应用数学论文
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。下面我们就为大家简单介绍一些关于洛必达法则论文范文，供给大家作为一个参考。
洛必达法则论文范文第一篇：浅谈高中数学中增加洛必达法则的必要性
作者：王朝阳
作者单位：广州大学附属中学
摘要：高考改革背景下，全国卷不再分文理科，高考竞争更加激烈，选修3科，可以考多次，按最好成绩计算，学生间很难拉开距离，高三全力攻取语数外三科，很明显数学的重要性更加突出，拉开距离的学科无形之中落到了数学上。
关键词：高考改革；洛必达法则；
2014年9月，国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，这标志着新一轮考试招生制度改革全面启动，浙江省2017年率先实施新的高考改革方案，语数外成为必考学科，每科150分，选考学科实行"7选3",每科100分，每科可以考两次，按最高分计算，录取不分批次，平行投档。广东省将在2021年高考中实行新的高考改革方案，与浙江方案相差不大，由此可见，高考改革大势所趋，有此而形成的竞争将更加激烈，选修3科，可以考多次，按最好成绩计算，学生间很难拉开距离，高三全力攻取语数外三科，很明显数学的重要性更加突出，拉开距离的学科无形之中落到了数学上。
传统高考中，文综和理综是拉分的关键，新高考方案下，选修3科已确定，按最好成绩计算，相差不是很大，高考中语文和英语经过长时间的知识积累，很多学生都已经达到了相当的水平，一般也不会相差很大，但不分文理科后的数学难度会增加，拉开距离毋庸置疑。根据高考中对数学的要求，基础和中档题型还是有70%的比例，剩下的30%为拉开距离的部分，而这一部分往往在函数上对学生能力的要求比较高。函数在能力上的考查侧重于恒成立问题，存在性问题，不等式证明，对参数进行讨论等等，而这些问题在解决过程中仅仅运用现有的高中数学知识进行处理，往往很难，大部分学生很难掌握，但运用高等数学中的有关知识，可以很轻松解决。
例如，高等数学中的洛必达法则，笔者感觉可以下放到高中知识，近年来关于洛必达法则在解决高考压轴题中所具备的优势，已经有很多教师发表文章进行了阐述。再比如，高等数学中的空间平面方程，学生可以设出空间方程，运用待定系数法解决非常方便和快捷，深受学生喜爱。在高考判卷过程中，运用超纲的知识去解，并不会不得分，相反还能拿到不少分。为此，笔者经过几年的高二，高三教学，在学生中进行了多次的问卷调查，得到了支持的观点。问卷调查的设置如下：
A.有必要 B.没必要 C.不清楚
通过几次问卷调查，总结如下：1.高三年级学生对洛必达法则的需求远远高于高二年级；2.高三年级学生运用洛必达法则的频率高于高二年级；3.高三年级学生对洛必达法则的掌握程度比高二年级学生要好；4.学生中运用洛必达法则解决函数题的人数比运用分类讨论方法的人数多；5.在得分率上，运用洛必达法则的学生得分率高。通过总结，笔者做了以下反思：1.高二年级学生在没有进行系统的一轮复习之前，对洛必达法则的掌握不是很好，应用也比较差，而高三年级学生在经过一轮复习之后，大部分学生对洛必达法则的定义和应用条件的理解很深刻，在应用上就能够得心应手；2.洛必达法则可以在高二阶段进行设置，先让学生对定义和使用条件进行理解和研究，对后期灵活应用会有很大的帮助；3.在很多函数问题上，洛必达法则应用广泛，学生是可以掌握的，从而能够很大程度上提高学生的成绩。
高考制度的改革在于进一步优化选拔机制，选拔优秀的人才进入高等学府进行深造，为祖国培养后备人才。而数学作为素质教育的前沿学科，对学生思维的开发有着不可估量的作用，在如今这个信息化时代，数学渗透到了几乎所有的领域。笔者认为，在高中数学中增加洛必达法则，不仅不会增加学生的负担，相反会开发学生的思维，让学生在解决问题的时候有多种方法选择。
文献来源：王朝阳。浅谈高中数学中增加洛必达法则的必要性[J].数学学习与研究，2019（17）：30.
