培智学校、智力障碍学生概念的界定

　　第一部分 问题的提出

　　一、研究背景。

　　信息技术、数字化引领科学技术迅猛发展，数学变得越来越重要。数学作为工具性学科，可以处理数据、进行计算、推理和证明，能够有效地描述自然和社会现象；数学作为技术发展的基础，可以为其他科学提供思想、语言和方法；数学能力在提高人们推理、想象和创造力等方面起着独特的作用。数学给予人类的不仅仅是与日常生活密切相关的知识，更重要的是通过数学训练能够培养思维能力和逻辑推理能力。运算是指依据已知数量和未知数量之间的关系，通过数的组合与分解，求得未知数量。运算在数学中占据着重要的一席之地，在数学领域及其分支中，掌握基本的运算能力是个体学习数学知识的基础，运算能力的发展，一直是数学教育的基本目标之一。2011 年教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准》将运算能力作为核心概念之一单独提出，指能够根据法则和运算律正确进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理、简洁的运算途径解决问题[1].

　　形成简单的加减运算能力，不仅对普通儿童来说极其重要，对特殊儿童更加重要。2007 年教育部颁布的《培智学校义务教育课程设置实验方案》中，要求培养智力障碍学生初步的运算和思维能力，以及应用数学解决简单日常生活问题的能力，并且生活数学在课程设置中占据了重要的比例。智力障碍学生由于智力发展的限制，其理解、记忆和逻辑思维等能力较差，进而在数学学习中存在极大的困难。智力障碍学生数学运算技能的掌握，作为其生活数学学习能力发展的瓶颈，一直是培智教育所关注的焦点，也是教育教学要努力解决的问题。智力障碍学生日常生活中遇到的众多问题，如钱币使用、丈量估算、物资分配等都与运算息息相关。运算思维的发展水平将直接关系到智力障碍学生今后数学学习、独立生活和融入社会，并影响其生活质量。研究智力障碍学生运算能力的独特表现，提高智力障碍学生的运算能力是当前培智教育中数学教学面临的重要任务。

　　本研究旨在探讨培智学校智力障碍学生加减运算的思维表现，对培智学校智力障碍学生数学教育提出教育建议。

　　二、研究意义。

　　（一）理论意义。

　　研究培智学校智力障碍学生的加减运算思维表现，阐明其学习的特殊性，以丰富智力障碍学生加减运算的相关理论，为解释智力障碍学生数学学习以及学校教学中的问题特别是数学教学中的问题提供理论依据。

　　（二）实践意义。

　　加减运算是智力障碍学生数学能力的重要组成部分，影响其日常生活适应。

　　培智学校的加减运算教学作为数学教学的难点，面临极大的困难和挑战。研究智力障碍学生加减运算的思维表现具有实践意义。首先探讨智力障碍学生加减运算思维品质的具体表现和与之相关的行为表现，为培智数学教育提供教学建议；其次将理论成果应用于教学，改进教学方法，从而提高教学质量；第三是为智力障碍学生的加减运算能力的发展提供帮助。

　　三、概念的界定。

　　（一）培智学校。

　　培智学校，又称"辅读学校"、"启智学校",是中国一些省、市为智力障碍儿童办的学校。主要招收轻度智力障碍儿童及中度智力障碍儿童。设有数学、语文、常识、音乐、体育、常识、劳技、美工等课程。培养目标为贯彻德、智、体、美全面发展教育方针，从智力障碍儿童身心特点出发进行教育、教学和训练，补偿学生的智力和适应行为缺陷，将他们培养成有理想、有道德、有纪律、有文化的能适应社会生活、自食其力的劳动者[2].

　　（二）智力障碍学生。

　　2010 年，美国严重认知和智力障碍者的主要专业组织---美国智力与发展障碍协会（American Association on Intellectual and Developmental Disabilities,AAIDD）发布了"智力障碍"的新定义为：智力障碍是一种发生于 18 岁之前的智力功能和适应行为都存在显着限制的障碍，适应行为表现为概念的（conceptual）、社会的（social）以及应用性的（practical）的适应性技能[3].

