统计套利相关理论综述

　　第2章统计套利相关理论综述

　　2.1统计套利的产生与发展

　　1985年,在天体物理学家努奇奥.塔塔里亚的指导下,一小群擅长定量研究的科研人员创造了一个用匹配组合的方式买卖股票的计算机程序。摩根士丹利的“黑匣子”由此诞生,在迅速贏得声誉的同时也赚得盆满钵满。统计套利,这个在当时还十分生僻的词汇,由此开始了二十多年的辉煌历程。“黑匣子”的具体细节一开始对外是保密的,但是其基本规则很快地就公布于众,“匹配交易“一词也开始出现在金融词典上。匹配交易的假设前提非常简单,即寻找一对有相同历史价格行为的股票,当两只股票的价格存在较大偏离时,断定这一价差随后必会趋于收敛。这个规则十分简单,明了,而且拥有着巨大的获利能力。

　　统计套利在20世纪90年代末期开始在世界范围内流行开来,当时像物理学等“硬科学”的博士们利用这种简单的统计现象获得了年均两位数的收益。2007年前,许多统计套利交易者获得的超额收益使得统计套利交易策略在欧美发达资本市场中流行起来。但是,也有人诉病统计套利交易者在2007年到2008年的经济危机中使市场变得不稳定;总体而言,统计套利能让专业投资者受益匪浅,也能让一知半解者损失惨重。

　　基于市场中性的统计套利策略己经在实际中获得了成功。这里介绍两个重要的例子,第一个是A.N. Burgess【26】在1999年他的文章——《对FTSE 100指数的统计套利模型》(Statistical Arbitrage Models of FTSE 100),在文章中他发现了一般的协整模型能够极好的运用于统计套利,时间段是1996年6月至1993年5月间,第一个模型不考虑交易费用,第二个模型考虑0.5%的交易费用。第一个模型获得了 85%的收益,第二个模型获利67%C在第一个模型的夏普比例是15.7,在第二个模型的该比例下跌了2倍之多,为5.3。

　　另外一个成功的在统计套利中运用数学模型的例子是:Tradetredc公司开发的市场中性相对价值交易平台。该交易策略建立在相关性分析、图型确认和随机控制理论基础之上。该产品给投资者提供66%±17%的收益率。这个模型被叫做“市场中性成对交易模型”,是一种基于web技术的自动交易系统,源于以前的“聪明交易者60”(Smart Trader60)。这个系统在实际中比传统的成对交易表现更好,有如下的一些优点:可以减少或者消除未预期到的相关性,运用随机价格信号动态识别影响漂移的可预测性成分,包括振荡和均值回归。这些信号都是由交易头寸自动发出,头寸的建立是这一系列股票基于买入低估的,卖出髙估的,从而可以消除股票价格波动中的随机成分。因此,如果要赢利需要设定最优的进入和退出交易规则,这是整个交易系统的核心。

　　自从统计套利策略的开创之日起,这个策略就一直取得了优秀的回报率。进入二十一世纪后,金融市场环境的剧烈变化以及越来越多投资者的应用使得统计套利使用者面临着十分严峻的竞争和挑战。尽管由于市场结构和环境发生了翻天覆地的变化,但是统计套利交易策略依然能够在新的市场下特别是像中国这样的新兴市场下发挥作用。

　　对于国内市场来说,融资融券及股指期货的正式推出意味着中国金融市场有了真正的做空机制,为金融市场的发展带来了许多有利条件和新的历史机遇,但同时也提出了严峻的挑战。需要指出的是,投资者参与股指期货和融资融券就可以利用统计套利这样的多元操作策略为其提供指导,在我国的贵金属期货市场上,也同样可以使用统计套利的交易策略作为投资方法。

　　2.2统计套利的定义

　　统计套利是运用数量化的方法构建投资组合,在降低市场波动率的同时,获得投资回报。比如,应用统计套利的方法研究A股市场工商银行和建设银行股票价格波动规律,发现这两家公司的股票价差大于1元的情况很少。当市场的价格波动导致建设银行的股票价格比工商银行高出1元,可以通过卖出建设银行股票和买进工商银行股票构建投资组合,当两家公司的股票价差回归到1元以内时做相反的交易,从而获得交易收益。