洛必达法则论文范文第二篇：洛必达法则在教学过程中的误区及改进
作者：林潘能
作者单位：广东理工学院
摘要：洛必达法则是高等数学的重要内容，主要用于微积分课程中未定式的计算。在教学过程中，教师应该对未定式的类型以及计算中的注意事项进行讲解，让学生更好地掌握与应用。但是，通过对教学过程的调查发现，教师在教学中对洛必达法则的教学方式和证明过程存在一定的误区，这对学生深刻理解以及应用此法则带来了不利影响。通过对这些误区进行深入剖析，然后提出相关教学建议，可以促进教学过程的改进，以期能够取得良好的效果。
关键词：洛必达法则；高等数学；未定式；
作者简介：林潘能，男，本科，广东理工学院教师。；
基金：2017年广东省新工科研究与实践项目（39）；
洛必达法则是高等数学中运用于极限计算的一种方法，这种方法主要是对分数形式的未定式进行运算，但是在运用时却需要对计算对象进行分析，以确定是否满足运算条件，尤其是在思维逻辑方面呈现出"后逻辑",这让这项法则在教学中显得比较复杂和难以理解。学生在学习洛必达法则时，经常会在理解和运用方面出现很多的困惑。其实这种情况也是在所难免的，因为这项法则运算会涉及无穷大或者无穷小，运用常规思维是很难理解的。这就需要数学教师在教学过程中能够以充分的耐心来讲解和证明这项法则的合理性以及运用条件。这样的教学不仅对于提高学生数学成绩有一定的帮助，而且还能让学生在数学思维上取得良好的发展。
一、洛必达法则的主要内容
洛必达法则主要用于未定式的求解，未定式可以分为零比零型未定式、无穷比无穷型未定式以及其他一些类型，以下进行具体阐述。
（一）零比零型未定式
所谓零比零型未定式，指的是两个函数f（x）与g（x）满足以下几个条件：首先，设定在X趋向于a值时，f（x）与g（x）的极限值都等于零，即limx→af（x）=0,limx→ag（x）=0;其次，在a点的某去心邻域内这两个函数都可以求导，且满足g′（x）≠0,;最后一个条件是limx→af′（x）g′（x）=A（A可为实数，也可为±∞）[1],则limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A.
（二）无穷比无穷型未定式
无穷比无穷型的未定式，指的是两个函数f（x）与g（x）满足以下几个条件：首先，设定在X趋向于a值时，f（x）与g（x）的极限值都等于无穷大或无穷小，即limx→af（x）=∞，limx→ag（x）=∞；其次，在a点的某去心邻域内两个函数都可以求导，且g′（x）≠0;最后一个条件是limx→af′（x）g′（x）=A（A可为实数，也可为±∞或∞），则可以得到limx→a+f（x）g（x）=limx→a+f′（x）g′（x）=A.
（三）其他类型的未定式
除了以上两种未定式之外，还存在多种类型，比如0·∞、1∞、00、∞0、∞-∞等。这些类型的未定式在进行运算过程中，最终还是要变为零比零型与无穷比无穷型两种初级类型。从这个意义上讲，使用洛必达法则进行运算时，还需要将具体的运算对象进行有目的的变换，使之成为我们熟悉的计算类型。比如，在0·∞型中，可以将乘积中的无穷小或者无穷大进行变形，让这两种形态变形到分母之上，化为零比零型或者无穷大比无穷大型。如下例所示：求limx→0+xlnx的值时，从形态上我们可以观察到x与Inx之间是以乘积的形式出现的，这时就可以将式子变形为limx→0+lnx1x=limx→0+1x1x2=limx→0+（？x）=0,这样就可以求得数值。对于∞-∞型的未定式，在进行计算时是通过把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，然后继续通分最终形成零比零型未定式。如下例所示：求limx→1（1x?1?1lnx）的值时，可以这样：limx→1（lnx?（x?1）（x?1）lnx）=limx→1（1x?1lnx+x+1x）=limx→1（？1x21x+1x2）=limx→1（？1x+1）=12.