　　我国常用的智力障碍的定义来自于全国残疾人抽样调查五类《残疾标准》：智力残疾是指人的智力明显低于一般人的水平，并显示适应行为的障碍，包括在智力发育期间（18 岁以前），由于各种有害因素而导致的精神发育不全或者智力迟滞；智力发育成熟以后，由于各种有害因素导致的智力损害或智力明显衰退[4].该定义将智力障碍称为智力残疾。我国将"智力残疾"与"智力障碍"通用。

　　本研究采用的定义：智力障碍学生指就读于培智学校的智力明显低于一般学生的水平，并显示出适应行为障碍的学生。

　　（三）加减运算。

　　运算是指依据已知数量之间以及已知数量和未知数量之间的关系，通过数的组合与分解，求得未知数量。运算过程在形式上是对具体式子进行变形的演绎过程，而实际上是数的组合与分解过程。运算的结构包括对象要素（已知数量、未知数量及二者之间的关系）和主体因素（主体的运算动作以及主体所掌握的算法概念和运算法则）。运算依据其性质，可分为加减乘除、乘方、开方以及代数运算等；依据运算方式可分为珠算、口算和笔算；依据运算对象的范围，可分为正整数、小数、分数、有理数的运算等[5].

　　加减运算即求两个已知数的和的运算以及已知两个加数的和与其中一个加数而求另一个加数的运算[6].本研究采用此定义。儿童加减运算思维的发展可以分为三种水平：第一种为动作水平的加减，即儿童以可以直观的实物材料为工具，借助合并、分开等具体动作进行的加减运算，其题目的主要呈现方式为实物运算题；第二种为表象水平的加减，即儿童无需借助直观实物或动作，仅依靠头脑中的物体表象进行的加减运算，其题目的主要呈现方式为口述应用题，在这一水平的初级阶段，有时儿童需要借助图片等静态形象来理解题意和数量关系，学习解答问题；第三种为概念水平的加减，这是较高水平的加减运算，是指无需依托实物或表象，直接运用抽象的数概念进行的加减运算，其题目的主要呈现方式为列式运算题。本研究中加减运算技能涉及以上三种水平。

　　个体运算能力的基本构成要素是运算知识（算法概念及运算法则）和运算技能（珠算技能、口算技能及笔算技能等），其形成标志是运算的准确性、敏捷性、灵活性以及算法概念和运算法则的概括性[7].

　　（四）思维表现。

　　思维是指在超出现实的情境下分析有关条件以求得问题解决的高级认知过程[8].思维是相对与感知觉、记忆而言的一种更为复杂的认知加工，包含着广泛的心理活动。

　　思维品质是智力特征在个体思维活动中的表现，是思维的核心部分，思维发生和发展中所表现出来的个性差异就是思维品质，又称为思维的智力品质[9].思维品质主要包括深刻性、灵活性、敏捷性、独创性和批判性五个方面。

　　本研究从两方面来考察智力障碍学生加减运算的思维表现：第一是考察学生加减运算的思维品质表现，由于深刻性、独创性和批判性在智力障碍学生加减运算中无法进行考察，上述的三个思维品质是思维的一般品质，是对思维品质这个大概念的整体认识，并未考虑到数学加减运算的学科特征和智力障碍学生的特殊性，本研究结合加减运算能力的形成标志，将运算的准确性作为考察指标之一，与敏捷性和灵活性一起考察智力障碍学生加减运算的思维品质表现；第二是考察学生加减运算思维的行为表现，语言是思维的物质外壳，动作可以辅助思维，注意力影响思维进行，故本研究也考察智力障碍学生加减运算过程中的语言运用、动作表现与注意力等行为表现，来佐证其加减运算思维表现。

　　本研究中思维表现指在加减运算中智力障碍学生思维的准确性、敏捷性、灵活性等思维品质的表现，以及与思维密切相关的语言运用、动作表现、注意力表现等行为表现。

　　四、本研究的理论基础。

　　（一）行为主义数学学习理论。

　　行为主义把客观世界看作是独立于主体以外的客观实体，主体只能被动接受外界刺激而产生反应。行为主义心理学对数学教育产生许多方面的影响，形成独树一帜的行为主义数学学习理论，其主要观点为：

　　第一，数学学习是通过刺激与反应的联结来实现的一种行为的形成或改变。桑代克（Thorndike）将他的联结理论首先应用到数学和语文两门学科的学习中，他认为简单联结能构成所有的复杂知识。数学学习实际上就是建立和加强所需要的联结，数学知识与技能的学习必须不断地通过记忆和练习，以强化联结关系。

