离散数学的教学现状与创新实践案例应用

　　1、离散数学教学的现状与问题

　　计算机专业是一个知识更新速度快、新技术层出不穷的宽口径专业[1]。作为计算机专业核心课程之一的离散数学课程，其教材、内容和教学方法在很长一段时期内都没有明显的变化，并没有随着计算机理论和应用的快速发展而进步[2-3]。

　　离散数学是现代数学一个非常重要的分支领域，是计算机科学的核心理论基础[2]。离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限或者可数元素，这种特征描述了计算机科学的离散性。离散数学的教学依然延续传统的教学模式，以教师课堂授课和布置课后习题作业为主要教学模式[3]。在日新月异的计算机技术发展背景下，这种传统的教学模式暴露出越来越多的问题[1-3]。

　　首先，教学目标上过分强调知识目标，而忽略能力的达成和素养的提升[2]。在制订教学大纲时，离散数学的教学目标突出对计算机科学相关背景知识的掌握，而对能力的达成和素养的提高没有明确约束。仅有知识而不具备知识迁移技能以及将知识应用于实际的能力，学生就无法解决现实生活中的实际问题，也无法将知识转换为生产力；同样，学生具备了知识和能力，但缺乏素养，也无法对社会做出贡献。

　　其次，实践教学的内容、形式和效果无法满足能力培养的需要[3]。计算机专业的综合性、工程性和实践性都很强，注重实际应用。实践环节是学生将知识转化为技能、将理论应用于实际时不可或缺的部分。从内容上看，目前离散数学教学中低层次的习题训练远远不能满足能力培养的需要，缺乏一些含金量较高的提高性、综合性和创新性的实践案例。从形式上看，其教学大多局限在教室，使用数年不更新、内容过时、仅用于教学的案例，无法让学生将所学知识与未来的应用进行有效衔接。

　　第三，创新能力培养不足[4]。自 2010 之后，随着复杂网络和大数据科学研究的兴起，离散数学中一些经典内容（例如图论、关系等）已经获得了更为深入的研究和认识，其应用也得到了较宽的拓展[5]。同时，随着计算机科学理论和技术在其他领域应用上的不断深入，离散数学作为一种技术工具也已经渗透到诸如分子生物学、社会学等研究和应用之中[5]。但是，与应用不断发展相反，大学离散数学的教学方式依然还停留在极为传统和典型的“数学课”模式。

　　第四，考核方式难以考查学生的真实能力与水平[6-7]。目前离散数学教学中尽管采用了“笔试 + 平时成绩”的考核方式，从一定程度上实现了过程化考核，但笔试仍然以零散知识点的掌握情况为考核目标，难以考查学生的综合能力和运用知识的水平，且平时成绩中很大一部分比重是反映学生的考勤情况、作业情况、上课表现和实验结果等，考核的仍是浮于表面的“标”，而不是学生知识技能掌握实际情况的“本”。

　　作为计算机核心课程中最具基础性和理论性的课程，离散数学教学过程中的问题将严重影响我国计算机科学的发展。呆板而无趣的教学方式使得学生无法真正学习到离散数学的核心思想，也无法将所学知识与日益发展的应用有效结合。如何提高离散数学课程的教学质量和教学效果，成为了一个亟待解决的重要课题。

　　2、创新实践案例的概念

　　本研究的核心理念是通过设计具有实际应用背景且贴近学生生活和研究前沿热点的“创新实践”活动，综合讲授、讨论、调查、游戏、报告和讲座等多样性的手段，激发学生对数理课程的兴趣，传授核心内容，培养自学和实际应用的能力。创新实践活动的主要形式是翻转课堂教学（课堂）和创新项目实践（课后），两种形式都围绕基于离散数学核心知识重新构建的“创新实践案例”库展开。这里的“案例”不同于一般课程中的例题，应该具有以下特征：

　　（1）趣味性。兴趣是最好的老师。离散数学作为专业理论课程，容易让学生在学习过程中形成倦怠心理。因此，在构造创新实践案例时，需要充分考虑所选主题是否贴近学生日常生活，是否能吸引学生的关注以及是否可以有效地和学生互动。

　　（2）前沿性。传统离散教材中所提供的大量应用案例，通常具有超过数十年甚至上百年的历史，缺乏与前沿热点的结合。通过构造与前沿研究和应用相结合的创新实践案例，可以有效引导学生将所学知识与日常实践结合，提升教学效果，增强学生实践能力。

　　（3）综合性。传统例题和案例基本采用一对一的形式，即一个知识点对应一个例题，非常不利于构建体系化的知识构架，也不利于培养学生综合运用知识的能力。创新实践案例应该着重考虑实际应用对于理论知识的多元覆盖性，充分引导学生从多角度综合利用习得的知识分析解决问题。

　　（4）多样性。离散课程中通常使用的案例都源自其在计算机体系与计算理论中的应用，容易使学生形成离散数学应用面狭窄单一的印象。“创新实践案例”应更多地考虑来自不同研究和应用领域的题材，从而最大程度上扩展学生的视野。

　　（5）可操作性。理论课程教学中普遍存在的一个问题就是学生对于所学知识缺乏实践的途径，传统的习题和考试已经无法适应思维日益活跃的学生的要求。案例的选取需要将前述 4 个特征与学生能力权衡，力图使每个学生能够亲身参与每个案例的讨论和实践。