　　无论是建设银行被高估还是工商银行被低估,都可以获得交易利润。适度的统计套利交易对于整个金融市场而言,有助于降低市场的波动性,提高资源的配置效率,减少市场系统风险。而目前国内应用统计套利策略的投资者还不是很多,这反过来由于缺少竞争对会初入者以不错的投资回报。

　　统计套利与我们经常说的无风险套利不同。无风险套利是指某资产未来的现金流量能够被其他资产组合所完全复制,同时用于复制的组合的价格应该与原资产价格基本一致。在实际中,存在许多复杂的套利机会,“无风险”套利只是在自己的真理体系下才是存在的。由于自身缺陷——随着套利者间竞争的加剧,错误定价的空间和时间都在降低。

　　在实际中,尽管从理论上分析是无风险的,但是仍然暴露于某些风险,比如,未来的不确定现金股息、交易风险及其他。从这个角度讲,实际套利的吸引力应该是更依赖于这种错误定价的动态变化一例如,基差(等于期货价格一现货价格)均值回归或在稳态水平附近波动,而不是更关注理论上的价格关系。统计套利的精髓就在于不论一揽子资产理论价格的相关关系,我们只通过资产价格组合之间的规律来发掘获利的机会。

　　Hogan, RJarrow和M. Warachka[28](2003)曾给出了统计套利的精确数学定义。具体的定义如下:无风险利率折现的现值为v(t)。v(t)应满足如下条件:

　　

　　条件(1)表明零初始成本以及自融资的交易策略;条件(2)则意味着利润的贴现值为正,这个条件说明统计套利有限的向存套利收敛;条件(3)说明时间平均的方差趋向于0;条件(4)表示出现亏损的概率接近于0,这一点可以通过组合的重新调整或者控制空头和多头头寸的总额来避免过度的净头寸暴露。其中,条件(4)是至关重要的,有两个原因:第一,它将统计套利与无风险套利区别开来,无风险套利要求在某些发生损失的概率为0,而统计套利仅要求随时间的推移,损失的概率收敛于0,两者有着本质的区别;第二,在Black-Scoles模型经济中,统计套利仅仅只依靠第一条到第三条的条件。

　　统计套利是一种模型驱动的投资过程,当资产价格偏离其理论价格或者模型预测价格时,则通过同时构建多头和空头组合而获取套利利润。在证券市场中,当两只股票价差偏离长期均值时,投资者相信其一定会出现均值回复。由于两只股票属于同行业或者是同板块,很可能存在同涨同跌现象,价差回复均值有可能是因为当价格都下跌时,相对高估股票的价格下跌程度大于相对低估股票的价格下跌程度;也有可能是当价格都上涨时,相对低估股票的价格上涨程度大于相对高估股票的上涨程度;或者两股票的价格的出现一涨一跌时,价差回复均值是由于相对低估股票的上涨和相对高估股票的下跌。

　　在期货市场的情况也是如此。

　　从上面的公式中可知:统计套利的原理得以实现的前提就是均值同复,均值回复即存在均值区间内价格的背离通常是短期的,随着时间的推移,资产价格将会回复到它的均值区间内;如果时间序列是平稳的,则可以构造统计套利交易的信号发现机制。该信号机制将会显示标的资产价格是否已经偏离了长期均值从而存在套利的机会。

　　均值回归理论是行为金融学中的一个重要概念,是指标的价格无论高于或低于均衡价格(或均值),在不远的将来都会以极高的概率向价值中枢回归。依据这个理论,标的价格总是围绕其均值水平上下波动的。偶尔的上涨或者下跌的短暂背离不管其延续的时间长远都不可能永远持续下去,最终均值回归的现象一定会出现:涨得太高了,就会向平均价格下跌;跌得太低了,就会向平均价格上升。在本文中的标的是黄金和白银期货主力合约价格,其市场价格之间存在着良好的相关性,价格往往表现为同向变化,从而价格的差值或价格的比值往往围绕着某一固定值进行波动。尽管统计套利比无风险套利具有更高的风险,但是在实际的市场中,它却能提供一种更加持续和更加普遍的期望。

　　统计套利的核心原理直接依赖于数据挖掘(datamining)。首先,统计套利分析者对海量的历史数据进行筛选,以期发现某种普遍的统计关系。这种关系可以存在于一个证券的当前价格水平及其近期历史价格水平,也可以存在于两个证券的价格水平之间,甚至可以存在于一个证券的价格水平和另一个证券的波动率之间。在寻找的过程中,关键在于这种关系必须在90%的统计置信度下成立,90%的统计置信度是大多数统计分析中可以接受的最低置信阈值。