二、正确应用洛必达法则的注意事项
在洛必达法则的教学中，应该对其使用条件和范围进行详细的讲解，使学生可以正确有效地运用这种计算方法。以下是使用此法则的注意事项：
（一）正确理解法则内容，注意法则使用的前提条件
在运用洛必达法则之前，首先应该对计算对象进行判断，看其是否满足零比零型或者无穷比无穷型的基本未定式条件，具体条件如以上所讲述的未定式内容。当计算对象可以满足这些条件时，则可以利用此项法则进行计算。比如在此题中：求极限limx→0esinxlog2（1+sinx）的值时，如果根据洛必达法则直接套用公示，会得到这样的计算过程：limx→0esinxlog2（1+sinx）=limx→0esinx?cosxcosx（1+sinx）？In2=In2.由此可见，这样的计算过程是典型的直接套用公式，但是却没有分析此法则使用前的一些条件。[2]通过分析可以发现limx→0esinx=1,这与零比零型、无穷比无穷型的标准模式出现冲突，则不可以直接套用公式。正解如下，因为limx→0log2（1+sinx）esinx=limx→0log2（1+sinx）limx→0esinx=01=0,则可以得出limx→0esinxlog2（1+sinx）=∞。从此题中可以看出，分析洛必达法则的前提条件十分关键，一些题型被制作出来的目的就是为了考查学生在这一方面的运用能力和掌握程度。但是，有的题型却很难从题干上分析出是否适用于洛必达法则，这时如果没有更好的办法来进行解题，则可以通过多次运用洛必达法则来判断此题是否具备使用的前提条件。比如以下这道题：求limx→？1x3+3x2?2x3+x2+x+1的值时，如果直接套用公式，可以得到limx→？1x3+3x2?2x3+x2+x+1=limx→？13x2+6x3x2+2x+1=limx→？16x+66x+2=limx→？166=1.这道题的计算过程中多次使用了洛必达公式，但是，需要注意的是，在多次使用时，每次都需要对函数式进行前提条件的判断。很显然，在后两次使用时，函数式已经不满足洛必达法则的前提条件，这时可以运用其他方法来解决。
（二）明确法则的目的，注意各种方法的结合
学习洛必达法则的目的是更加方便解决求极限的问题，但是，通过对学生运用的具体情况调查得知，许多学生在解决零比零型和无穷比无穷型的未定式极限问题时，经常会对此法则进行循环使用，发现有的题目会出现循环的结果，这与洛必达法则化繁为简的基本目的是相悖的。[3]因此，在计算实际题目时，应该全方位进行考量，而不只是运用洛必达法则来达到运算的目的。比如在此题中：求limx→0e2x?esin2x2x?sin2x的值时，如果直接套用公式，就会出现更加复杂的情况，主要原因是题目中的函数式比较复杂，蕴含指数函数和正弦函数，而且正弦函数还出现在了指数位置，这在计算时就需要运用繁琐的正弦函数求导公式来计算，最后的结果会越来越复杂。学生在计算此类题型时，可以结合其他方法来进行，根据等价无穷小公式来对计算过程中的函数式进行等价变换，然后可得limx→0e2x?esin2x2x?sin2x=limx→0esin2x（e2x?sin2x?1）2x?sin2x=limx→0（esin2x?2x?sin2x2x?sin2x）=1.这个计算过程中使用了指数相乘，指数位置的数字进行相加的基本运算方式，然后根据em·x-1→m·x（m≠0,x→0）进行等价变换，最后得出结果。
（三）正确掌握法则的弱化定理，注意定理的运用