　　第二，数学学习是试误（尝试-错误）的过程，是通过尝试在一定的情境与特定的反应之间建立的某种联结。个体在试误过程中会犯许多错误，通过接收到的反馈，个体会选择保留正确的尝试而放弃错误的尝试，从而建立正确的联结。从形成数学概念，到获取数学命题，再到解决数学问题，都是个体试误的过程，这种试误过程受练习律等学习律支配。

　　第三，数学学习是在大量机械练习中形成习惯。数学学习，只有通过大量反复的练习才能养成习惯。在数学学习过程中，运算技能的形成与发展，需要一定数量的反复练习，并在练习中及时强化，这样容易使刺激与反应之间建立稳固的联结[10].

　　儿童的加减运算过程，可以用行为主义数学学习理论来进行阐释。例如：儿童运用纸笔运算、卡片显示、物品操作或背诵等重复的试误与练习，才能在头脑中建立起两数之和"2+3"与"5"这三个数字的联结关系，当被问道"2+3"等于多少时，儿童可以直接从记忆库中搜索到与之联结的答案"5".在这个联结关系形成的过程中，练习与记忆是最重要的，练习与记忆得越多，运算就越熟练、越稳固。

　　（二）认知发展阶段论。

　　着名的瑞士心理学家 J.皮亚杰（Jean Piaget）深入研究了人类知识发生、发展过程中的认知建构，认为学习就是人类认知结构的建构过程。他提出来关于人类认知的一系列基本的心理学和哲学概念，如内化、活动、动作、运算、逻辑数学知识、物理知识等。运算是 J.皮亚杰（Jean Piaget）认知理论中最为关键的概念之一。他认为知识与动作或活动是紧密联系在一起的。一连串动作协调起来形成的系统称为图式。在思想内部进行的活动称为内化，得到内化的过程称为运算，通俗地讲即思维操作。

　　数学学习与思维的发展是相互联系、相互制约、相互促进的。关于思维发展的研究，J.皮亚杰（Jean Piaget）根据主体建构形成的认知结构性质，提出了儿童的认知发展阶段理论，他认为人的思维的发展是呈阶梯状发展的，而非呈直线上升的。J.皮亚杰（Jean Piaget）将儿童的认知发展分为四个阶段：感知运动阶段（出生到 2 岁），在这个阶段，婴儿或者幼儿通过感知觉和动作技能去探索周边的世界，在这一阶段儿童只有直觉能力，其活动未达到内化水平，因此不具备运算性质；前运算阶段（2~7 岁），这个阶段的儿童仍不具备运算能力，但他们在思维上开始有了一定的表象能力，能利用符号做媒介或工具来描述客观世界。在儿童的认知结构中，知觉成分占主要优势，思维受知觉的限制，儿童只能进行直觉思维，他们的思考缺乏可逆性；具体运算阶段（7~11 岁），这一阶段的儿童，思维发展有了质的变化，他们开始具备运算能力。由于他们的认知结构中形成了"同一性"、"可逆性"和"补偿作用"等推理原则，在面对物质、数量、长度、面积、容积守恒问题时，能够进行逻辑推理，但需借助具体形象的支持；形式运算阶段（11~15 岁），这一阶段的儿童或青少年的思维是内部的、有组织的并且是可逆的，他们逐渐具备类似成人的思维结构。在这一阶段，儿童能够认识、提出命题，能够从假设考虑问题和推导结论，还能够对命题进行运算和理解高度抽象的概念。以上四个阶段彼此衔接却不能超越，后三个发展阶段与学校教育的关系尤为密切。培智学校智力障碍学生思维的发展，主要处于具体运算阶段，他们的认知结构中已有抽象概念，能够进行逻辑推理，但推理能力往往局限于熟悉经验或具体情境，需借助具体形象进行。智力障碍学生记忆、注意、自我意识和意志的发展水平薄弱，不能很好地计划、调控学习活动。

　　（三）建构主义学习理论。

　　建构主义的数学学习，包括有意义的主动操作，以及在数学环境中建构数学对象[11].布鲁纳和狄恩斯强调儿童与环境相互作用、积极参与学习过程的重要性，认为操作实物的活动在儿童数学学习过程中必不可少。狄恩斯将儿童学习数学的过程分为三个顺序阶段：无结构性地探索教具的自由游戏阶段；经过建构式思考的结构性经验阶段；经过分析性思考的再运用阶段。

