，或者由于花费昂贵，只好作罢，所以制胜的办法就是通过数学模型，走一条迂回的道路。
　　
　　一、数学模型  现实世界客观存在的事物及其运动形态被称为实体，而数学模型就是为了更好的去认识、描述、变革这些实体，以便造福人类。那么怎么实现这一目的呢？ 
　　
　　1 建立数学模型  模型，是指对实体的特征和变化规律所作出的一种定量的抽象，而且是对那些所要研究的特定特征的定量抽象。这里我们主要讨论模型的一种，即数学模型。数学模型主要考虑数量关系和结构形式的具体内容，它不同于纯的数学。  比如，在纯数学中，微分方程所描述的一些量与其变化率之间的关系，就完全撇开了那些量所表现的物理、化学等具体含义; 而在实际的科研工作中，科技工作者就不是单纯地研究微分方程，而是通过数学模型知道实际的生产。 
　　
　　2 数学模型的特征  数学模型独有的特征使它与纯数学区分开来，主要包括：   ⑴ 现实性。也就是说数学模型都有现实的原型，目的是解决实际问题。 ⑵ 形式化。指从现实中提出数学问题后，要用已有的数学方法进行形式化的解题操作。  ⑶ 应用性。即把数学解与现实原型结合起来，对实际问题作出判断和预见，从而来指导实践。  但是，从现实抽象出来的数学模型，至少要满足下面三个条件： 第一，普适性。它能解释大量事实，而非只能说明少数特定个例。 第二，说服力。它能作出的预见具有雄辩力，谁也否定不了。  第三，可操作性。它本身是最简便易行的形式，既非难以操作，又非让事实削足 适履。    
　　
　　3 数学模型方法   数学模型方法是指通过建立和研究客观对象的数学模型来揭示对象本质属性和变化规律的一种科学方法。  运用数学模型方法的关键，是要建立一个合适的数学模型。美籍应用数学家林家翘指出：“作出理想的数学模型确实是最重要和最困难的方面，特别是在数学新应用范围内。它通常需要对于所考察的实验事实有广博的知识和深刻的理解，并需要敏锐的见解和成熟的判断。”  建立一个好的数学模型要求研究者既立足于现实具体的系统，又进入抽象的系统，还需将二者对应起来。 
　　
　　二 数学模型的类型 
　　
　　数学模型的建立是否合适，关键在能否分清数学模型的类型。一般地，数学模型可以分为以下几类： 
　　
　　1 确定型的数学模型  如果科技工作者在科研工作实践中，要解决诸如金属的热胀冷缩、电荷的喜迎排斥、氢氧化合生成水等现实问题，就要建立确定型的数学模型。因为这类现象的产生和变化服从确定的因果关系，即它们属于必然现象。  确定型的数学模型通常用经典的数学的各种方程式、关系式和网络图来表示，其中尤以微分方程用得最多。物理、化学和工程技术中所抽象出来的那些物理量的状态和相互关系，一般可以建立双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程和椭圆型偏微分方程三种数学模型，它们又分别被称为波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。
　　
　　 2 随机型的数学模型  现实世界是复杂多样、丰富多彩的，不仅有必然现象，还存在着大量的或然现象，亦即随机现象。对这类现象建立的数学模型就属于随机型的数学模型。  建立随机型的数学模型，一般要用到随机数学，包括概率论、随机过程和数理统计在内的庞大的数学新领域。  爱因斯坦在研究布朗运动时，也是随机型的数学模型在微观领域中卓有成效的应用，表明随机现象在微观世界中更为普遍。体育运动比赛中的抽签现象则属于只有一个成员的大数现象，概率论为之提供了数学模型。 
　　
　　3 模糊型的数学模型  在自然界和社会活动领域中，还有一大类现象：天气冷暖、树叶相似、母子相像、字体相同、图像清晰、声音优美、服饰好看、价格便宜等，同类事物之间并不存在泾渭分明的严格界限，它们都属于模糊现象。关于这类现象的数学模型，则属于模糊型的数学模型。  建立模糊型的数序模型，要用模糊数学。模糊数学不承认绝对分明的“非此即彼”，它是对“亦此亦彼”的事物所作的数学抽象，用隶属度刻画事物间的关系。  有了模糊数学这一工具，我们有可能对模糊事物建立起定量的数学模型，这不仅体现了模糊性与精确性的统一，而且还可以发挥确定型数学模型和随机型数学模型所不可能发挥的新功能。  模糊数学更接近于现实世界，模糊型的数学模型在实践中大派用场。在自动控制方面，他可以控制冶金、化工等生产过程，也可操作机器人自动驾驶汽车，还可以克服计算机“明足以察秋毫之末而不见与薪”之弊端，可见模糊型数学模型发挥越来越大的作用。 
　　
　　4 突变型的数学模型  现实世界之所以绚丽多彩，而非单调一致，是因为它除了存在着必然现象、或然现象、模糊现象之外，还存在着一大类突变现象。要建立关于突变现象的数学模型，就要用到突变理论。  突变理论是对诸如机翼脱落、钢铁断折、火山爆发、股票狂跌等突变现象的定量描述。它为人们建立关于固态、液态和气态之间的相变，以及雷电轰鸣和地震爆发等突变现象的数学模型提供了现成的数学工具。自然界是检验辩证法的试金石。  以往，那些突如其来、急剧变化的事件一向不接受数学的分析和表述；现在，突变理论为描述突变现象并建立数学模型提供了行之有效的方法。  总之，数学模型方法作为自然辩证法的一小部分对科学研究有着越来越突出的作用，正如马克思指出“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”   
　　
　　参考文献： 
　　[1]刘永振.自然辩证法概论(第三版).大连理工大学出版社.2010,7.
　　[2]栾玉广.自然辩证法原理.中国科学技术大学出版社.2007,8. 
　　[3]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型(第三版).高等教育出版社.2003,8.