第3章 数学史融入高中数学的概念教学的探究
任何数学概念都不是凭空捏造出来的，都有其深邃的渊源和深远的背景。 由数学发展史可知，每一个重要的数学概念的形成和发展，都要经历很长的时间，如数学家花了一千年才理解负数，花了几千年才认识无理数，从伽利略到狄利克雷，数学家一直绞尽脑汁去理解函数的概念等，这些都充满着人类不断探索和对真理不懈追求的精神，因此，在数学概念教学中，教师可以从数学概念发展史过程中挖掘有价值的史料，将数学史融入数学概念教学之中。 要真正理解数学概念，了解它的来龙去脉是一个极其有效的途径，这就需要我们将数学史融入数学概念教学的课堂中。那么，究竟如何“融入”呢？
3.1 数学史融入高中数学的概念教学的基本原则
不同层次不同角度的数学史内容融入到高中数学的概念教学中是十分有意义的。 但数学史在概念教学中的应用还应遵循的一定的原则。主要有：引入数学史须遵循科学性原则；应用形式应遵循“融入式”;根据教学内容和学生情况选择合适的数学史内容；遵循再创造的原则获得概念：采用灵活多样的教学方式，提高学生的参与程度；等等。
3.1.1 科学性原则
科学性原则是指融入到高中数学的概念教学中的数学史内容必须是数学史研究中公认的，有定论的，符合历史事实的正确史料与结论，具有客观性与确定性。
应尊重历史事实，以实事求是、科学理性的态度审视与选取融入到高中数学的概念教学中的数学史知识。 所选史料应有科学依据，不可随意虚构、编造演义与艺术加工，也不能流于奇趣而失之严谨，教师所运用的数学史内容符合历史事实的史料。
3.1.2 融入性原则
数学史在数学教学中的应用方式主要有两种：一种是将数学史“融入”数学课程，作为数学课程的一部分；另一种是将其看作独立的，但可为数学教学服务的知识结构。 笔者通过数学教学实践，认为数学史在概念教学中的应用应主要采取前者。
首先，这是由应用数学史的目的决定的。 数学史有三个方面的表现形式：为了历史而历史，为了数学而历史，为了教育而历史。 数学史在高中数学概念教学中的应用应该属于第三种情况。 我们的目标是为了更好的掌握数学概念而应用数学史，那我们在应用时，就必须将数学史的内容穿插于概念教学中，而不是独立在外。
其次，高中数学课程时间紧，任务重。 在高考这一巨大压力下，教师与学生的负担都非常重，让所有的学生在数学课程之外再学习系统的数学史显然是不现实的。 最多是部分学有余力的同学作为一种兴趣来进行。
最后是数学史本身和学生认知能力的冲突决定的。 高中阶段所涉及的数学概念大多数具有很长的历史，例如函数的概念，解析几何的发展等等，且其中过程变化纷繁复杂，高中学生不可能全部接受。 所以，我们在教学时应考虑学生的认知能力，将学生容易接受的，比较感兴趣的数学史内容融入概念教学。
因此，概念教学中应用数学史应当根据概念本身和学生的认知能力，将数学史从历史形态转换为教育形态，增加趣味性，降低难度，让数学史真正融入概念教学，从而发挥潜移默化的作用。
3.1.3 实用性原则
实用性是指所应用的数学史能对学生的数学学习有直接的帮助作用。 数学史知识对概念教学有着极为重要的作用，它既能拓宽学生的视野，了解概念形成的来龙去脉，又能让学生更好的理解概念，提高学生的数学能力。 但是，数学史内容可以用浩瀚来形容，数学史着作往往少则几十万字，多则上百万字，不可能全部介绍给学生。那么，该选择那些内容呢？
