离散数学课教学中思维能力的培养研究(2)

　　3 措施与效果

　　由于离散数学课程对计算机专业很重要，高校对离散数学课程的教学改革做了许多探索[5-6],近年来教师对培养学生的逻辑思维能力[7]、系统建模能力[8]、计算思维能力[9-10]也越来越重视。

　　首先，教材的选择最重要。我们经过对国内外着名教材的分析，最终选择 Rosen 编着的《离散数学及其应用》（英文影印版）[1]作为首选教材。该教材的特点有：①内容比较全面，完全符合教育部计算机科学与技术专业规范对离散数学课程的要求；②例题、习题非常丰富；③每章后面有重要概念和总结；④“写作项目”（writingprojects）和“编程项目”（computer projects）可作为课程的实验和设计题目；⑤与计算机专业课程的联系非常紧密，列出了许多在计算机后续课程（如数字电路设计、数据库、人工智能等）应用离散数学知识的内容。该教材[1]有两个重要特点：其一，教材中不仅有一章专门讲述归纳证明和定义的基本知识，而且在组合计数、算法分析、集合与关系等多处介绍递归和证明的概念与应用；其二，教材讲解了有关算法的基本概念，给出了一种算法描述伪语言。

　　我们认为提高逻辑思维能力的基本要求应体现在思维严谨、条理清晰两方面。思维严谨要求在求解问题或推理时每一步都有逻辑依据；条理清晰要求学生在遇到问题时有比较清晰的求解思路。因此，教师在教学中要适当增加形式化推理的内容，对非形式化的证明技巧分门别类，从直接推理、间接推理、反证法、分情况证明、构造性证明、非构造性证明到归纳证明详细举例讲授；结合自顶向下的求解思路讲解数学证明中后向推理的分析方法，给学生讲清楚自顶向下分析与自底向上构造之间的异同，为学生理清问题求解思路，强化学生逻辑思维能力的培养。

　　在培养学生的计算思维方面，教师可要求学生在理解主要算法思想的基础上，结合程序设计课程的知识实现其中一些算法，还可结合教材中的“编程项目”指导学生编写一些程序。

　　在教学实践中，为了让学生对教材中的主要算法有直观的认识，我们与学生一起编写了一些算法的演示系统。例如，图 1 给出了求从一个节点到所有节点最短路径的 Dijkstra 算法演示系统，它可给出该算法求解的每一步中间结果，从而使学生对该算法的运行有直观的理解。实践表明，这种演示对学生理解算法有比较大的帮助。

　　为了让学生更容易抓住重点，且有针对性地完成教材中的习题，教师可对教材中诸多知识点进行梳理，给出知识点之间的关联关系以及知识点与习题之间的覆盖关系。例如图 2 总结了逻辑等值这一节中重要知识点之间的关联关系，其中着色的是这一节的知识点，而没有着色的是前面章节的知识点。图 3 给出了部分知识点与习题之间的覆盖关系，其中菱形框中给出了这一节相应习题的编号。由于我们选择的是英文影印版教材，因此上述图中的知识点使用英文概括。初步调查表明，学生比较欢迎这种知识关联图，认为有助于梳理教材内容，便于复习和做习题。

　　基于这种知识点关联图，教师可进一步探讨课程的教学模式。在课程中，教师可利用这种知识点关联图向学生展示要讲授的知识点及其关联关系，对于细节则要求学生自己预习和复习；在课堂上可利用教材例题习题丰富的特点，精选一些相关的习题进行讲解。教学实践表明，这种方式有助于加深学生对知识点的理解，也有助于活跃课堂气氛，提高学生的学习兴趣。我们还对课程的考核做了一些改革，除了期中、期末考试之外，在教学过程中会不定期地进行小测验。

　　为了调查教学改革的效果，我们设计了问卷对 2012 级部分学生进行调研，回收 75 份有效问卷。37 位学生（占 50% 左右）认为所选教材难度适中，52 位学生（占 70% 左右）认为课程教学内容与计算机专业知识联系紧密，40 位学生（占 53% 左右）认为提前接触算法知识对学习计算机专业课程最有帮助。以上结果表明该课程所选教材与教学内容比较符合学生的期待，引起了学生学习离散数学的兴趣。41 位学生（占54%左右）非常认可我们的教学模式，40 位学生（占53% 左右）认为上课听讲很有收获。这些结果表明至少一半的学生认为课堂的教学效果良好。当然学生对幻灯片、作业批改、师生互动也提出不少建议，我们会借鉴并在今后的教学实践中做进一步的改进。

　　4 结 语

　　课堂实践表明我们的教学内容与计算机专业知识联系比较紧密，很符合学生的期待，超过一半的学生认可我们的教学模式。未来我们将在实践中不断改进，继续把这种课程教学研究方法运用到其他课程中。（图略）

　　参考文献：

　　[1] Kenneth H R. Descrete mathematics and its applications [M]. 北京： 机械工业出版社， 2012: xviii.

　　[2] 耿素云， 屈婉玲。 离散数学[M]. 北京： 高等教育出版社， 2004.

　　[3] 左孝凌， 李为监， 刘永才。离散数学[M]. 上海： 上海科学技术出版社， 1982.

　　[4] 教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会。高等学校计算机科学与技术专业发展战略研究报告暨专业规范（试行）[M]. 北京： 高等教育出版社， 2006.

　　[5] 徐江峰， 李伦。 充分发挥计算机专业特点， 开展离散数学教学[J]. 计算机教育， 2012（15）： 27-30.

　　[6] 王霞， 顾勋梅， 潘祝山。 离散数学教学改革及课程建设研究[J]. 计算机教育， 2011（6）： 8-10.

　　[7] 胡劲松， 王家兵。 由“离散数学”培养大学生系统逻辑思维[J]. 计算机教育， 2012（15）： 34-37.

　　[8] 李艳玲， 张剑妹。 基于建模能力培养的离散数学思维模式[J]. 计算机教育， 2014（4）： 76-79.

　　[9] 曹建芳， 赵青杉， 陈立潮。 面向计算思维能力培养的离散数学教学模式研究[J]. 高师理科学刊， 2004,34（2）： 79-81.

　　[10] 单美静。 基于计算思维培养的离散数学教学研究[J]. 中国电力教育， 2013（28）： 136-137.