　　布鲁纳认为概念理解包含三个层次：第一是操作活动层次，直接涉及具体经验。如儿童实际操作合并 2 个苹果和 4 个苹果，计数得出 6 的结果，此为操作活动层次的学习。第二个是映像层次，涉及表象运用。如儿童通过看图或口述应用题进行运算，此为映像层次的学习。第三是符号层次，涉及用抽象符号表达事物。

　　如儿童通过心理运算得出 2+4=6 的结果，此为符号层次的学习。

　　（四）信息加工理论。

　　信息加工理论产生于 20 世纪的 50 年代后期，该理论将人脑堪称是类似于计算机的信息加工系统，把学习解释为一种信息的加工过程，包括信息的接收、储存、加工、提取和输出过程。加涅（Robert M. Gagné）认为，最典型的学习模式就是信息加工理论的学习模式。信息加工理论学习模式指出了信息的流程，即环境刺激学习者的接收器，并通过感觉登记器进入短时记忆，这些信息在被编码后以语义的形式贮存下来，保持 2.5~20 秒。其中，经过复述、精细加工和组织编码的信息进入了长时记忆。

　　从短时记忆和长时记忆中检索出来的信息到达反应生成器，被转换成行动，使效应器活动起来，产生可以影响学习者环境的操作行为，从而完成了信息加工过程。

　　在这个过程中，"执行监控"和"预期"作为两个重要结构分别起到调节和学习定向的作用[12].加涅（Robert M. Gagné）根据对信息加工过程的分析，还提出了学习过程结构的八级阶梯模式：动机、选择、获得、保持、回忆、概括、作业以及反馈。信息加工理论对于学校的教学实践具有指导意义，也有助于我们进行数学学习的研究。

　　五、以往研究。

　　（一）运算与学生运算的相关研究。

　　1.运算理论研究。

　　《数学辞海》（2002 年版）的第六卷指出，运算能力是指运用有关的运算知识进行运算和推理而求运算结果的能力，它是数学能力的基本构成之一。运算是一个演绎推理过程。在初等数学阶段，数学运算主要有理式、整式、根式运算，四则运算，对数、指数和三角函数运算。到了高等阶段发展为极限运算，微分和积分运算，向量运算、矩阵运算，数据与信息处理和概率运算，集合、逻辑运算以至更抽象、更广义的运算。数学运算能力包括所有这些方面的运算能力[13].

　　运算能力包含两个方面：运算知识（即算法概念与运算法则）和运算技能。

　　在运算学习中，已经形成算法概念的学生在学习了运算法则后，通过运用法则和合理练习，在抽象水平上进行运算，并形成相应的运算技能。运算技能的掌握是运算能力的基础，运算技能的形成过程也是学生运算能力由低向高的发展过程。运算准确性、敏捷性和灵活性是运算技能形成的标志。准确性与敏捷性相互制约，准确性提高会造成敏捷性降低，而敏捷性提高则常常导致准确性降低；关于运算的准确性与敏捷性，通常以准确性为主，在准确性的前提下追求敏捷性。

　　灵活性具有以下特点：首先是起点灵活，即思考问题的方法角度多样；其次是概括-迁移能力强，运用法则自觉性高；最后是善于运用组合分析，使自觉思维的伸缩性大。本研究考虑到智力障碍学生的自身特点，仅从迁移能力方面考察其运算的灵活性。

　　2.学生运算能力研究。

　　欧阳常青等（1999）通过使用问卷对 600 名桂林市小学三年级的学生进行包括数概念、基本能力、空间关系、运算能力等方面的调查发现，学生在算理计算法则和 n+1、n-1 关系的计算及应用方面的项目通过率超过 75%,已达到较高水平。表明小学三年级学生已具备一定的加减运算能力，能正确掌握一些基本运算法则与算理，但逻辑思维能力较弱。

