离散数学中形式逻辑与数理逻辑的对比教学(2)

　　另外，还可以对比限定谓词介绍形式逻辑的"概念",对比公式的逻辑蕴涵关系介绍形式逻辑的"推理",对比永真式介绍形式逻辑的"基本规律",使学生在跟随形式逻辑学习各种思维形式的语言表达、研究不同语言表达之间的逻辑关系时，还能够超越这些具体的语言和结构，站在数理逻辑提供的平台上作更为一般的抽象思考，从而明了形式逻辑囿于自然语言方法在研究成果上的局限，而形式化方法可以帮助我们打破这一局限，将任意问题的逻辑推理变为满足特定规则的符号演算。

　　下面以对当关系推理、三段论为例具体介绍形式逻辑与数理逻辑的对比教学。

　　4.1 对比介绍"对当关系推理"

　　形式逻辑把关于同一素材的性质判断命题之间的真假关系叫做对当关系，利用对当关系，从一个性质判断命题的真假推出另一个同素材判断命题的真假即为对当关系推理，见图1.

　　介绍对当关系推理时，先在形式逻辑的框架内讲解：分析 4 种形式的性质判断命题（全称肯定判断 A、全称否定判断 E、特称肯定判断 I、特称否定判断 O）在主项和谓项为全同、包含、交叉、对立等各种可能关系情况下的真假取值，将结果画成图 1 所示的逻辑方阵。

　　逻辑方阵是形式逻辑对对当关系推理的总结和概括。依据逻辑方阵，可以从一个性质判断命题的真假，迅速推出另一个同素材判断命题的真假。如根据 A 与 E 之间的上反对关系，由 A 真可立即知道 E 假。

　　在介绍了逻辑方阵及其应用之后，再转入数理逻辑框架，分析 A、E、I、O 之间的逻辑蕴涵关系。以 A 与 E 为例，形式化为一阶公式后分 别 是  x （S（x） → P（x））、  x （S（x） → ┐P（x））， 这本是两个真假不相关的公式，但如果假设 xS（x）真（即限定 S 为不空概念），那 么 易 知 它 们的 合 取 为 永 假 式， 所 以 有  x（S（x） → P（x））┝┐  x（S（x） → ┐P（x）），  x（S（x） → ┐P（x））┝ ┐  x（S（x） → P（x）），即 A 真时 E 假，E 真时 A 假，但由于 ┐  x（S（x） → P（x））∧┐  x（S（x） → ┐P（x）） 可满足，所以上述两个蕴涵式的逆均不成立，即由A（E）假不能推出 E（A）真。

　　两相对比之后，学生不仅搞清楚了对当关系推理，而且还知道了对当关系推理中的隐含条件--主项 S 不能为空概念。更为重要的是，通过对比，学生了解到形式逻辑的对当关系推理在数理逻辑中只是一个逻辑蕴涵关系推导的特例。

　　4.2 对比介绍"三段论"

　　"三段论"是形式逻辑的经典内容，其"格"与"式"的研究也是形式逻辑最为复杂的内容之一。所谓三段论，是指借助两个性质判断前提中都包含的一个共同概念，推出一个新的性质判断结论的推理，其中起联结作用的共同概念称为"中项（M）",而作为谓项出现在结论中的概念称为"大项（P）",作为主项出现在结论中的概念称为"小项（S）".例如着名的苏格拉底三段论"所有人都是要死的；苏格拉底是人；所以，苏格拉底是要死的"中，"苏格拉底"是小项，"……是要死的"是大项，"人"是中项。

　　为确保推理的有效性，形式逻辑不仅为三段论定义了各种规则，还根据中项在前提中的位置将三段论区分为 4 个不同的"格",根据前提和结论的判断质（肯定还是否定）和量（全称还是特称）的不同区分为 64 个不同的"式",并进一步为各个"格"定义了特殊规则，总结了适用于每个"格"的"式".

　　学习三段论，学生可以充分体会形式逻辑对推理中语言表达结构的关注，以及这一关注与其自然语言研究方法之间的必然联系，而通过与数理逻辑中逻辑蕴涵关系推导的对比，又可以体会形式化方法带来的超越具体和繁琐、使推理变得简洁和一般的优越性。

　　具体内容的对比，可以穿插在三段论的"规则""格""式"的介绍中进行，如介绍了各个格的特殊规则后，就可以对应地介绍如何从数理逻辑的角度看待这些特殊规则，对比同样规则在两种框架下的不同分析和求证过程。

　　以针对第一格（形如苏格拉底三段论）的特殊规则"小前提（S-M）必须肯定，大前提（M-P）必须全称"为例，该特殊规则在形式逻辑中通常这样证明[1]