我认为，教师应着眼于教学实际，选择对概念教学有价值的，学生容易接受的史料，从而促进学生对概念的理解。 数学史的内容不是简单的一个个故事， 而是有数学味道， 学生能够体会到的数学内容。 大数学家们的发明创造再简洁、再完美、再严密， 中学生自身的知识层面仍会制约他们对这些数学内涵和魅力的欣赏。
因此那些紧扣教材的学生可以真正理解的内容就极为宝贵。 在这些材料上的挖掘也往往许比讲那些对于中学生来说高深莫测的数学定理的名字， 加上几句美好的感叹要有用得多。 只有当学生在对数学的学习中遇到和数学家类似的困惑，才能理解数学家们创造的精髓所在， 才能产生思想上的共鸣。
3.1.4“再创造”原则
弗赖登塔尔认为，学习数学唯一的方式是进行“再创造”,即由学生自己把要学习的东西进行发现和创造。 也就是说我们不能机械的重复历史，而是应该在学习数学的过程中，根据自身的体验，用自己的思维重新创造相关的数学知识。 在数学概念的学习中，这种创造并不刻意指向结果，而是要让学生真正的参与数学活动，在数学活动中建构数学知识，从而认识到数学概念的合理性和必然性。
在高中数学概念教学中，我们一般直接呈现给学生一个完整的固定的数学概念。 就像是餐桌上一盘精美的菜品，我们很难直接从成品看出这盘菜的各种配料及烹制的过程。数学概念的学习，并不能只注重它的定义，否则会让学生觉得数学概念是硬性规定的，毫无生机的东西。数学史告诉我们，每一个数学概念的形成都是数学发展的必然结果，它的发生，发展和完善都蕴含丰富的生活含义。 这种历史的必然性和丰富含义，使学生的“再创造”成为可能。
数学史不但可以给出一种确定的数学知识，还能给出相应知识的创造过程，对于这种创造过程的了解，可以让学生体会到活的、真正的数学思维，而不是数学教科书上那些经过千锤百炼的、几乎天衣无缝的，同时也相对缺少了生气和天然的已经标本化的数学概念。 因此，数学史融入高中数学的概念教学要尽可能使学生身临其境地感受数学概念的发展过程，从而突破现有的框架，能够更加全面的认识数学概念，掌握概念。 有些数学概念也可以引导学生亲自试验或通过几何画板等现代化教育软件演示，从而领悟概念的形成，让学生在动手操作中“再创造”. 要以知识的历史发展顺序，设计符合学生的认知过程的教学过程。 我们不能照搬史料，而应该考虑学生本身已有的数学知识，以“重构”的方式呈现出来，才能既体现数学概念的发生、发展过程，又不至于因为史料的原始呈现而造成阅读理解等的其他困难。
3.1.5 多样性原则
数学概念的形成、数学方法的应用、数学思想的来历、数学定理的审美内涵、数学家们的思维方法及科学与人文精神、数学发展的社会背景、数学的哲学基础等都是极富价值的素材，这些对于学生全面深刻地认识数学和数学的发展都非常重要，也更加富有教育意义。
另外，在数学发展过程中，曾经出现了许多不同的成果；在不同的文化背景下，东西方的数学思想方法虽然有着很大差异但各有其特征和优势。 通过对不同地区、不同时期的数学成果和思想方法的比较，可以让学生认识到数学并不只是属于某个民族、某种文化，可以让学生用更宽广的视野和胸怀去看待数学和身边的世界。 例如，中国的传统数学很重视实际应用，注重理论联系实际、数形结合、寓理于算等等，如《孙子算经》中的“孙子定理”、《张丘建算经》中的“百鸡问题”和《九章算术》中的“盈不足术”等都体现了中国传统数学的特点。 古希腊数学擅长于推理和论证，古希腊思维公理化思想与方法在世界数学发展史上都具有极其重要的地位与作用。
数学是全世界人类孜孜探索，共同创造取得的宝贵财富。 不同的民族、不同的文化使得数学有了不同的特征。 因此，所选取的数学史内容最好能够反映不同时期、不同民族、不同国度、不同文化背景的数学史。 从而引导学生尊重、理解、欣赏多样的数学，了解到各国不同文化背景的思考方式，意识到数学知识是全人类共同的遗产。