　　创新实践案例的构造是本研究的核心。一方面，案例不能脱离和改变离散数学的教学核心内容体系；另一方面，案例又需要充分与当前理论和应用热点结合，因此，可利用最新的高质量科研论文作为案例的主要来源。实践表明，真正高质量的学术论文不但能很好地体现基本知识的运用与创新，同时也能在理论与应用上为学生建立一个清晰的思维路线，是非常好的素材。用于主题案例的高水平论文一般采用综合类刊物的文章，此类刊物的文章更加强调多学科之间的交叉思考和研究结果的普适性，有利于提高学生的学习兴趣和理解程度。

　　3、基于创新实践案例的教学框架

　　基于 OBE 思想，围绕培养计算机学院本科毕业生就业产出核心竞争力的目标进行离散数学的教学改革，以教学目标、教学内容、教学过程组织及课程考核为基础内容进行深入研究与探讨，进行教师课程教学改革和学生学习方法导引改革，确保计算机专业学生在有效的多元化教学环境中完成离散数学理论学习，初步具备创新实践能力，经考核合格后能对未来计算机专业课程学习和实践进行自我指导和规范。

图 1 离散数学创新实践课堂教学基本框架

　　基于以上目标，设计教学框架如图 1 所示，内容包括：①基于经典离散数学知识体系重构一套有效的创新实践案例数据库，显性且有机地帮助学生构建完整有机的离散数学知识体系；②构建并规范离散数学课程核心内容的翻转课堂教学模式[8-9]；③基于创新实践案例数据库，构建对应的小型课后实践项目集合；④为离散数学提供一种全新的教学模式，实现理论知识和实践能力的共同提高，并为其他理论性课程提供一个可供借鉴的模板。

　　4、基于创新实践案例的教学组织示例

　　翻转课堂是基于创新实践案例教学的主要模式。翻转课堂较传统填鸭式方式要复杂得多，如何有效执行翻转课堂是一个难题[9]。首先，主题案例为翻转课堂提供了基础的题材和知识构建方式。其次，目前小班化的教学改革趋势为翻转课堂提供了坚实的实践土壤。最后，教师需要在翻转课堂的讨论中充分发挥指导性作用，利用提问、调查、分组竞赛等手段调动所有学生的积极性，确保翻转课堂的有效执行。其示例见表 1。

表 1 基于创新实践案例的翻转互动课堂案例

　　课后实践项目是培养学生实际应用能力的主要途径[3]，其设计有一定难度。首先，项目必须足够“切题”，它的完成须依赖于离散数学课程的主要知识，以使得课程教学大纲能够得到充分体现；其次，项目必须足够“小型”，能够在有限的教学时间内完成，或者让学生在实验课和课外自学时间内完成，而不至于成为学生的负担；最后，项目必须具有一定综合性，能够培养学生对知识间相互关系的深入认识，同时锻炼综合运用能力。以高质量论文为核心的创新实践案例为课后实践项目提供了很好的基础，通过延续论文的创新点，结合课程基础知识点，可以很好地设计出满足上述需求的创新实践项目。其示例见表 2。

表 2 实践项目设计案例

　　基于翻转课堂和创新实践项目的教学模式[3-9]，大大提高了学生参与讨论、主动思考和项目执行在课程中的比重，因此，需要依据这种教学模式的改变，探索一种新的成绩评价体系。传统的课堂讨论和项目打分体系过度依赖教师的主观判断，这不利于建立良好的师生互动，可通过学生交互评价来解决这个问题。学生完成讨论或项目后，要同时提交给教师和互评学生，随后教师提供参考评分标准，学生完成评阅并提交结果，教师对学生的评价结果进行抽查，对不认真评阅的学生适当扣分。这样做的好处是可以让学生站在更高的层次来审视他人的工作，通过了解他人的编程思路、纠正他人的错误来实现再学习，更快地提升自己。

　　参考文献：
　　[1] 徐秋红, 陈志泊, 蔡娟, 等. 探讨大学计算机基础教学的现状和改变[J]. 计算机教育, 2015(7): 90-93.
　　[2] 周晓聪, 海燕. 面向思维能力培养的离散数学课程教学研究[J]. 计算机教育, 2015(15): 27-30.
　　[3] 郭芸, 刘纯平, 龚声蓉.融入实践教学的离散数学微课模式[J]. 计算机教育, 2015(16): 25-31.
　　[4] 齐歌, 薛占熬, 杜浩翠, 等.加强离散数学实践以培养学生创新能力[J]. 现代计算机: 专业版, 2010(1): 69-97.
　　[5] Newman M E J. The structure and function of complex networks[J]. SIAM Review, 2003(45): 167-256.
　　[6] 海莺. 基于OBE模式的地方工科院校课程改革探析[J].当代教育理论与实践, 2015(4): 37-39.
　　[7] 邱剑锋, 朱二周, 周勇, 等. OBE教育模式下的操作系统课程教学改革[J]. 计算机教育, 2015(12): 28-34.
　　[8] 缪静敏, 汪琼. 高校翻转课堂: 现状、成效与挑战: 基于实践一线教师的调查[J]. 开放教育研究, 2015(5): 74-82.
　　[9] 王莉莉, 陈德运, 唐远新. 计算机程序设计课程翻转课堂的探索与实践[J]. 计算机教育, 2015(16): 53-62.