　　当检测到一个显著的统计关系之后,就可以建立一个基于如下假设的统计套利交易模型:如果某一时刻这种统计关系被违反,那么它将会均值回复(mean-revert)到它的历史正常水平,此时就应该在均值回复方向建立头寸。当对这种统计关系的违反程度变得很大时,假设均值回复的趋势也会相应增加。

　　由此可以利用目前的相互关系与历史平均值偏离几倍的标准差来衡量当前对历史关系的违反程度。在股票市场上,例如,假设感兴趣的变量是价格,在短时期内工商银行的价格水平相对于建设银行的价格水平上升了他们之差的历史水平的两倍标准差之上,统计套利策略认为工商银行这种非同寻常的大幅变动有可能在不久的将来会有一个反转,因此交易策略会建立一个工商银行的空头头寸,当然,目前在我国A股市场上不能直接做空,需要借助其他的交易手段。如果均值回复确实发生了,那么这一策略就取得了盈利,否则,止损会被自动触发,这个策略产生了一次亏损。

　　期货市场是市场经济发展的客观需要,高级的期货市场的作用是为生产者和经营者提供了一种机制,以避免风险,期货市场为现货市场吸纳了风险。期货合约价差交易期货套利风险转移市场提供一些基础保障。统计套利的本质是利用期货市场的价格扭曲的机会,并预测这种价格扭曲将迅速消失,价差将恢复到正常水平,从而获得利润。统计套利交易对期货市场的正常运行起到了非常重要的作用,帮助扭曲的期货市场价格体系恢复到正常水平。

　　统计套利的作用主要表现在以下三个方面:

　　第一、统计套利行为有助于价格发现功能的有效发挥。由于影响期货市场价格和现货价格的因素存在一定的差异,套利者就会时刻注意市场动向,发现不正常的价格关系,利用不同期货合约价格之间的价差变化或者期货市场与现货市场之间的价格变化,随时进行套利。这种交易的结果,客观上使期货市场的各种价格关系趋于正常,促进市场公平价格的形成。

　　第二、统计套利行为有助于市场流动性的提高。套利行为的存在增加了期货市场的参与人数以及合约的成交量,承担了价格变动的风险,提高了期货交易的活跃程度,扩大市场规模和深度,使得套期保值者较容易找到交易对手,自由地进出市场,从而使市场具有充分的流动性。

　　第三、适度的期货统计套利能够减缓价格波动。套利交易者进行期货交易,总是力图通过对未来价格的正确判断和预测来赚取价差利润。当期货市场供过于求时,市场价格低于均衡价格,套利交易者低价买进合约,从而增加了需求,使期货价格上涨,供求重新趋于平衡;当期货市场供不应求时,市场价格则高于均衡价格,套利交易者会高价卖出合约,增加了供给,使期货价格下跌,供求重新趋于平衡。由此可见,期货套利对于缩小价格波动幅度发挥了很大的作用。

　　2.3统计套利模型介绍统计套利的具体操作策略模型的种类非常丰富,在此本文仅介绍一些被国外对冲基金广泛使用并且在本文中用于执行统计套利的交场策略。

　　(1)成对交易(Pair Trading)

　　成对交易策略让交易者维持对市场的中性头寸,可以捕捉到两只证券或者其他衍生品的价格之间相互关系的异象,这来源于对个股的相对估值或者基本面的差异。该策略可以通过两只处于同行业的证券或其他衍生品的一个多头头寸和一个空头头寸进行匹配。这将创造出一个头寸来对冲掉这两只证券所处的行业和市场的风险,而仅仅是对两个证券或其他衍生品的走势进行对赌,做多的证券头寸减去做空的证券头寸。

　　(2)多因素模型(Multi-factorModels)

　　套利定价模型(APT)就是这类方法的代表。该策略包括定义影响证券收益的因素,然后运用证券收益对这些因素进行多元回归,最后建立在这些相关性上选择个股来建立投资组合。

　　(3)均值回归策略(Mean-revertingstrategies)

