离散数学模型关联度检测方法设计与验证

　　摘    要：　在大型工程计算分析当中，最难解决的是构建的计算数学模型与实际系统状态的关联问题，以及如何对离散数学模型进行修改。基于以上问题，设计离散数学模型关联度检测算法，构建出一个检测离散数学模型关联度的方法。通过对比实验证明，设计的检测方法能够更加精准的检测出离散数学模型的关联度，且通过检测方法对模型进行改进能够得出与实际系统关联度更高的最优模型。

　　关键词：　离散; 数学模型; 关联度; 检测;

　　将一个实际的问题转化为数学模型得到相应的理论方程时，其主要的目的是为了让理论数学模型可以对实际问题进行具体的分析以及运算。离散数学模型的构建是在某一特定的前提条件下提出的，且在构建过程中不考虑其非线性问题的存在，仅仅利用线性完成对模型的构建[1]。伴随着现代化科学技术的发展，人们对于客观事实的计算能力已经得到了质的飞跃，因此具备了构建离散数学模型的能力，并且能够通过数学模型做到对实际系统的模拟，以此可以在最大限度上，满足实际工程中的应用需求。
 

　　1 、检测算法设计

　　1.1、 相空间重构算法设计

　　在力学当中，相空间是一种抽象的数学空间。在动力系统当中，相空间是由一组一阶方程构成，系统中每一个分量的改变都会与其他分量产生相互的作用[2]。在对离散数学模型的关联度进行检测时，最重要的一步是将检测数据转换为状态矢量，即相空间重构。选择同一时间间隔对数据进行采样其时间序列可表示为：

　　x(t1),x(t2),x(t3),?,x(tN),????x(ti)∈R???(实数域)，

　　其中ti=t0+i△t，若将其嵌入到e维空间中，其表达式为：T

　　公式(1)中，X(t)表示为在t时刻，数学模型的动态学性能；e表示为数学模型嵌入空间的维数；τ表示为数学模型的延迟时间。通过公式(1)的计算，可建立由相空间RE到对应的Re的映射。通过对相空间重构的结果进行分析，可以看出在数学模型中保留了其中原有的动力学性质以及几何性质。因此可以说明，相空间的重构是时间序列当中的基础。相空间重构的方法有很多，本文选用一种延迟坐标的方法对相空间进行重构。其重构的主要因素是利用对数学模型延迟时间τ和嵌入维数e两个因素决定。选取延迟坐标完成对数学模型的重构，嵌入维数e表示为能够完成在状态转移过程中构成的最小吸引子的维数大小。在进行实际检测的过程当中，周围环境产生的噪声会对重构结果造成一定的影响，而时序中的噪声水平越高越会对重构效果造成更大的影响。假设d表示为生成时序向量X(t)数学模型的一个分维数，在重构环境中存在噪声的情况下，要保证重构的相空间e满足e≥2d+1，该公式表示为嵌入维数大于吸引子维数适当的整数。因此通过上文研究，从数学角度上，证明了状态空间重构的有效性。

　　1.2、 动力系统算法设计

　　在动力学系统当中，连续动力系统与离散动力系统有着十分密切的联系，连续的动力系统可用干公式x(t)=F(x(t)),x(t)∈Rn表示，若对公式中的时间t进行离散操作，则该公式可等价于一个离散动力系统f,xt+1=f(xt),t-0,1,2,?,n，即xt+m=fm(xt)，通常情况下，f为一个未知数。假设yt为一个系统状态xt中的分量。h表示为Rn→R，则有yt=h(xt)。在通常情况下，可以通过计算动力系统的状态xt其中的一个分量yt计算出原始系统的某一动力学状态[3]。若被观测的yt不属于被计算系统中状态总量xt中的一个分量，而是通过各个分量汇集成的线性组合，则可利用上述方法计算出原始动力系统中动力学的真实状态。其原理在于，经过线性改变传统系统，与原有的动力系统具有等价的拓扑结构，因此两者在某一类型的动力形态上是完全相同的。

　　设计一个具有较高准确性的动力系统，其所有可能出现的状态集合为M，则初始状态下，x0∈M，且系统在某一时刻t的状态xt已经被x0和t所决定，因此有xt=F(t,x0)，其中x0∈M,xt∈M,t∈(-∞,+∞)，即xt是x0和t的函数。通过对其公式进行研究可以为后续数学模型的离散状态的变化情况，找出与其相对应的变化规律。若此时的函数f(x)可逆，则说明，通过函数f(x)的逆映射也可追溯到系统的历史状态。由此可知，离散动力系统可看作是在对某一连续时间内的变化情况判断系统对时间的离散数据采样。