　　肖国衡、易群兰（2003）对从深圳市两所小学中选取的 1126 名高、中、低三个年段的学生对其进行口算、估算、笔算和找规律算四个方面的测验以考察小学生计算能力的现状。研究发现，小学生的计算能力发展不平衡，四种运算能力由强到若分别为笔算、口算、找规律算和估算。通过年级比较，学生计算正确率随年级的升高而下降，找规律算的能力略有提高，但估算能力无明显进步。

　　张怀英等（2007）分层整群抽取海南省的 1201 名小学生对其进行数学基本能力测验。调查发现，数学运算领域居于优秀和中上等级的学生比例随年级增高而上升，较差等级的学生人数随年级增高而下降。研究还发现学生的运算能力在四年级时出现转折，可能与学生开始学习四则混合运算，其运算思维受到干扰有关。

　　许晓辉等研究者（2008）选取 99 名大班幼儿进行纵向研究，考察其实物运算题、口头文字题和符号运算题三种不同呈现方式下的加减运算能力。发现幼儿6 岁时的加减运算能力比 5 岁时有显着提高；在 5~6 岁期间，幼儿进行三种不同呈现方式加减运算的能力的发展速度不同，符号加减题的运算能力发展最快。

　　综合以上研究，普通学生能够合理运用运算法则进行运算，且运算能力普遍随年级增高而呈上升趋势，基本符合本年级运算水平。小学生在估算、文字题和简便运算技能略低于口算、竖式运算和递等式运算。

　　3.学生运算错误的相关研究。

　　在运算错误的研究方面，李燕（1999）认为，学生解题出错是必然现象，要正视学生的运算错误，提高学生解题能力、完善其认知结构。郜舒竹（2007）等人认为，学生要提高运算能力就要注意减少运算错误并和熟练运算技能。运算错误主要包括数学概念的错误和数学计算的错误两个方面。张文涛（2006）认为，不理解概念的真正内涵、新旧知识关系混乱会造成数学概念错误的产生，而运算法则使用错误、运算顺序错误或简便算法误用等则会造成数学计算错误的产生。此外，字迹潦草、抄错数字等不良学习习惯也可能造成计算错误。

　　严根明等（1992）采用普遍调查法考察 525 名上海市南汇县六年级学生简便运算、解方程、竖式计算、递等式计算和文字题的运算能力发现，学生各类型题错误率都比较高，均超过 13%,其中列式计算和简便运算错误率最高；运算错误原因主要有概念模糊、计算法则错误、运算数序错误、运算不熟练、粗心大意等。

　　其中，计算法则错误和粗心大意是导致运算错误的主要原因。

　　范强等（1998）通过十道简便运算测试题调查高年级学生进行简便运算的习惯与能力，有 99%的学生认为简便计算很重要，有 94.3%的学生能运用简便算法进行运算，但 5.4%的学生在方法选择上出现错误；有 7.7%的学生在数字计算过程中出现错误。

　　邱晓军等（2006）在校内组织的五年级学生口算、竖式计算、递等式计算等计算能力测试中发现，学生的运算成绩不容乐观，运算错误较多。学生的错误主要包括三类，一是观察不仔细、抄错数字符号等感知粗略造成的差错；二是概念模糊、口算不熟、计算法则错误等运算技能欠缺造成的错误；三是字迹潦草、不仔细检查等学习习惯不良导致的计算错误。

　　4.提高学生运算能力的相关研究。

　　提高运算能力的研究方面，曹学良（1999）认为，运算能力是个体数学能力的基础组成部分。培养学生的数学基本能力，重点要培养其运算能力（王南枝，1984）。众多研究者和学校教师都提倡反复有效练习以提高运算能力。培养学生的运算能力首先要注重运算法则的教学。运算法则可以使运算过程更加程序化、规范化，是运算时必须要遵循的一般规则，学生只有掌握正确的运算原理，并将其运用到运算过程中，才能够得到正确的运算结果。（顾文亚、卢燕娟，2007）。

