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最优化方法在数学建模中的应用

来源:科技视界 作者:余璟,岳振军,贾永兴
发布于:2021-12-01 共2641字

  摘    要: 计算和建模正在成为数学科学深入发展的强大驱动力,数学建模的思想和方法也被创造性地应用于各行各业和各科学领域。文章介绍了数学建模的含义、基本方法和一般过程,并介绍了最优化方法的相关理论,以及最优化方法在数学建模中的具体应用。

  关键词 :     数学建模:最优化方法,数学应用;

  1 、数学建模

  1.1 、数学建模的含义

  数学建模(Mathematical Modeling)是近几十年来出现的新词汇,但是运用数学方法解决那些数量规律的实际问题,却是始终伴随着人类社会的产生和发展的[1]。运用数学方法解决实际问题的首要一步是建立研究对象的数学模型,再借助计算机加以计算求解。数学模型,是对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要假设,运用数学符号、数学公式、程序、图形等对问题本质属性做出抽象而又准确的刻画,便于人们更深刻地认识所研究的对象[2]。

  针对某一对象或问题建立数学模型,能够对客观规律进行量化的准确描述,或根据已有信息估测某特定参数的变化趋势,以便于做出合理决策。

  1.2 、数学建模的方法与过程

  数学建模,一般待解决的都是有着实际应用背景的问题,往往还需要相关的详细资料。建立数学模型的方法多种多样,常见方法包括机理分析方法、构造分析方法、直观分析方法、数值分析方法等[3]。

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  数学建模的一般过程如图1所示,其中,问题分析指的是分析待解决的实际问题和已知信息,明确要解决的问题是什么;模型假设指的是对问题进行合理的简化,抓住问题中的主要矛盾,合理地忽略次要矛盾,能够提高建模的效率和成功率;模型建立指的是综合运用数学方法建立实际问题的数学模型;模型求解指的是采用数学知识求解数学模型中的变量,对于较为复杂的模型,模型求解往往需要借助计算机来实现;求解模型后,还需要对求解的物理内涵和实际意义做出必要解释,并说明该模型的适用条件、分析解的误差,等等;最后,还要将所建立模型以及求解结果应用到实际问题中,进行检验和修正,建模工作才算基本完成。

  图1 数学建模的一般过程

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  2 、最优化方法的概念

  “优化”是生活中经常使用的词:坐出租车时希望司机不绕弯路、走优化路线;逛超市时考虑各种优惠活动,希望获得最大优惠;企业推出新产品要综合考虑成本与市场吸引力,对资金进行优化配置,等等。这些问题都是“最优化问题”,也是数学建模中的典型问题,解决最优化问题的数学方法就是“最优化方法”。最优化方法的出发点是系统思维,最优化方法的基本思路是在一定的约束条件下,保证各方面资源的合理分配,最大限度地提升系统某一性能或系统整体性能,最终实现最理想结果。

  运用最优化方法建立并求解数学模型,主要包括以下步骤:

  (1)明确目标,分析问题背景,确定约束条件,搜集全面的客观数据和信息;

  (2)建立数学模型,构建变量之间的数学关系,设立目标函数;

  (3)分析数学模型,综合选择最适合该模型的优化方法;

  (4)求解模型,通常借助计算机和数学分析软件完成;

  (5)对最优解进行检验和实施。

  3 、最优化方法在数学建模中的应用

  3.1 、梯度下降法

  梯度下降法是经典的最优化方法之一[4],其核心思想是高等数学中的导数理论。梯度下降法实现最优化的原理是,每次迭代更新目标函数时,都以该变量导数(即梯度)的反方向作为更新参数的方向,最终解一定会收敛于最优解。这个原理类似于走下坡路时,总是沿着最陡峭的方向向下走,最后就一定会走到坡底。

  梯度下降法的实现简单,但是求解计算时间长,因此基于梯度下降法发展了很多改进算法,包括随机梯度下降法、小批量梯度下降法等,能够有效改善计算成本高的问题。

  3.2、 惩罚函数法

  惩罚函数法,指的是引入惩罚因子和惩罚函数的最优化方法[5]。具体来说,惩罚函数的思想是:将最优化问题中的约束条件视为围墙,而迭代更新的解视为在围墙内运动的粒子,一旦粒子靠近围墙,对应的惩罚因子数值就会增大,导致惩罚函数值增大,反之,粒子远离围墙时,惩罚函数值就减小。建立了这种惩罚机制后,在每次迭代过程中,模型为了“避免被惩罚”,逐渐趋近于约束边界,从而找到了最优解。

  惩罚函数法对模型的训练虽然“简单粗暴”,但是原理直观、实现门槛低,是实际工程中备受青睐的最优化方法。

  3.3 、遗传算法

  不同于梯度下降法和惩罚函数法,遗传算法并非依据导数理论提出的算法[6],而是一种模拟生物在自然届中进化规律的一种智能算法。自然界的生物进化遵循适者生存和优胜劣汰,即能够适应环境变化或基因变异的个体才能够参与到进化。遗传算法的优化原理与之类似:每一次迭代时,通过计算各个个体的适应度,从中随机地选择两个个体作为父母,繁殖后代,同时诱发子代的染色体变异,重复迭代,当出现最大适应度的子代时,即认为获得了最优解,循环结束。

  与梯度下降法、惩罚函数法相比,遗传算法以生物进化为原型,收敛性较好,在计算精度要求时,具有计算时间少、鲁棒性高的优势。

  3.4 、蚁群算法

  与遗传算法类似,蚁群算法也是受启发于生物的一种最优化方法[7]。生物科学家发现蚂蚁经过的路上都会有一种特殊物质,并且蚁群中的蚂蚁对该物质高度敏感,由于该物质浓度越高,代表着路途长度越短,想要走“捷径”的蚁群们都会选择浓度较高的道路行走,“捷径”经过的蚂蚁越多,特殊物质的浓度就越高,物质浓度积累到一定程度,所有蚂蚁都会被吸引到最佳捷径上来,都能以最快速度找到食物了。蚁群算法解决最优化问题,就是利用了其分布计算和信息正反馈的特点。

  蚁群算法适合解决参数多、纬度高等复杂问题,但同时容易陷入局部最优解,因此针对该方向的改进算法也是近年来的研究热点。

  4 、结语

  最优化问题是实际应用中常见的一类问题,关于最优化方法的讨论与研究也一直是相关领域的热点。为不同的数学模型选择合适的最优化方法,是数学建模领域最有价值的研究方向,不仅促进了数学方法的深入探究,也推动了科学和工程的进步。

  参考文献

  [1]赵天绪,阎思让高等数学下[M].北京:高等教育出版社, 2014.

  [2]房少梅数学建模理论、方法及应用[M].北京:科学出版社,2014.

  [3]崔建斌在高校理工科高等数学教学中渗透数学建模思想方法探索[J].德州学院学报, 2014(6):102- 105.

  [4]杨涛,刘文杰,丁宁.基于梯度下降算法的神经网络模型研究[J]网络安全技术与应用。2013(4):75-77.

  [5]李智勇.半定规划的微分代数算法和系列惩罚算法[D]福州:福建师范大学, 2006.

  [6]包子阳,余继周基于MATL AB的遗传算法及其在稀布阵列天线中的应用[M].北京:电子工业出版社, 2017.

  [7]李杰宇,代皓天浅析群智能优化算法的应用[J]科教导刊(电子版) , 2018(2):253.


作者单位:陆军工程大学通信工程学院
原文出处:余璟,岳振军,贾永兴.数学建模中的最优化方法探讨[J].科技视界,2021(30):66-67.
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