　　在前文中已经介绍过了均值回归的概念,此类策略就是建立在证券或衍生品价格是均值回归的之上的。依照该策略,卖出超越市场表现的证券(预期下跌),而买入低于市场表现的证券(预期上涨)。

　　(4)协整(Cointegration)和统计套利

　　将协整技术运用于资产配置最先由Lucas[35] (1997)提出的。具有如下主要特征:

　　第一,跟踪误差的均值回复、增加投资比例的稳定性和更好的运用证券价格所反映的信息;第二,允许灵活设计多种融资和自融资交易策略;第三,从指数投资和增强型指数投资到空头多头(long-short)市场策略和alpha转移技术。许多交易策略能够通过使用协整关系来建立。

　　A 指数追踪(Index tracking)

　　第一种基于协整的交易策略是经典的指数追踪,旨在复制某种指数的收益和波动。

　　指数追踪包括两种同等重要的阶段:第一,蹄选股票进入追踪帐户;第二,基于协整技术确定组合中各资产的配置。

　　B增强型指数追踪(Enhanced index tracking)和统计套利在建立简单的指数追踪策略后,自然的扩展是挖掘协整组合跟踪潜力的方法:首先复制某种自制的指数,该组合通过“加减”组建的组合是线型的超越或者落后大势每年一定的年收益率。然后,自融资的多头-空头组合能够通过卖空组合来追踪“减“基准指数,同时可以组合头寸的多头来跟踪“加“基准指数。这种统计套利策略可以利用“加“或“减”利差(双重alpha)来产生收益,并且拥有相当低的波动率,且与市场回报没有显著的相关关系。

　　此外,Burgess[26](1999)提出基于协整的统计套利的三个步骤:1、构建多头头寸和空头头寸组成的资产组合,检验动态价格或收益的预测能力;2、构建协整回归模型,建立误差修正机制;3、实施交易策略,幵放资产收益中可预测的部分。

　　从上文对统计套利的介绍来看,统计套利策略的构建与应用,首先需要找到具有高相关性,且具有长期均衡关系的期货合约对,如何定义高相关性和长期均衡关系将是关键。在本文第四章的实证分析章节中,将借助统计原理,用协整检验方法寻找满足这两个要求的期货合约对,进行统计套利的实证。

　　2.4统计套利的检验方法

　　本节包括了单位根检验中的ADF检验方法、协整关系的检验原理及主要步骤。

　　(1)单位根检验

　　由于在验证涉及的变量之间是否存在协整关系,需要相同数量的价格序列间有同一个单位根,即同阶单整。因此,单整检验是协整分析的第一步。对于非平稳时间序列的方法一般是将其转化为平稳序列,让投资者可以应用平稳时间序列的方法,以进行后续的研究。

　　(2)协整理论

　　如果一些经济指标被某种经济系统联系在一起,那么从长远来看这些变量应该具有均衡关系,这是建立或检验模型的基本出发点,协整可以被视为这种均衡关系的统计表达式。协整即存在共同的随机性趋势。协整检验的目的是决定一组非平稳序列的线性组合是否具有稳定的均衡关系。正是由于协整传递出了一种长期均衡关系,若是能在看来具有单独随机性趋势的几个变量之间找到一种可靠联系,那么通过引入这种“相对平稳”的联系对模型进行调整,可以排除单位根带来的随机性趋势,即所称的误差修正模型。

　　在进行时间系列分析时,传统上要求所用的时间系列必须是平稳的,即没有随机趋势或确定趋势,否则会产生“伪回归”问题。但是,在现实经济中的时间系列通常是非平稳的,可以对它进行差分把它变平稳,但这样会让则失去总量的长期信息,而这些信息对分析问题来说又是必要的,所以用协整来解决此问题。本文将主要应用Engle和Granger[29](1987)提出的协整检验方法。这种协整检验方法是对回归方程的残差迸行单位根检验。

　　从协整理论的思想来看,自变量和因变量之间存在协整关系,即因变量能被自变量的线性组合所解释,两者之间存在稳定的均衡关系,因变量不能被自变量所解释的部分构成一个残差序列,这个残差序列应该是平稳的。因此,检验一组变量之间是否存在协整关系等价于检验回归方程的残差序列是否是一个平稳序列。应用ADF检验来判断残差的平稳性,进而判断因变量和解释变量之间的协整关系是否存在。从而判断两个时间序列之间是否存在关联。