　　李吉原（2007）主张通过学生运算结果准确性、运算速度快捷性和运算方法技巧性和来衡量学生运算能力。培养学生的运算能力还应注意加强学生的口算和估算的训练。笔算以口算为基础，是在口算准确且熟练的基础上建立和发展起来的，加强口算训练能提高运算速度。小学阶段还可以适当增加估算教学，对运算结果的粗略估算，能够检验笔算结果，提高学生的运算思维能力。高恩兰（1995）认为教师在教学过程中必须重视基础计算能力的培养，坚持口算练习，采用视算、听算相互交替的训练方法来提高学生运算的速度与准确性。童云山（1996）认为20 以内的加减运算和表内乘法口诀是最基础的口算训练内容，其中 20 以内加减法运算是最重要的运算技能。杜宝华（1996）提出了数数法、凑十法、口诀法、破十减、退 1 加补等课堂教学中常用的几种口算方法。汤娅林（2003）认为数手指并不利于学生的思维能力的提高，提倡凑十法代替数手指作为口算训练的重点。但也有研究者持反对的意见，如金月明、王金秀（2007）认为对于低年级学生来说，比起复杂的凑十法，数手指更容易被学生所掌握，更能有效地提高学生口算能力。他们建议教师根据教学的实际需求选取恰当的方法进行口算训练。最后，培养运算能力还要加强练习。练习对于巩固数学知识具有重要意义。有层次、有针对性的练习能够激发学生运算兴趣，提高学生的运算能力。

　　（二）学生运算思维的相关研究。

　　从数学运算的逻辑性和抽象性本质来看，儿童要掌握数学运算能力，必须要具备一定的逻辑思维能力。J.皮亚杰（Jean Piaget）认为儿童的逻辑思维包含了动作层面和抽象层面两个方面，学前儿童逻辑思维的发展具有两个特点：一是其逻辑思维发展依赖于动作，儿童需要将动作内化于头脑中，并在头脑中自如地加以逆转，形成一个可逆的、内化的运算结构；二是儿童逻辑思维发展依赖于具体事物，他们需要借助具体形象来理解数量关系。王坤玉（1991）认为思维能力是运算能力的核心，要培养学生的运算能力，首先要明确运算思维的发展过程。 运算思维过程的发展经历了从具体思维到抽象思维，从开展性思维到压缩性思维，从综合性思维到抽象性思维，从直觉思维到自觉思维，从单向思维到逆向、多向思维。林崇德通过考察 0-7 岁的学前儿童的数概念和运算能力的发展状况，认为儿童 2-7 岁并非处于前运算阶段，而是以表象为主，逐步发展到初步抽象阶段。

　　他将儿童 2-7 岁这 5 年分三个思维活动阶段：2-3 岁为思维直观-表象笼统的概括阶段；3-5 岁为思维直观-言语数概括阶段；5 岁以后为思维表象-言语数概括阶段。林崇德认为儿童从 5 岁开始就能在数学运算中逐步按规则进行，在这一阶段，儿童可不依靠直观进行运算，而开始抽象的概括，说明他们已向逻辑抽象水平发展。

　　儿童运算过程中所使用的策略，反映了其思维过程。Siegler（1996）通过研究发现，多数儿童在进行简单加法运算时会使用三种以上不同策略，儿童不仅能对不同问题采用相同策略，又能在不同时间对同一问题采用不同策略。王葵（2004）研究 4-6 岁学前儿童在进行简单加减运算时所使用的运算策略发现，元认知对运算策略的影响随着年龄而变化：起初运算策略的选择和执行都不受元认知的影响，随着年龄增长，元认知开始影响运算策略的执行，但对运算策略的选择却没有明显影响。刘电芝（2003）提出儿童学习策略多重加工模型，认为儿童策略的加工过程是一个不断变化的新陈代谢过程，新的策略不断产生并替代旧的策略。

　　策略意识和策略运用的有效性推动着策略的发展与变化。杨蕾（2006）发现大班幼儿的运算策略较为丰富，其加减运算策略与运算得分的发展有关，幼儿对加减运算策略选择水平越高，其运算得分越高，但幼儿运算得分与幼儿加减运算策略的多少没有明显相关。

　　根据运算思维在数学运算过程中的重要性，多名研究者对如何培养学生运算思维提出了建议。薛松（2011）提出要不断循序渐进地培养学生的数学思维品质，包括培养学生思维的独立性、逻辑性、批判性和灵活性，让学生学会用数学思维思考问题，以促进自身的成长。田长生（2008）也认为数学思维能力的高低是学好数学知识的关键，而思维能力往往体现在思维品质上，在教学过程中要重视培养学生的思维品质。金守成（2011）认为教师教学是影响学生运算思维障碍的重要原因，教师教法不当、缺乏情境创设、不注重梯度训练、缺乏巩固和联系都将造成小学生数学运算思维障碍，教师应切实提高教学水平。