　　:如果小前提否定，则根据"前提有一个否定判断，则结论为否定判断"（一般规则5），结论必然为否定，且大前提必须肯定（"前提中至少有一个肯定判断",一般规则 4）。此时大项在结论中周延，但在大前提中不周延，就会出现大项扩大的错误，而大前提必须全称是因为由小前提为肯定判断，可以知道中项 M 作为谓项在小前提中不周延，根据"中项在前提中至少周延一次"（一般规则 2），作为主项的中项在大前提中必须周延。

　　从数理逻辑的角度，则可以这样解释：小前提（S-M）为肯定判断（全称肯定A或特称肯定I），大前提（M-P）为全称判断（全称肯定 A 或全称否定 E）时，两者可以组合出如下 4 个逻辑蕴涵式，代表 4 种有效的推理模式：

　　■  x （M（x） → P（x）） ∧  x （S（x） → M（x））┝x （S（x） → P（x））■  x （M（x） → P（x）） ∧ x （S（x） ∧ M（x））┝x （S（x） ∧ P（x））■  x （M（x） → ┐P（x）） ∧  x （S（x） → M（x））┝x （S（x） → ┐P（x））■  x （M（x） → ┐P（x）） ∧ x （S（x） ∧ M（x））┝x （S（x） ∧ ┐P（x））但如果小前提（S-M）为否定判断（全称否定 E 或特称否定 O），或大前提（M-P）为特称判断（特称肯定 I 或特称否定 O），则无法在 A、E、I、O 范围内组合出有效的逻辑蕴涵式（可以一一验证）。

　　显然，这样的对比有助于学生更深刻地理解和把握第一格特殊规则，如果要突出形式化方法在一般化推理方面的优势，还可以进一步给出以下两个推理模式：

　　■  x （┐M（x） → P（x）） ∧ x （S（x） ∧ ┐M（x）） ┝x （S（x） ∧ P（x））■ x （┐M（x） ∧ P（x）） ∧  x （S（x） → M（x）） ┝x （┐S（x） ∧ P（x））上面第一个蕴涵式的小前提为否定，第二个蕴涵式的大前提为特称，虽违反特殊规则，却仍然成立，因为它们的大前提超越了形式逻辑研究的 A、E、I、O 4 种性质判断形式。如此，形式逻辑的"三段论"在研究成果上的局限性一目了然的已有知识，然后将遇到的难以解决的问题带到课堂，师生采用讨论式授课模式进行分析和化解。在授课过程中，我们发现很多小组在数据表的结构设计上遇到了困难，主要是初学数据库对数据表之间的关系把握不够，经过讨论和教员启发，学生对关系数据库的理解更加深刻了。针对以往学生难以掌握的开发平台使用问题，教员提供充足的参考资料和视频教程，学生通过努力自学并实践，本次教学过程中未成为妨碍项目进度的因素。

　　4.4 结果评价

　　通过课上和课下共一周左右的时间，学生按组提交项目开发结果并自评成绩。在课上每组指定 1~2 人进行汇报。教员和其他学生为该组评定成绩，讲评优缺点，各组学生再根据讲评结果有针对性地进行修正，最后教员给出总评成绩。

　　5 结 语

　　随着信息技术的爆炸式发展，计算思维能力的重要性不断凸显。在我军信息化建设不断深化的背景下，努力转变老旧的教育观念，采用先进的教学模式，设计合理的教学案例，使计算思维能力的培养更有效、更高效，是培育适应新时期军事斗争准备人才的必由之路。笔者以"软件设计基础"为研究对象，分析研究了计算思维培养的知识切入点和具体教学方法，并给出了具体的教学案例，教学结果表明学生的学习效果更好、理解更深入、学习兴趣更浓厚。总而言之，学生的计算思维能力得到了锻炼和提高。

　　参考文献：
　　[1] Wing J M.Computational thinking[J].Communications of the ACM, 2006, 49（3）： 33-35.
　　[2] 李锋， 王吉庆。 计算思维： 信息技术课程的一种内在价值[J]. 中国电化教育， 2013（8）： 19-23.
　　[3] 何明昕。 关注点分离在计算思维和软件工程中的方法论意义[J]. 计算机科学， 2012, 3（6）： 60-63.
　　[4] 牟琴。 基于计算思维的探究教学模式研究[J]. 中国远程教育， 2010（11）： 40-45.
　　[5] 乔淑云。 程序设计类课程教学改革与计算思维之培养[J]. 计算机教育， 2012（19）： 17-19.
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　　[7] 赵英良。 软件开发技术基础[M]. 北京： 机械工业出版社， 2007.