　　2、 离散数学模型关联度检测方法设计

　　2.1、 相空间重构参数设定

　　通过对离散数学模型进行上述计算得出相应的响应数据，再将其与实际的结构数据对比，构建一个新的相空间，从而获取到两个序列结构的向量，通过对动力信息的数据进行提取以及对离散数学模型与实际结构进行关联度分析，从而完成对离散型数学模型关联度的检测。数学模型数据序列的主要特征包括：在同一个动力系统当中，数据序列的响应能够代表一个动力系统在某一特定的状态，从理论角度分析该状态属于一个无穷的序列，但在实际检测的过程中数据序列的数目是有限的。同时，该数据序列与数学模型的离散程度有着密切的联系；其次，在数据序列当中，其本身隐藏着一个与该动力系统具有密切联系的信息，并且在信息当中还含有大量的噪声影响因素；在数学模型当中的向量与从数据序列中选择的起始点有关，因此需要添加一步位移运算将其消除。

　　对于一个数学模型的时间序列a1,a2,a3，…，an+(e-1)，通过重构相空间算法，计算出引入恰当的嵌入维数和时间延迟，构成一个完整的矩阵或向量。其表达式为：

　　公式(2)中，A表示为构造向量；e表示为嵌入维数；τ表示为时间延迟。通过该表达式对被检测的数据固定时间进行延迟，从而构成一个多维度状态的空间。通过不断的重复提取出在不同时刻下各个延迟量，从而产生对e维相空间相点的变化轨迹。对数学模型的数据序列进行关联度检测方法流程设计图，如图1所示。

　　图1 关联度检测方法流程设计图

　　在对数学模型进行瞬态激励作用下，动态响应的是数学模型整体的动态信息，因此维数要尽可能选用数值较大的，才能保证恢复其实际的动力系统信息，同时也可以有效保证数据模型数据的噪声干扰以及结构系统动力学信号完整。

　　2.2、 有限元结构动力分析方法设计

　　有限元结构的基本前提是将连续的求解域进行离散处理，从而构成一个有限个数单元的组合体。通过构建的组合体，可以对数据模型的区域进行求解。而另一种方法，是利用每一个单元中的假设近似函数，将其表示为全部待求解的未知函数。离散数学模型的有限元分析可分为如下几个步骤：

　　第一步，对数据模型中的连续区域进行离散处理；

　　第二步，根据数据模型中的数据样本构造一个适当的插值函数；

　　第三步，构建一个具有单元特性的矩阵，一个具有数学模型整体特性的矩阵；

　　第四步，将整个数学模型的运行方程导出，其方程可表示为：

　　方程(3)中，[M]表示为质量矩阵；[C]表示为阻尼矩阵；[K]表示为刚度矩阵；[P(t)]表示为整个数学模型的运行模式；

　　第五步，通过计算，求出数学模型的运行方程。

　　2.3、 有限元结构动力分析具体流程

　　利用有限元结构动力分析方法对数学模型中的有限元动力响应进行求解，求解方法如下所示：

　　在进行求解前，首先要在程序中构建一个全新的文件，并将其对应的初始参数设置为0，从而为后续的计算保留出足够的计算空间和存储空间。

　　步骤1：在处理分析程序的初始模块中，计算出数学模型中所有的有限单元，同时预设计算过程中的相关参数，再利用有限元结构动力分析软件中的建模工具，构建一个与其相符的数学模型，对于造成数学模型影响不大的条件，例如载荷、约束等，进行适当的简化。以所需分析的问题作为基础，选取合适的网格划分方法，对该数学模型进行划分处理，在完成一系列操作后，退出该模块；

　　步骤2：在处理分析程序的计算模块中，选取适当的求解方法以及分系类型，在预设合适的参数后，对其进行动态分析求解。待计算完成后，模块会自动将结果进行保存，并存储为以.modl格式的文件，退出计算模块。再进入处理模块，将计算结果引入到处理模块当中，并判断计算求得的数据与实际问题的数据频率是否处于同一状态，从而判断分析结果的准确性；