　　（三）智力障碍学生运算的相关研究。

　　学生运算能力的研究大多集中在普通学生的运算过程中的认知加工和运算结果的错误类型方面，对智力障碍学生的研究较少。通过查阅国内外研究智力障碍学生数学能力的文献发现，由于智力水平有限，智力残疾学生的思维的发展受到一定的限制。

　　郭海英等（2005）通过测试智力落后学生认知情况，发现这些学生在注意力、记忆、思维、感知觉等方面明显落后于普通学生，主要表现为：注意力分散；短时记忆差；思维速度慢、维度少、概念困难等。孙家驹等（2000）研究发现轻度弱智学生除智力整体发展水平较低，还存在着感知障碍、记忆障碍、思维障碍等具体的认知障碍，这些障碍使轻度弱智学生相比普通学生在学习某些复杂材料时感知、理解和掌握水平都要更差些，一些有明显数学学习障碍的学生在理解较为复杂的数量关系时存在困难。此外，轻度弱智学生在学习中出现明显的适应性行为障碍，如注意力障碍、情绪不稳定、语言发展迟缓、活动水平异常等，这些都影响其学习水平。 Inhelder （1980）提出智力障碍学生的思维和正常儿童一样遵循着相同的发展阶段和顺序，但又存在不同特点。如智力障碍学生的发展很难超越具体运算的表象思维阶段。

　　智力障碍学生思维发展的局限，致使其在数学运算能力的获得上存在较大困难。台湾教育学者卢台华（1995）将国小阶段的学习困难儿童、听力障碍儿童和智力残疾儿童三类特殊儿童的数学能力进行比较发现，在三类障碍儿童中，学习困难儿童的数学能力最好，智力落后儿童数学能力较不分化、运算能力最差。ErinCaffrey（2007）比较了轻度智力障碍学生和学习障碍学生在数学任务和阅读任务上的表现情况，认为学习障碍学生在数学任务上的表现明显优于智力障碍学生，也更容易将原有的知识迁移到新任务中去。Franees M. Bulter 等人（2001）回顾1989 至 1998 年间轻中度智力障碍儿童的数学教育发现，智力障碍学生数学教育的重点已经从培养基础技能向培养运算能力和问题解决能力发展，同伴帮助、限时任务、直接指导等方法在儿童数学能力的培养上比较有效。王顺妹（2003）通过比较弱智儿童与正常儿童的数概念，得出智龄 3-6 岁中重度智力落后儿童与相同智龄的正常儿童在数概念发展水平上无显着差异，建议中重度智力落后儿童数概念教育内容应依据学生的智龄水平来制定。马新梅（2004）通过考察轻中度智力残疾学生对培智学校全套数学教材的掌握情况发现，轻度与中度智力残疾学生在多个方面数学运算时差异极其显着，中度智力残疾学生比起轻度智力残疾学生更难掌握 20 以内连加、连减；轻度和中度智力残疾学生都能掌握 10 以内加减法；轻度和中度智力残疾学生都不能使用计算器进行万以内加减乘除计算等。朱友涵和孙桂民（2005）调查发现，中度智力障碍学生数学教育训练情况不太乐观，大多数培智学校的数学教师都认为中度智力障碍学生掌握 100 以内加减运算非常困难，掌握 100 以内数的认识等知识时比较困难。李笑然（2009）观察 4-9 年级中度智力落后儿童解答加法计算题的过程发现，中度智力落后儿童能够使用的加法计算策略比较丰富，但是与普通儿童和学习困难儿童相比仍有缺失，如从 1 数、凑十法等。

　　儿童运算能力的发展一直是心理学家与教育学家共同关注和研究的对象。近年来，国内外对于学生运算的研究取得了丰富的成果。目前学生运算的研究主要集中在针对学生的运算能力，针对学生运算的错误和针对课堂教学三个方面。这些研究来自学校教师教学中经验总结的多，理论研究的少；针对课堂教学的研究多，针对学生运算的研究少；针对普通学生的研究多，针对智力障碍学生的研究少。本文通过研究培智学校智力障碍学生加减运算的思维表现，以丰富智力障碍学生加减运算的相关理论。