　　(3)向量误差修正

　　向量误差修正模型(VEC)是一个有约束的VAR (value at risk)模型,并在解释变量中含有协整约束;因此它适用于已知有协整关系的非平稳序列。当有一个大范围的短期动态波动时,VEC表达式会限制内生变量的长期行为收敛于他们的协整关系。因为一系列的部分短期调整可以修正长期均衡的偏离,所以协整项被称为是误差修正项。以上的一些检验和向量误差修正可以在EVIEWS软件中方便地进行操作并计算出结果。

　　(4)自回归模型与协整

　　自回归模型,可能是所有领域中,最常被应用的一种时间序列模型结果。这个模型的前提假设是,可以通过对时间序列中最近期间的数值进行加权平均,来预测序列未來值。自回归模型,经常以ARIMA模型的形式出现,ARIMA代表的是自回归整合移动平均模型。在研究自回归模型的结构前,对两个时间序列进行差分运算。如果差异值呈现出自回归结构,那么运用于原始价格序列的模型,就被称为“整合“自回归模型。

　　由此,可以很顺利的引出协整的概念。通常,通过观察可以发现,几个时间序列似乎受到某种相互关联的关系驱动,呈现出共同运动的趋势;常见的情况包括:1.其中一个序列驱动了另一个序列;2.多个序列同受共同的潜在过程所驱动。ARIMA模型的多元表达形式,可以表示这类非常错综复杂的结构,包括,同时发生的情况,以及滞后反馈的关系。

　　所谓的“协整”,就是如果有两个(或多个)序列,各自都变现出非稳定的状况,但是它们之间的差异(计算为价差),却呈现出稳定的状态(可以将其理解为“用自回归的方式得到较好的近似结果”),那么,就可以认为这两个(或者多个)序列之间存在协整关系。换句话说,这些序列之间的差异可以用自回归模型进行恰当表达。

　　2.5统计套利的应用前景

　　统计套利者运用依赖于计算机模型的高速交易技巧来探测市场上价格波动的异常。

　　晨星(Momingstar)的统计套利指数在2008年下跌了 6.21%但它们在晨星1000对冲基金指数下跌22.41%和标准普尔(Stand&Poor) 500指数下跌38.5%的年份里,相比于其他基金来说还是表现不俗的。

　　统计套利策略在国外的对冲基金及其他大型机构投资者中已经应用了很长时间并已经很成熟了,那么,在国内情况又是如何呢?据了解,国内对冲基金的主要市场参与者包括:私募,券商资管,基金专户;产品形式包括:信托,有限合伙,信托嵌套有限合伙,券商小集合,基金一对多;主要策略包括:量化阿尔法策略,股指期货期现套利,统计套利策略等。我国的对冲基金在2011年底前不足100亿,截至2012年底估算总规模在200亿左右。目前我国对冲基金的现状中面临的困难有:市场处于初级阶段,投资者群体缺失;投资者对收益的预期过高;缺乏知名品牌的示范作用;募资困难,过于依赖银行等渠道;监管模糊,缺乏正式身份;投资所得纳税的多重标准;外汇管制,无法全球配置和跨境交易;金融工具的匮乏。与此同时也面临着越来越多的机遇,包括有市场前景的巨大;中国的数十万亿存款和理财资金;中国拥有世界上最大的新富阶层;投资者的风险偏好有逐步降低的趋势;未来几年金融工具将会越来越多。2011年被认为是中国对冲基金的元年,两年过去了,市场还处于培育期,但已经看到越来越多的机构从事相关业务,可以预见市场将会有一个从量变到质变的过程。随着国债期货、转融券、个股期权、股指期权的推出将进一步丰富对冲基金的投资策略,并且,随着新基金法的诞生,在这其中,成熟的统计套利策略也必将占有一席之地。并且,高频统计套利策略,已是国际上对冲基金中的主流策略,而我国的量化交易正在不断摸索进步中,国泰君安证券资产管理的量化产品已经填补了国内在此领域的空白,虽然我国目前的期货投资技术及理念相比于国外还不那么先进,但是,随着我国期货市场的不断发展和壮大,以及越来越多的投资者接受并使用统计套利策略,统计套利策略一定会在不久的将来引领国内资本市场特别是期货市场的创新潮流。