离散数学的多轮渐进教学分析与思考

    0 引 言

　　在众多计算机科学与技术专业基础课程中，离散数学是其中较为重要的一门核心课程，同时，它是计算机科学的基础理论领域的重要组成部分。通过离散数学知识的学习，对培养学生的学科素质、掌握正确的学科方法有着积极重要的作用。但同时，这门课程又让许多刚接触它的同学感觉困难重重。一些教学研究工作者[1-3]研究离散数学教学方法、分析离散数学课程的特点时总结了课程难学的主要原因有以下几点。

　　（1）离散数学内容丰富、知识点多。数理逻辑、集合论、代数系统、图论等知识点彼此较为独立。学生感觉各个部分知识点之间关系不大，对课程学习的目的不明确。各个章节中都有很多抽象的概念和定理证明，使得有些学生对抽象认知的学习比较困难、比较吃力。

　　（2）离散数学内容多、课时少。一般高校的课时只有 72 或 64 学时。在讲授抽象的、晦涩难懂的定义定理时，学生自己没有足够的时间去思考与理解，造成一些同学在课堂上跟不上老师的思路甚至是教学进度。

　　（3）教材陈旧、单一。 虽然离散数学教材不少，但是大多雷同，而且大都是纯数学教材。这对于大多数低年级的学生来说，在理解掌握离散数学基本知识方面增加了难度，因此对教材建设提出了更高的要求。

　　本校采用的是多级矩阵的方法指导各个专业的教学。在计算机专业的课程中，每个课程都有它自己需要培养学生所达到的能力指标要求[4].

　　关于离散数学这门课程，学生需要达到的能力指标包括工程推理的能力、系统思维的能力、计算思维能力等。 工程推理的能力要求使用离散数学的理论和方法解决工程中的问题。系统思维的能力需要对系统进行充分的理解，使用必要合理的离散数学建模方法对系统进行抽象建模。计算思维的能力则主要是使用逻辑的方法进行计算与推理，利用集合二元关系以及代数系统的计算规则和性质进行运算。要达到这些能力要求，最主要的还是需要理解掌握离散数学中的基础理论知识、计算性质、计算方法和解题技巧。然而这些理论知识与解题技巧枯燥乏味，学生对其兴趣不高，有可能会影响各个指标的实施和完成。为了更好地使学生达到专业培养目标，我们采用了多轮渐进式的教学方法。

　　1 多轮渐进教学方法

　　离散数学抽象理论多，内容晦涩难懂。按照记忆理论[5],传统的教学方法都是集中式的强化记忆方法，也就是说在相对较短的时间内给出一系列抽象理论方法，这样的教学方法效率不高。

　　根据学习曲线理论[6],学习者在不同阶段的学习效率是不同的。如图 1 所示，当学习者实践学习时，起初的实践所带来的边际学习效果最好。随着学习者实践的不断增加，学习的边际效果也逐渐降低。类似的，如图 1 所示，当练习次数增加后，学习所需要的时间与练习中产生的错误数也随着指数曲线逐渐减少。

　　多轮渐进的教学方法是根据记忆理论总结出来的，当人受到一定刺激并对刺激产生关注后，就会产生几秒钟的记忆，当把这几秒钟的记忆不断重复和有意识地进行理解就变成几分钟的短期记忆，然后再经过不断重复就变成了长期的记忆。所以设计多轮渐进的教学方法时，要将同一个知识点从不同的角度在不同的课时进行讲授，这样就形成了不同的重复方法。这些重复的方法包括以下几个方面。

　　1）同一知识点深化理解

　　比如介绍范式。第一次上课先简单介绍一下定义，让同学们对知识点有初步的了解，尤其是对各种范式的形式上的认识。第二次课也重复讲一遍定义，这时讲解的不仅仅是形式上的认识，而且还有每一种范式的用法和转化方法。

　　2）不同知识点的对比理解

　　比如介绍谓词公式。第一次上课先仔细讲解谓词公式的定义和字母表。第二次课要重复讲谓词公式的定义方法，同时还要对比之前学过的命题、命题公式、谓词等概念，对比理解各个概念。

　　3）总结归纳解题方法

　　比如对一句自然语言描述的陈述句进行符号化。第一次讲课的时候需要详细讲解解题的步骤。之后的第二次课需要重复总结解题步骤和方法。

　　除了进行重复、多轮渐进教学法，同时还注意重复的时机。传统的教学方法也有重复和深化，然而同一知识点的重复和深化都是在同一节课完成的。根据遗忘曲线理论[7]的描述，学习者随着时间的增加，记忆的内容将逐渐减少。如图2 所示，当学习者刚学习完一个新内容后的 1~3天时间内，遗忘速度是最快的。之后，随着时间的增加，遗忘的速度逐步减慢。在学习过程中的不同次课程中进行复习可能会使得遗忘速递减慢，使学习过的知识在遗忘的同时不断地进行刺激，使学生尽快形成长期记忆。