　　步骤3：再次进入程序中的计算模块，并再次进行分系类型的选择，此次计算选用状态叠加方法，将需要进行分析的数学模型引入到计算模块中，对其进行瞬态分析，计算出在具体时间内的积分步长，再对每一个载步进行加载处理，最终将结果输入到载步文件当中，完成操作后退出计算模块；

　　步骤4：进入到程序中的处理模块，选取合适的分析变量，并将计算获取到的结果在列表中各进行显示，或利用图形显示器判断出数学模型与实际理论的结果关联程度。最后将结果进行保存，方便后续的使用，退出后处理模块。

　　2.4 、振动测试

　　对数学模型进行振动测试，主要是通过传感设备、放大设备以及相应的数据记录设备，检测数学模型在进行一系列机械或工程时，当受到外界影响的激励作用下，重点部位的位移、加速度等运动量的变化情况，从而更加准确地获取到数学模型中各结构的具体工作运行情况。利用振动测试技术对离散数学模型进行关联度检测主要包括：数学模型运动量的测量，例如位移、速度、加速度等；对数学模型动态特性参数的测量，例如固有振型、固有频率、阻尼系数等。

　　振动测试技术主要分为两种，一种是对模型进行单点激励，获取多点测量数据；另一种是对模型进行多点激励，获取多点测量数据。由于多点激励方法在实际的检测中存在仪器设备价格高昂、测试周期过长等问题，因此本文主要选用单点激励的方法进行测试。

　　单点激励振动是利用单位脉冲函数对被检测的数学模型进行激励，储蓄时间t→0，是一种具有快速对关联度进行检测的技术方法。由于其检测设备灵活性更强，因此更加方便对数学模型的振动问题进行在线或实时的处理。在对数学模型进行采集以及后续的分析过程中需要重点关注的是，在时间序列中，包含了两个不同的时间常数，一种是在采集过程中的间隔时间常数τ，一种是采集结束后，总的采集时间Nτ，由这两个时间常数的倒数分别决定着两个特征频率，频率表达式为：

　　公式(4)中，fmax表示为对数据进行采样时能观测到的最大频率；fmin=△f表示为频率差值。为了在实验检测的过程中，能够反映出高频中包含的所有具体成分，因此在采样时要尽可能缩短采样的间隔。对于规模较小的数学模型而言，为了减少传感器对模型造成的影响，通常可以采用单点测量多点调试的方法，对模型关联度进行检测。

　　3 、实验论证分析

　　为了验证本文设计的离散数学模型关联度检测方法的有效性，将其与传统检测方法进行对比实验。选用同一组数学模型，利用两种方法对其关联度进行检测，并通过检测结果设计出最优的数学模型，并绘制两个数学模型的响应频域图，如图2所示。

　　从图2中可以看出，通过本文检测方法构建的数学模型响应频域明显比传统方法构建的数学模型响应频域更加剧烈，因此可以说明，本文检测方法构建的数学模型与实际系统关联度更高，因此通过本文构建的离散数学模型关联度检测方法能够更加精准的检测出模型的关联度，利用检测结果能够构建出与实际系统相符的最优模型。

　　图2 两组数学模型响应频域图

　　4 、结束语

　　本文设计的离散数学模型关联度检测方法具有更好的动态分析能力，将相空间重构的方法融入数据分析当中，能够有效提高检测方法的准确率。但存在的问题在于，空间矢量之间的距离较大，且对数学模型的优化提出的指导性建议略少，因此在日后的研究中还将对这一方面的问题进行更加深入的研究分析。同时，本文研究的离散数学模型关联度检测方法是针对单一结构的数学模型，但在实际的工作情况中，较为常见的是结构相对复杂的多结构组合的数学模型，并且由于模型的连接方式的不同也会对分析造成一定的影响，因此这一问题也是日后需要重点研究的。

　　参考文献

　　[1]祝志博,赵阳,颜伟,等.基于离散数学模型的时域EMI接收机检波器建模研究[J].南京师范大学学报:工程技术版,2018,18(4):1-8.
　　[2]宫明明.计算机算法设计及数据结构离散性[J].电子技术与软件工程,2018(3):197.
　　[3]周晓峰,车颍涛.基于偏微分分类数学模型的关联挖掘改进技术[J].现代电子技术,2017,40(8):36-38.