4.2 数学史融入解析几何中的概念教学的案例设计
由于现行的考试制度以及课时安排的问题，在圆锥曲线这一章的教学中，我们往往直接给出三种圆锥曲线的定义，然后求标准方程，对于概念的来源等等并不交代，导致学生只能靠死记硬背记住定义，记忆效果往往大打折扣，本案例从历史上圆锥曲线的发现发展出发，力求让学生自己发现椭圆的定义，从而牢固的掌握这一概念。教学设计如下：
4.2.1 动手截圆锥，体验椭圆形成
PPT 导入（几张有椭圆的照片，如卫星的轨道，椭圆形的建筑物等）师：同学们看看上面几张图，看到了哪个图形？
生：椭圆。
众所周知，用一个平面截圆锥面，当平面经过圆锥面顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直，截得图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。
师：用平面截圆锥面，如果改变平面与圆锥面的相对位置，是否可以得到其他曲线呢？
在学生思考、猜想的基础上，笔者运用动画引导学生探究，截得的三种曲线，我们分别把它们叫做椭圆、双曲线和抛物线。
师：用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，最早是由 2000 年前古希腊数学家阿波罗尼斯（公元前 262-公元前 190）采用的，他命名这些曲线为圆锥曲线，并用纯几何方法取得了高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结论，吸引了无数个数学爱好者为之着迷。
阿波罗尼斯撰写的名着《圆锥曲线》中，通过改变截面的位置截一个对顶斜圆锥得到三种圆锥曲线，对椭圆等圆锥曲线进行了深入研究。其内容广泛，解释详尽，几乎网罗圆锥曲线的所有性质。
师：我们也来试试大师的方法。下面哪些截面是椭圆呢？
（1）球被平面所截；（2）圆锥被平行于底面的平面所截；（3）圆锥被平面斜截；（4）圆柱被平面斜截；（5）圆柱被平行于底面的平面所截生：（3）和（4）。
设计意图：师生通过截图、猜想、演示等探究活动，经历平面截圆锥面从特殊到一般的不同截取方法，在直观感受圆锥曲线的截取生成过程的基础上，推出圆锥曲线的概念，展开对椭圆的进一步研究。通过融入数学史，不仅可以让学生了解椭圆本身所蕴含的历史文化，而且能够提高学生学习数学的兴趣，培养学生感受数学魅力、探究数学本质的学习期望。
4.2.2 研究旦德林双球，发现椭圆特征
师：古希腊的数学家们发现了很多椭圆的性质，我们也来尝试一下。
PPT 动态演示圆锥的旦德林双球模型（苏教版教科书采用了圆锥的旦德林双球模型），可以发现椭圆的数量关系，即得到椭圆的第一定义的初步形式：到两焦点的距离之和是一个定值。
如图 1 所示，在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切。 两个球分别与截面相切于点 E ,F ,在椭圆上任取一点 A,过 A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点 B ,C ,你能发现哪些等量关系？
生：因为 AF ,AB 分别与小球相切于点 F ,B,又 AF ,AB 所在平面截小球的切面是圆， AF ,AB 是同一个圆的两条切线，所以 AF = AB. 同理， AC = AE. 于是，AB + AC = AF + AE.
师：很好！上述等量关系是定值是吗？
生：BC 是两个球与圆锥相切得到的圆台的母线长，因而， AB + AC = BC为定值。 所以椭圆上动点 A到两个定点 E ,F 距离之和为定值。
师：这就是数学家发现椭圆的重要特征。
设计意图：师生通过对旦德林双球研究椭圆重要特征的互动探究，从而获得椭圆的截线定义。 让学生经历数学实践的探究过程，有利于学生从生动的椭圆表象中获得椭圆的截线定义，从而为沟通椭圆原始形态与解析几何形态奠定了良好基础，加深了对椭圆概念本质的认识。
4.2.3 依托数学实验，导出椭圆定义
师：画圆我们有圆规，那我们怎么画一个椭圆呢？早在 17 世纪的时候，荷兰数学家舒腾发明了椭圆的三种作图工具。我们看看选择哪种最简便呢？
4.2.4 建立坐标系，推导椭圆标准方程
师：得到了椭圆的定义，我们来探求它的方程。
4.2.5 教学感悟
从截圆锥的实验活动中认识椭圆，从研究旦德林双球中发现椭圆的重要特征“一动点到两个定点的距离的和为定值。”这为椭圆的定义作好了铺垫。从旦德林双球探究活动中让学生体验到椭圆的悠久历史，感受椭圆的无穷魅力。引导学生运用荷兰数学家舒腾发明的椭圆的三种作图方法之一（拉线作图），尝试椭圆作图活动，体验椭圆的形成过程，理解和掌握椭圆的定义，感悟数学家的高超智慧。椭圆的圆锥截线定义源于椭圆的原始形态，是椭圆概念的本质，而椭圆的轨迹定义是解析几何的产物，便于建立椭圆的方程，用代数方法研究椭圆的性质。然而传统椭圆教学下学生头脑中的两种椭圆表象是彼此割裂的。缺乏椭圆基于生活中椭圆表象的截线定义，当然更不能将椭圆的截线定义与轨迹定义融合。基于数学史的椭圆的概念教学借助于旦德林双球沟通了椭圆的截线定义与轨迹定义，由截线定义跨越了复杂的基本性质推导过程直接过渡到轨迹定义，便于学生的理解，使得学生在掌握解析几何典型范例的基础上同样能够把握椭圆概念的本质。
在数学发展史上，椭圆有各种各样的定义方式，相应的椭圆方程的推导方法也有许多种，可谓精彩纷呈，而即便是用椭圆第一定义进行概括的，建系不同则方程也不同。现行教材上呈现的“两次平方法”只是数学史上众多方法中的一种通法而已，其核心是如何化简含有两个根式的问题的常用方法。虽然这种方法运算比较繁琐，但是学生容易理解。洛必达的“和差法”,方法巧妙，运算简捷，而且也具有通法，因为此法同样适用于双曲线方程的推导。虽然此法学生不易想到，但是作为一种有价值的研究问题的方法，在课堂上介绍“和差法”,有利于拓展学生的思维，增强学生思维弹性。教材上呈现的知识已经不是当初数学家发现时的情况，如椭圆标准方程的推导便是一例，把数学史上数学家各具特色的方法逐渐放弃并趋于单一，以至于现代的我们已经不知道原先曾经发生过的精彩。赖特的“平方差法”
