数学建模思想与线性代数教学结合方法探讨

　　摘要：数学建模思想融入线性代数教学是一种重要的教学改革, 具有激发学生学习兴趣、降低教学难度和实现教学相长的重要意义。而现在数学建模思想在线性代数教学中融入度比较低, 教学内容与案例结合不紧密、课堂时间有限制约教学效果和学生实践能力培养不足等问题, 提出了课程内容设计应与专业背景结合、用信息技术改革教学方法和提升教师自身教学能力提高教学质量等建议。

　　关键词：线性代数; 数学建模; 教学改革;

　　线性代数作为理工科专业的必修课程, 在经济、管理、金融、医学、环境、能源等新的领域应用广泛。与此同时, 课程内容较为抽象, 教学设计落后, 学生难以理解和掌握实际应用的能力。学与用的恰当结合成为线性代数教学中最迫切的需求。而数学建模是沟通数学和实际应用的桥梁, 在科学、技术、工程、经济与社会发展中的重要作用越来越受到普遍重视, 2005年李大潜院士提出“将数学建模思想融入数学类主干课”[1]以来, 数学建模进入线性代数课堂已经成为当前教学改革的趋势之一。因此, 数学建模思想如何在线性代数课程的教学中有效融入是一个亟需解决的问题。

　　一数学建模思想与线性代数教学结合现状

　　将数学建模思想融入线性代数教学实践与研究虽然较多, 但效果并不十分突出。主要问题如下:

　　(一) 教材内容理论性强, 结合实际案例比较困难

　　线性代数教材内容多为理论概念, 缺乏概念和案例的实际背景与现实意义。教材内容更新缓慢, 部分案例相对陈旧, 不利于培养学生结合案例解决实际问题的能力。在案例选取上, 完全从实践来的案例太复杂, 学生无法全部吸收理解;若例子简单, 又不能起到培养学生运用知识解决问题能力的作用。因此, 选取适合数学建模思想融入线性代数中的案例较为困难。

　　(二) 课程内容抽象复杂, 授课时间制约教学效果

　　线性代数教学内容较多, 但是大多数高校都在压缩课时, 课程授课时间相对紧张, 为了让学生多学习知识, 教学内容还是采用理论计算为主和“满堂灌”的教学模式。学生学习的积极性不高, 不能真正意识到线性代数的重要性。

　　(三) 数学建模教学孤立, 学生数学实践能力较弱

　　长期的应试教育导致学生对与抽象的线性代数课程相关的实践能力较弱, 大多是情况下只是为了考试而学习。因此, 学生缺少用数学思维观察实际问题的能力。自从国内1992年举办数学建模以来, 大部分高校都开设了数学建模课程, 一定程度上提高了学生运用理论知识来解决实际问题的能力。但是独立的数学建模教学, 使得学生学习积极性不高, 多数只是为了参加比赛冲奖而临时学习, 学生得实践能力不能得到培养。

　　二在线性代数的课程教学中融入数学建模思想的意义

　　(一) 激发学生学习兴趣, 提高学生的应用线性代数知识解决实际问题的能力

　　学习的基本意义就是能够将学习的内容运用到实际生活中, 可以解决生活中遇到的问题。但是现在的线性代数课程主要以理论教学为主, 忽略了教学的实际意义。而且教学的内容复杂、抽象, 课堂教学枯燥乏味, 严重影响了学生的学习积极性。将数学建模思想融入线性代数中, 可以把抽象的内容转化为实际问题来解决。即激发了学生学习线性代数积极性, 又能调动学生对实际问题的探索热情。

　　(二) 教师结合实际问题, 降低学生学习难度

　　数学建模思想主要是将理论知识转化为实际问题。将数学建模思想融入线性代数中, 使线性代数内容更形象直观, 使教学内容不再只有生硬的讲解。教师可以根据实际问题, 帮助学生理解和掌握线性代数的实际意义, 使得学生能更开更容易掌握所学知识。线性代数本身具有复杂化和抽象化, 不易学生学习和理解, 将数学建模思想引入后, 能过更好的帮助学生深入理解线性代数中的概念和问题, 降低学生学习的难度。从而更好地理解数学知识, 提高思维能力, 把握数学的作用。

　　通过学习数学建模, 学生可以熟练的使用多种数学软件, 不再只局限于用纸和笔来学习数学, 丰富学生的学习。数学软件的使用有利于进一步加深对数学理论知识的理解和运用, 而且数学软件的使用与实际生活更加密切, 有助于学生观察实际生活与数学的联系, 培养学生的观察能力。

　　(三) 提升丰富教师业务素养, 实现教学相长

　　美国教学与未来委员会 (NCTAF) 在报告[2]指出, 教师的学识水平最终影响了学生的成绩, 教师良好的知识认知能力一定程度上决定了学生的学习能力。学生的学习行为表现和教师知识水平和认知行为表现显著相关, 例如一份数据显示教师资质的高低解释了超过90%的学生数学成绩差异。因此, 将数学建模思想融入线性代数教学中, 需要老师有丰富的理论知识和讲授技能以及运用线性代数解决实际问题的能力。这就反向要求教师在相关行业和专业实践中, 不断学习新知识和提高实际应用能力, 不断提升和丰富自身素质。

　　三数学建模思想融入线性代数教学的路径

　　(一) 注重实效结合专业, 确保数学建模思想融入教学内容

　　1. 在线性代数的概念引入时渗透数学建模思想[3]