3.2 数学史融入高中数学的概念教学的基本要求
高中数学概念教学过程中，教师在引入数学概念时要以恰当的方式融入其发展历史，有利于学生从整体上把握数学概念的发生、发展脉络，感受隐含在概念演变与修正过程中的丰富智慧，对数学概念形成完整、恰当的认识，领悟其中蕴含的数学思维方法的本质。 并在领略数学家们为数学概念的日臻成熟所付出的艰辛与努力，以及所经受的困难与挫折的过程中体验人性化的数学。 所以教师要明确数学史融入高中数学概念教学基本要求。
3.2.1 数学史融入高中数学的概念教学必须为实现课程目标服务
课程目标应该是数学史融入的方向。在教学过程中融入数学史，不是为了让学生掌握数学史内容，而是为了实现课程目标，并提高学生的数学修养。数学史只是辅助和支持的角色，不论是直接使用还是间接使用，都必须服务于课程目标，强调的是融入，而不是讲授，更不能喧宾夺主、本末倒置。 所以，教学史融入概念教学的实践和研究应该紧密联系数学课程，“学究式”地讨论数学史融入并没有什么现实意义，也容易使数学史的融入迷失方向。
3.2.2 数学史融入高中数学的概念教学必须从多角度进行分析
多角度分析是数学史融入概念教学的关键。 数学教学是一个极其复杂的系统。
任何的一个教学要素都有可能影响教学效果。在数学概念教学中融入数学史，不仅要考虑数学史的内部关系，而且要考虑数学史和课程要求、教材内容、学生的认知结构等要素之间的关系以及融入的价值取向和融入的方法。数学史的选择、编写与呈现应该结合高中学生的心理特点、知识接受水平进行综合考虑。 多从现实的、学生熟悉的问题出发，追根溯源，回眸数学发展史上的重要人物和事件，并尽可能呈现某一数学概念研究成果和发展历程。 同时数学史的选取应该密切联系所学的数学概念，再现数学历史原貌，展现数学概念的发生、发展过程，使学生了解数学概念和思想方法的形成过程，促进学生理解数学概念的本质。 只有多角度的分析数学史融入的教学意义，提高教学案例设计和课堂教学活动的效益，才能真正的实现数学史融入的教学价值。
3.2.3 数学史融入高中数学的概念教学必须做好数学史料的积累
新数学课程改革理念指引下，数学史料在高中数学教材中也有了更多的体现，这较之以前的教材有了很大的进步。数学史料不仅仅局限于阅读材料中，例题习题中、教材正文中也逐渐融入了数学史料；数学史料的内容不仅包含数学家的生平与研究成果，也有某一专题的数学历史介绍，内容丰富形式多样；以阅读材料形式出现的数学史料大部分都有资料来源，教材中这一细微点的处理方便教师进一步查找相关资料。 数学史融入高中数学概念教学中，必须要有一定的数学史料的积累。 除了教材当中已经有的数学史料，还可以通过各种渠道搜集与概念教学内容相对应的数学史料，进行认真的筛选，做好资源储备，平时注意积累和筛选。
3.2.4 数学史融入高中数学的概念教学必须注重实用性和科学性相结合
数学教学是一个系统工程，要想实现数学史助益数学教学的目的，就要注重数学史与高中数学概念教学的有效整合。 数学史料繁杂，需要教师深入挖掘和细心加工，并做出自己的诠释和理解，恰当地应用于高中数学概念教学中，才能使数学史与高中数学概念教学融为一体，达到激发学生学习兴趣，提高课堂教学质量的目的。 因此，教师要将学术形态的数学史进行教育形态的转化，将数学史融入高中数学概念教学的课堂，除了遵循实事求是的态度，注意史料的真实性和客观性，自觉纠正数学史失实的现象，还要考虑学生的已有认知水平，数学史料与教学内容的相互融合。
