任意角三角函数概念的教学设计及其效果分析

　　0、 引 言

　　三角函数是高中教材中的一种重要函数,与其他函数相比具有很多重要的特征: 它以角为自变量,是周期函数,同时也是解决其他问题的重要工具,与后续学习的很多内容有联系. 作为高中阶段最后学习的一个基本初等函数,是深化函数性质的极好素材,因此在教学上受到教师的足够重视. 但是从实际教学效果上来看学生掌握的内容并不理想. 造成这种结果有以下几个原因: (1) 混淆初高中所学三角函数的定义,认为高中所学的内容就是在初中所学内容基础上的推广,任意角三角函数仍然是解决三角形边角关系的工具,没有体会其中所蕴含的函数思想. (2) 对于弧度制的引入和单位圆的定义在认知上存在障碍.为了解决上述问题,本文从 HPM 的视角下重新对三角函数的内容进行整合,探索符合学生认知规律且顺应三角函数历史发展规律的教学设计. 希望能为教师教学提供一点帮助.

　　1、 HPM 理论简介

　　“1972 年,在第二届国际数学教育大会上,成立了数学史与数学教学关系国际研究小组(International Study Group on the Relations betweenHistory and Pedagogy of Mathematics,简称 HPM) ,这也标志着一个数学教育研究的新领域出现. HPM 研究主要内容包括: 数学教育取向的数学史研究、基于数学史的教学设计、关于相似性的实证研究和数学史融入数学教学的实践探索”. 数学史的引入对数学教学的确有一定的促进作用,但是如何引入、引入哪些内容,一直是困扰着老师们的问题,尤其在国内研究此领域的内容比较匮乏,因此在实际教学中有很多老师选择避而不谈或是简略带过. 数学史在数学教学中的运用方式通常有 3 种,一是提供直接的历史信息,二是借鉴历史进行教学,三是开发对数学及其社会文化背景的深刻觉悟. 其第二种方式就是发生教学法,通常所说的 HPM(数学史与数学教育关系) 视角下的数学教学采用的主要就是这种方法. 从哲学家、教育家和数学家的论述可以看出,发生教学法是一种借鉴历史、呈现知识自然发生过程、介于严格历史方法和严格演绎方法之间的一种方法. 本文基于 HPM 理论的背景下,以三角函数的概念教学为例,试图找到将数学史与数学课堂完美融合的思路,为今后教师在教学中融入数学史提供参考案例,并将数学史在数学课堂的作用发挥到最大.