在运用洛必达法则进行极限运算时，最重要的是要判断函数式是否满足洛必达法则的前提条件，然而，在计算中要求三个前提条件同时成立比较苛刻，所以对于"无穷比无穷"这一类型的未定式可以对其前提条件进行弱化，推导出两个弱化定理。第一个是若函数f（x）与g（x）满足以下三个条件：limx→ag（x）=∞，在a的某个去心邻域中都可以进行求导，且g;（x）≠0,limx→af′（x）g′（x）=A（A为有限数或∞），则可以推出limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=A;第二个定理是若函数f（x）与g（x）满足以下三个条件：limx→∞g（x）=∞，当a>0,在（-∞，-a）和（a,+ ∞）上都可以求导，且g′（x）≠0,limx→∞f′（x）g′（x）=A（A为有限数或∞），则可以推出limx→∞f（x）g（x）=limx→∞f′（x）g′（x）=A.利用这两个定理可以快速计算很多题目，比如求limx→∞arctanxx2的值时，学生可以通过第二个定理进行直接运算，即limx→∞arctanxx2=limx→∞11+x22x=limx→∞12x（1+x2）=0.但必须注意的是，零比零型未定式则没有相应的弱化定理，在进行极限运算时还需要对前提条件进行严谨验证。
三、洛必达法则在教学过程中存在的主要误区和问题
洛必达法则作为极限运算的重要内容之一，其使用和参考频率较高。但是，在实际教学过程中，教师却往往对这一法则没有足够的重视，导致出现了许多误区和问题。
（一）教学方式中的误区
在高等数学的教学过程中，教师往往在对洛必达法则进行讲解时出现一些误区，认为此法则主要是用来计算，只要学生将此法则熟练记忆，就可以达到最后的教学目的。其实，这是传统教学中一味追求成绩而造成的结果，因为洛必达法则的运用在高中阶段就已经有所涉及，教师为了提升学生最后的高考成绩，会笼统地将此法则教授给学生，在教授过程中只是对具体的运用方式进行讲解，而对基本原理和使用范围采取回避的态度，造成许多学生对这项法则存在很大的疑惑，却又不能得到解决。在进入大学后，数学教师也会因为高中阶段有所涉及而对此法则采取述而不争的讲课方式，让学生无法对此项法则进行深刻的理解，从而影响到具体的运用过程。
（二）洛必达法则证明过程教学存在的问题和误区
除教学方式导致的问题外，在高等数学的教材中对洛必达法则的证明过程也存在剖析不明的问题，可以总结为"证而不明"[4].教材中的证明过程如下：（1）当x→a时，函数f（x）及g（x）的极限值都趋向于零；（2）在点a的某去心邻域内，f ′（x）与g′（x）均存在且g′（x）≠0;（3）limx→af′（x）g′（x）存在（或为无穷大）。如果满足以上三点，则可以推出limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）。利用柯西中值定理对此证明过程进行验证时可以发现，x→a与ξ→a存在着本质区别，如果教师不在证明过程中对此项内容进行专项说明，则容易造成学生对洛必达法则出现认识上的根本性错误。
（三）使用洛必达法则过程教学中存在的问题和误区
通过调查学生对洛必达法则的运用情况发现，许多学生在运用中之所以出现很多错误，原因主要是学生对此项法则的基本原理没有理解透彻，最为常见的就是不会利用后验逻辑来对极限问题进行分析并解决。[5]对洛必达法则的证明过程进行分析后可以发现，第一个和第二个条件是需要进行提前验证的，即在运算前要对函数式的可导性趋向性进行判断，判断的过程和方法主要是依据具体的函数形式来采取不同的应对措施。但是，对于第三个条件则需要进行进一步运算后才能够验证是否满足，这就要求学生在使用过程中应该将此项法则作为一种实验性过程，也就是说以验证的心态来解决具体问题。当学生在逻辑上理清此法则的运用规律后，可以在很大程度上减少错误，进而提高学生学习高数的信心。
四、关于洛必达法则教学的相关建议