3.3 数学史融入高中数学的概念教学的基本策略
数学史与数学概念教学最直接的结合应该是在课堂上，这种结合方式的最大优点在于教师的引导，教师自身对数学史的理解和感悟将直接影响学生，教师高屋建瓴的数学理解和数学观点势必将给学生以醍醐灌顶之感。
数学史融入概念教学的基本策略是“基于历史发生原理的策略”,“问题策略”和“再创造策略”,即教师要引导学生从“历史”出发，由一系列“问题”的解决“再创造”的获得概念。
3.3.1 基于历史发生原理的教学策略
基于历史发生原理的教学形式的认识基础是学习只能在充分的动机及心智发展的适当时机下才会进行，教学中最重要的不是如何使用概念，而是提供“为什么”的解释和引导。这种模式的教学一般有 4 个步骤：第一步，教师掌握相关主题的历史知识；第二步，在这个基础上甄别历史演化的关键步骤，比如关键的思想、问题和困难等；第三步，适当改造这些关键步骤，使它们便于在课堂上使用；第四步，给改造后的步骤配备一系列难度递增的问题。在这 4 个步骤中，教师和学生可以适当地利用原始文献和二手材料。 第二、三步需要教师熟悉数学发展中出现的困难和学生理解上的障碍，在数学历史的启发下选择问题，激发学习动机，为学习新知识铺平道路。 在第三步中，数学史的融入有两种方式：显性和隐性。显性的融入方式按照历史的顺序组织教学，通过对不同时期的数学的描述，显示数学的演化和发展阶段，进而把学生引导到数学知识的现代形式上；隐性的融入不需要考虑历史顺序，目标自始至终放在现代形式的数学知识的理解上，对于数学史的考察也只需要运用现代的概念和逻辑。
3.3.2 基于数学史的问题策略
为了丰富学生在数学概念学习中的体验，可以将数学概念的形成过程、形式化的数学概念及一些相关的数学史材料转化为数学问题，通过问题情境，在问题的探究过程中“学数学、做数学、用数学”,最终构建出概念的心理表征。
数学概念的教学过程包括概念的形成、表述、辨析和应用（包括概念所涉及的思想方法的运用）等阶段。 在高中数学概念的教学中，怎样设计有效的问题情境，怎样调动学生参与课堂教学活动的积极性，使得学生经历观察、分析、猜想、类比、归纳、概括、抽象、推广等思维活动，探究数学规律，得到新的数学概念，使学生深刻体验到数学概念产生的过程，提高他们对数学概念的认识水平，掌握思想方法，培养数学能力，是数学概念教学首先要研究的问题。
推动数学发展的原始动力一直是数学问题。正是有了各种各样的数学问题，才产生了如此丰富多彩的数学概念。 所以，概念教学的起点应该就是问题。 我们所用的教科书一般是按演绎体系编排的，也就是概念--定理--应用，但历史的真实过程并非如此。 数学教育应当遵循数学发展的过程，教学生要像数学家那样“再创造”的去学习。 学生可以通过对一些历史上数学思想变迁的重要例子的思考、猜想、解决，进而对自己的数学概念形成和理解及重要的观念的改变做进一步的了解。
这项工作需要教师去完成，教师在教学过程中需要对教科书进行加工，使之贴合人类认识这一概念的真正过程。 当然，学生学习概念毕竟不同于数学家的创造概念，因此，通过教学法加工以后所呈现的问题不一定就是数学家创造概念当时所面临的真正问题，但是我们应当遵循这一概念的创造思路设计较为合理的问题情境，并通过适当的指导，使得获得概念的进程加快。数学史的应用问题化，可以从两方面入手：一方面，把概念生成的过程问题化。 一个概念是怎样引入的？