　　2、 三角函数概念的历史及其重构

　　三角函数概念的发展前后经历了 4000 多年,从早期在天文学中应用的三角学知识可以追溯至古巴比伦年代或者更早. 古埃及人由于尼罗河不定期的泛滥而遭受打击,因此他们注意观察尼罗河泛滥的规律以及时间. 后来人们注意到每逢天狼星于黄昏之后升起的日子尼罗河就会泛滥. 于是人们就开始记录天狼星与太阳的位置,人们为了解决实际问题引入了角等概念. 但是这并不是严格意义上的三角学,只能算是三角学的前身,是一种对天文观测结果进行推算的方法. 三角学最早的创建者是希腊数学家 Hipparchus(约公元前 180 ~ 公元前 127) 被称为三角学之父. 为了定量地解决天体的位置问题,他将球面三角方法引用于此,并且制作了弦表. 弦表是在固定的圆内不同圆心角所应的弦长,此时的正弦指的是圆弧所对弦的弦长相当于现在圆心角一半的正弦线的 2 倍. 后来 Ptolemy(约公元 100 ~ 178) 在此基础上又丰富了弦表. 在 Ptolemy 的弦表中,弦指的是当圆的半径为 60 时弦的长度,而不是一个比值.而印度数学家 Aryabhata 与希腊人的做法不同,他默认曲线和直线可以用同一单位,此时他计算的弦是圆弧所对弦的半弦长,相当于现在所指的正弦. 其后Regiomontanus(1436 ~ 1476) 在他的著作《论各种三角形》中首次对三角学做了完整、独立的阐述,使三角学正式从天文学中独立出来. 在书中采用了印度人的正弦,即圆弧的半弦,明确使用了正弦函数这一概念. 讨论了一半三角形的正弦定理,提出了求三角形边长的代数解法,给出了球面三角形的正弦定理和关于边的余弦定理. 后来哥白尼的学生、印度数学家 Rheticus(1514 ~ 1576) 最先给出角的正弦概念,把原来说弧的正弦改成了说锐角的正弦. 三角形就形成了三角关系的基本结构,相应的圆成了从属.他把正弦、余弦、正切等定义成直角三角形的边长之比,从而使平面三角学从球面三角学中独立出来,至此三角学真正形成了. 总之 16 世纪,三角学从天文学中分离出来,成为数学的一个独立分支,值得注意的是,这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数,而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算. 一直到 17 世纪,三角仍然是常量数学的主要内容,直到 1729 年 Euler研究插值的方法时用三角级数表示了函数,函数的思想成了三角学的组成部分,变量数学占据了核心地位. 随着解析几何和微积分的建立,三角函数的严格解析理论建立了,正弦不再是线段,而是变成了数值,是单位圆上点的纵坐标,而三角级数在实变函数的基础上又形成了另一门重要的数学分支—调和分析.根据上面的历史发展顺序,三角函数概念(以正弦为例) 的发展历史大致可以分为正弦是圆弧所对的弦的弦长,正弦是圆弧所对的弦的半弦长,正弦是比值,正弦是单位圆上点的纵坐标. 概括的说就是经历了几何的三角学,代数的三角学,解析的三角学. 学生在初中学习的锐角三角函数的内容,相当于代数的三角学,是用来解决三角形三边关系的主要工具. 而后来当用解析的眼光来看待三角学的时候,三角函数是用来刻画函数性质的工具而不再拘泥于解决三角形边角关系的问题,而任意角的三角函数的研究与圆周运动密不可分. 所以锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间关系而发展起来的,任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的,他们研究的现象不同,表现的性质也不同,我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广(或一般化) ,又不能把锐角三角函数看成是任意角三角函数在锐角范围内的“限定”.学生在高中学习的任意角三角函数的内容应该是以函数的眼光来对待,认真体会其作为函数的一些性质,尤其是周期性. 因为三角函数是刻画现实事物周期性很好的一个模型. 教材(人教 A 版) 只是在第一节内容上安排了任意角与弧度制的内容,接下来就用单位圆给出了任意角的三角函数,教师的普遍作法也是回顾初中锐角三角函数的定义,然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广的任意角三角函数. 这种讲法无疑就把学生陷入一个误区,即任意角三角函数是锐角三角函数的推广,自然有很多同学认为任意角三角函数仍然是研究三角形三边关系的工具只是不再局限于锐角三角形,也有很多同学排斥单位圆的定义,觉得不如初中给的“比值法”好,不直观难用来计算. 尽管这样的处理方式很直截了当,但对照发生教学法我们发现这种做法存在以下不足: (1) 没有讲明高中学习的三角函数与初中学习的锐角三角函数研究的内容和方法都不同,容易造成学生的概念混淆. (2) 没有很好的利用单位圆,单位圆是函数周期性的一个很好的体现,在三角函数的后续学习中有很大的作用. 但学生在教师的实际教学中体会的很少.基于发生教学法,考虑学生在了解三角函数发展历史之后,就不会陷入锐角三角函数同任意角三角函数概念混淆的误区,能更好的认识单位圆在研究三角函数中的重要作用,体会其作为一个周期函数的性质等等,因此对三角函数的概念的历史进行重构以便于教学.

　　3、 任意角三角函数概念的教学设计

　　基于三角函数概念(以正弦为例) 的发展历史,讲其进行重构并应于实际教学. 如图 1:

　　3. 1 学情分析

　　学生在前面一节已经学习了弧度制,从弧度制一课来讲数学史的引入就很有必要,很多学者在前面的研究中已经给出了很多宝贵的建议. 在前一节的很好的铺垫下,学生已经体会到引入弧度制的必要性,这也为本节学习单位圆打下了良好的基础. 学生在初中已经学过锐角三角函数的定义,对三角函数(正弦、余弦、正切) 有一定的了解,而且学生通过弧度制的历史回顾,已经了解了锐角三角函数在解三角形中的作用. 因此我建议对于锐角三角函数的概念的回顾可以放在弧度制一课对弧度制的历史回顾之中完成,因为在弧度制最早的也是为了解决三角形边角关系的情况下产生的. 是区别于角度制的另外一种度量方式. 而在本节课任意角的三角函数中,先不要提及锐角三角函数的定义方式,以免学生发生概念的混淆. 等到学生熟练掌握了任意角三角函数的概念以后,再把初高中学习的内容进行对比,这样即可以帮助学生建构知识体系,也能让学生更好的体会任意角三角函数作为函数的性质.

　　3. 2 教学情景设计

　　高中生具有丰富的生活经验和联想,因此从现实生活入手更能激发学生的学习兴趣. 如观察: 钟表指针的旋转、自行车轮子的旋转、摩天轮、跳水运动员优美的动作,这些周期现象中都存在着超过 180°的角,而且形成的图形都与圆有关,那么我们如何研究这种周期现象呢? 任意角的三角函数是我们的好帮手,回顾历史我们可知,正弦和余弦是一对起源于圆周运动,密切配合的周期函数,是圆对称性的直接反映. 因此三角函数也叫圆函数,我们今天学习的内容与初中学习的锐角三角函数存在很大的差别. 就此借助单位圆引入任意角三角函数的概念.

　　3. 2. 1 任意角三角函数概念的教学片段

　　问题一: 如何借助圆来研究三角函数?