在对洛必达法则教学过程中的一些误区和问题进行分析后，本文针对性地提出一些改进措施，具体如下：
（一）正确认识微积分课程在教学中的定位
在大学阶段，微积分课程的教学定位不应该只是作为传授数学知识的过程，更重要的是要通过具体的教学过程来让学生逐渐形成比较系统的数学思维。笔者对大学微积分课程的具体内容进行了解后发现，有许多内容与高中阶段所学的比较类似，但是数学教师并不应该认为这样的教学过程就是简单的重复，而是应该在高中水平的基础上进行更为深刻的讲解，尤其是在洛必达法则的教学过程中，数学教师应该在教学方式上进行改变。比如，在对洛必达证明过程的讲解中，可以通过柯西中值定理得出的结论向学生进行提前展示，然后让学生自己来分析出现这种情况的原因，这样可以使学生得到进一步的理解。
（二）在洛必达法则教学过程中要十分重视关键原理的教学
针对在高等数学教材中对洛必达法则进行证明时不够充分的问题，我们可以通过以下几种方式来进行解决：第一，应该对数学教材进行改革，促进洛必达法则的证明过程更加充分合理地展示。比如，在利用柯西中值定理进行问题说明时，应该对柯西中值定理进行讲解，这样能够使证明过程更加丰满，促进学生的理解。第二，应该提升教师的教学水平。现在的大学教师普遍存在"重科研轻教学"的现象，造成这种现象的主要原因在于大学教师的评价机制中对教学过程没有合理的评定方法，所以要提高教学质量首先应该改革评价机制。在教材内容没有对洛必达法则进行全面诠释时，就需要通过教师的讲解来对教材中欠缺的内容进行补充。比如，在证明过程中应该对x→a与ξ→a的区别进行深入讲解，并通过举例说明来增强讲解效果。
（三）在洛必达法则教学过程中要重视法则的逻辑
洛必达法则在逻辑关系上展现出"后验逻辑"现象，这对于初学者来说会有一定的难度，这主要是受到传统学习方法的影响。在传统学习方法中，学生更倾向于获得高效、快速解决问题的方式。[6]但是，在洛必达法则的学习中，学生需要通过计算来验证是否满足洛必达法则的前提条件，这样的逻辑方式会让学生在使用时经常出现差错，所以应该在洛必达法则的教学过程中重视学生对这种逻辑习惯的养成。在具体使用时，首先对题目中的函数式进行判断，看是否满足x→a时，limx→af（x）=0,limx→ag（x）=0以及在a的某去心邻域内，f（x）与g（x）两个函数都可以求导，然后通过计算来验证limx→af′（x）g′（x）是否存在，如果这个极限值不存在，那么则不可以使用洛必达法则进行运算，而需要采用其他方法进行计算。
五、结语
尽管洛必达法则在学习过程中存在一定的难度，但文中改进后的方法可以帮助学生在微积分的学习中提高学习效率。为了这样的教学效果，数学教师在进行讲解时要更耐心和细心，尤其应注意对学生数学思维的培养，帮助学生在使用洛必达法则时形成较为清晰的思路，进而降低犯错的几率。
参考文献
[1]范云晔对洛必达法则应用的几点思考[J]河南教育学院学报（自然科学版），2016（3）-:49-53.
[2]景慧丽。利用洛比达法则求极限研究[J].首都师范大学学报（自然科学版），2016（4）：6-9.
[3]许新忠在求极限过程中洛必达法则的运用要点探析[J]科技经济市场， 2016（06）：189,192.
[4]吴端玲。应用洛必达法则求极限时需注意的问题[J].邢台职业技术学院学报，2013（1）：60-62.
[5]袁建军，欧增奇高等数学中用洛必达法则求极限需注意的问题[J]西南师范大学学报（自然科学版），2012（6）：241-244.
[6]雒志江。应用洛必达法则中常见问题分析[J].山西大同大学学报（自然科学版），2008（5）：11-13.
文献来源：林潘能。洛必达法则在教学过程中的误区及改进[J].教育观察，2019,8（19）：100-102.