必要性和重要性都是什么？这些问题是区分概念的本质特征和其他特征的关键所在。 因此教学过程中应该尽可能把知识的发生过程转变为一系列带有探究性的问题，使相关材料成为学生思考的对象。 另一方面，要把形式化的数学材料转变为蕴含概念本质特征的、贴近学生实际生活的、适合让学生探究的问题。通过学生亲自动手操作，使数学变得更加亲切，从而把学生引向概念的本质。
3.3.3“再创造”策略
“再创造”策略是指利用数学史的材料进行课堂设计，让学生亲身经历数学知识形成的过程，自主的生成数学概念。
再创造策略可以让学生更好的理解数学概念的形成过程，深刻体会蕴含在其中的数学思想方法，增强其学好数学的愿望和信心。特别是抽象数学概念的教学，要充分关注概念形成的实际背景和过程，从而帮助学生克服机械记忆的学习方式。
弗莱登塔尔说过：“我们不应该遵循发明者的足迹，而是经过改良同时又更好的引导作用的历史过程”,在高中数学概念教学的过程中，应该设置情境使学生经历与数学概念的历史发展相类似的创造过程，但并不是真正的让学生去创造，而是在老师的指导下获得知识。 让学生沿着历史的发展路径，了解某一部分数学概念的来龙去脉，在这个过程中他们的学习也就包含了再创造、再发现的意义。
“再创造”策略应用要求教师的教学设计具有一定的开放性，旨在为学生提供一个“提出问题、探索问题”的空间，从而培养学生勤于思考的学习习惯、坚韧不拔的学习意志和勇于创新的探索精神。信息技术的发展为数学试验提供了更多可能，教师可以使用计算机软件、互联网以及各类数学教育技术平台帮助和鼓励学生利用现代教育信息技术学习数学，提高学生学习数学的创新意识和实践能力。
当然，在实际教学过程中，我们应该综合运用上述各种策略，帮助和指导学生获得数学概念，充分理解数学概念，并能灵活应用概念。
数学史融入高中数学概念教学主要有两种方式：显性融入和隐性融入。 显性融入数学史旨在“描述数学发展的进程”,也就是在数学概念教学中恰当地引入数学史，以提高学生的学习兴趣，这只是数学史融入数学教学的较低层次。 隐性融入是根据数学发展史对所学的数学概念重新设计和加工，制作适用于教学的“历史套装”,主要在于将数学史中的思想方法和数学概念联系起来，使学生在学习中深刻体会其中的方法，这是数学史融入数学概念教学的较高层次。
笔者认为数学史融入高中数学概念教学的有效方式有：
①复制式是直接融入数学史，呈现数学发展史上的数学问题与解决问题的方法，通过探究问题和体验数学家的智慧，来了解数学概念的历史发生、发展过程，从而加深对数学概念的理解。
②顺应式是指对原始数学史料进行适当的筛选、加工、改进、组合与设计，在数学史料中提炼出数学问题，创设符合学生的认知特点和顺应学生思维水平的问题情境，让学生在探究中用现有的知识与经验去解决问题，即引导学生沿着数学思维过程的原始过程进行探索，同时使学生思维过程和数学思想方法产生过程基本保持一致。 让学生充分领略以前数学家们的灵感，促进学生对数学概念本质的理解。
③重构式是数学史融入教学的最高层次，以发生教学法为参照，对数学概念的历史进行重构，使其适合学生认知和课堂教学，并设计一系列由易至难、环环相扣的问题。 重构式融入数学史，展示数学概念在演进过程中的重要步骤，把握知识发展脉络，感受不断修正、完善的演进过程中古人的丰富智慧及所付出的艰辛与努力，使学生在理解数学概念的本质的同时，培养他们勤奋、坚韧的学习品质。 郑毓信先生认为：“历史的理性重建”为彻底改变数学史向数学教学渗透方面所存在的“高评价、低应用”现象指明了可能的前进方向。