　　回顾历史上数学家的做法,三角学最早起源于天文学,而三角函数是用于研究圆内接图形(主要是三角形) 的工具,随着后来的发展是用于研究确定行星位置的工具. 那么如何借助于圆来研究三角函数的内容呢? 通过观察几组图片,钟表两个指针的运动轨迹、自行车轮子旋转等图片,激发学生的兴趣. 显然我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到角的顶点的距离为 1(方便定义三角函数) ,随着角度的任意扩大,以这个点旋转一周的轨迹—圆,来帮助我们学习三角函数. 虽然在此处没有提到,这是数学家欧拉的做法,将单位圆的半径定位 1,大大方便了我们研究三角函数的过程. 我们在此引入单位圆的定义: 在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆.

　　问题二: 如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

　　如图 2,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y) ,那么: (1) y 叫做α 的正弦(sine) ,记做 sinα,即sinα = y; (2) x叫做α 的余弦(cosine) ,记

　　问题三: 任一点 P 的选择,对于任意角三角函数的值有没有影响?

　　回顾最初引入单位圆的过程,学生借助于相似三角形的知识可以得到点 P 的选择对于任意角三角函数的值没有影响.

　　问题四: 任意角的三角函数符号的确定与点p(x,y) 的坐标有什么关系?

　　引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析,r >0,三角函数值的符号决定于横坐标、纵坐标的正负.问题五: 如何借助单位圆研究三角函数的周期性?

　　我们观察图形发现,角度每变化 360°的整数倍的时候,角的终边又回到了同一位置,因此终边相同的同名三角函数值应该相等. 这样一来可以把求任意角的三角函数值,转化为求 0 到 2π(0° ~360°) 角的三角函数值,简化我们的计算.课后思考: 观察单位圆,我们可以得到同角三角函数之间存在着哪些关系呢? 为一下节课研究同角三角函数的关系做好铺垫.

　　4、 课堂实施与问卷调查

　　按照 HPM 视角下的教学设计,研究者在 2013年于北京市某重点高中实习期间做了充分的调查研究,并进行了课堂教学的实践. 该校在高中一年级学习完必修一之后接着学习必修四的内容,可以说为任意角三角函数内容的学习做了良好的铺垫. 该校文理科班级比例为 1: 3,考虑到文科班的同学对于历史更感兴趣效果应该优于理科班,所以选择 2 个理科班,1 个文科班来进行教学. 但是结果却出乎意料,理科生对本节课表示出了浓厚的兴趣,甚至热情高于文科班. 以下是对某个理科班同学的课后访谈片段:

　　T(教师) : 对今天这节课的感觉如何?
　　S(学生) : 挺好的,感觉比以往新颖,似乎更有兴趣了.T: 你理解今天所讲的任意角三角函数与初中学习的锐角三角函数的差别了吗?
　　S: 理解了,初中学习内容是研究三角形边角关系的,现在学习的是具有函数性质的. 不是同一个内容.S: 那你理解在这里引入单位圆的作用了吗?
　　T: 差不多吧,圆具有周期性、对称性,用来研究三角函数很好. 最后老师又问了一个问题,感觉还有内容要学习.T: 那今后采用这种方式上课怎么样?
　　S: 好啊,不容易溜号了.图 3 是对全体授课班级同学学习情况的统计,我们可以看到本节课的教学效果还是显著的.

　　三角函数历史悠久,有几何的、代数的、解析的视角,现在向量也进入教材,三角函数和向量、复数之间的关系也应引起教师重视,教师把对三角函数概念的理解局限于一节课、一章里是不对的,学生对一个概念的理解不是一蹴而就的,需要一个循序渐进的过程. 作为教师更要有全局观念,在教三角这一章时要用三角的眼光看待后续内容,适当的选择教学方式方法. 因此建议教师在教授任意角三角函数概念的时候,不要把对学生理解此概念的任务放在这一节里,而是在整个单元的教学中都要反复的重视学生对任意角三角函数概念的理解情况. 从本课的课堂反馈和效果调查来看,基于 HPM 视角下的教学设计对于学生深刻理解数学概念有一定的促进作用.

　　5、结论与反思

　　人的认识过程与人类认识的过程是基本一致的,所以我们需要研究数学史. 了解数学发生和发展,数学发展的历程也应在个人身上重现,使我们懂得应该怎样安排学习顺序,应该选择哪些有生命力的内容. 教师在这一环节中起到了重要的作用.从实际教学上来看数学史虽然在数学课程标准和教材中都有明确的要求,但在实际课堂教学中却几乎没有融入,即存在“高评价、低应用”、理论层面和实践操作层面相脱离的现象. 虽然实际教学中,教师需要查阅大量的历史资料并对其进行重新整合才能适用于课堂的教学,费时又费力,数学史在教学中的运用确实存在一定的困难. 但是我们不能忽视其作用,应该思考如何借助这一高效高产的方法提高我们教学的效果,让学生了解数学的来龙去脉,体会其发展过程中蕴含的深刻数学思想,真正让学生领会到数学的魅力,充分的激发学生的学习兴趣.

　　参考文献:
　　[1] 汪晓勤. HPM 研究的内容和方法[J]. 数学教育学报,2006,2(1) : 18.