　　线性代数中一些复杂抽象的概念和定义都来源于实际问题, 只讲解概念比较枯燥, 学生也不易理解。可以在讲授概念的时候配一些实例来吸引学生的注意力, 比如, 在讲矩阵的概念时, 我们可以引入某工厂生产的产品同时销售到某些地方的数量情况, 也可以引入线性方程组的求解过程, 发现它们有共性, 就是都是一个数表, 从而抽象出矩阵的概念, 再比如在引入矩阵乘法我们可以利用投入产出的分析过程抽象出其运算规则, 根据运算的规则给出矩阵乘法的一般模型, 也就是矩阵乘法的定义。这样就可以将实际问题转化为数学问题, 这种建模思想的渗透, 可以培养学生将实际问题转化为数学问题, 提高学生学习线性代数的兴趣。

　　2. 在线性代数的例题中融入数学建模思想

　　在学习了线性代数的概念后一般要做题巩固, 这时我们就可以在例题中融入数学建模思想。可以选择一些与例题相关的现实的有趣的问题, 引导学生进行分析, 通过合理的假设, 建立简单的数学模型并解答。这样做既能让学生知道学习线性代数的意义和重要性, 又培养了学生建模的能力, 也就是将实际问题转化成数学问题的能力。比如, 讲矩阵乘法的应用时, 我们可以加入信息检索的例子, 根据已知信息抽象出矩阵模型, 再利用矩阵乘法得规则建立模型解决实际问题。

　　3. 在线性代数的课后作业中融入数学建模的思想

　　大多线性代数教材的编写都非常重视理论知识, 而课下实际训练还远远不够, 数学建模正好能够有效地用所学知识来解决实际问题。课后作业能够有效的巩固课堂的教学内容, 可以在学习完一章的内容后, 班级组织数学建模比赛, 2到3人一组通过所学知识合作完成该作业, 老师可以针对不同的作业进行点评和指导。这样不仅能让学生加强和巩固所学知识以及培养他们的团队精神, 而且还可以提高学生自学能力和分析问题解决问题的能力。

　　例如我们根据学生专业不同解决不同的实际问题, 像农林专业可以举昆虫的繁殖模型引入斐波那契数列知识等。学生可以通过分析实际问题建立对线性代数课程更深层次的理解, 让数学建模思想有效的融入线性代数的教学中。

　　4. 建立专业知识和线性代数有机统一的教学模式

　　深入研究分析不同专业学生需要何种相应的数学知识, 对不同专业的学生, 设计不同的数学建模案例, 以解决相应专业性问题的诉求为导向来引入概念、推导定理, 并将此类关键问题作为每节课的核心和线索, 引导学生在探索专业性问题解决方案过程中逐步建构线性代数知识体系, 加深学生对课程内容本质的理解, 在潜移默化间培养他们的问题意识。

　　以软件工程类和电子信息相关专业为例, 通过挖掘计算机中的线性代数知识以及线性代数在信息科技中的应用等内容, 针对不同的章节设计与此相关的教学内容, 如利用图像变换问题设计矩阵运算教学, 利用手机锁屏人脸识别问题设计向量组的线性组合与矩阵特征值、特征向量教学, 利用人工智能机器学习问题设计二次型和正定矩阵的课程教学等[4]。

　　(二) 充分利用现代教育信息技术, 促进数学建模思想优化教学方法

　　1. 发挥多媒体教学的最佳效用。

　　在数学建模思想融入线性代数的教学中, 需要利用多媒体来呈现实际问题, 使教学内容更加生动形象, 有利于学生对问题的分析和求解[5]。例如在学习矩阵乘法时, 可以利用多媒体通过结合实际问题来解释他们的几何意义。是学生可以更好地理解其意义。多媒体教学不仅可以增加教学内容, 扩大教学空间, 而且可以吸引学生的注意力和积极性, 使得教学效果更加明显。但是, 传统教学方法是从古至今一直沿用的教学方法, 它在表现老师教学的艺术感染力和魅力方面是多媒体教学不能代替的, 所以, 我们要不断探究多媒体教学与传统教学的有机结合, 充分发挥他们各自在课堂教学的优势。

　　2. 增加数学实验, 探索数学软件与线性代数常规课程内容紧密配合的教学设计

　　传统线性代数的学习只是笔和纸的学习, 我们可以利用线性代数计算的特征, 增设数学软件和数学实验等相关课程, 数学建模的求解过程也可以借助数学软件 (比如matlab) 来完成。在线性代数课程教学中融入数学建模思想, 可以增加学生科学计算的能力, 将学生从这些计算中“解放”出来, 提高学习数学的积极性。又可通过对软件运行本质算法的展示和剖析, 帮助学生理解信息技术应用过程中看似“不可知”的艰深原理。具体落实在教学实践中, 可以考虑利用数学软件进行教学设计的章节有行列式的计算、矩阵的运算、求逆矩阵、求矩阵的特征值和特征向量、解线性方程组等。

　　3. 充分利用网络数学模型案例资源, 开展线上线下交互式教学

　　随着以翻转课堂为代表的在线教育兴起, 课堂内外, 线上线下实践发生了翻转。翻转课堂等方式将学习的决定权从老师转向了学生。老师不再占用课上时间来教授课本知识, 这些需要学生课前自主学习, 课上老师能够有更多的时间与学生交流, 针对不同的学生解决不同的问题。翻转课堂能够更好地培养学生自主学习的能力, 使学生的学习更加灵活、主动, 参与度强。学生能够根据自身特点规划学习内容, 制定学习目标, 更加有效地提高学习效果。

　　因此, 在线性代数课程设计中, 可以设计适当的章节, 引导学生先在线上观看相应的数学建模知识点微课视频, 做好随堂笔记, 完成在线作业, 记录问题疑惑, 解决了课时少而信息量受限, 很多学生对数学建模思想一知半解而不利于课堂内容顺利讲解的问题;再在线下课堂梳理知识脉络, 讲解重点、难点, 详解线上例题、作业, 并进行适当拓展和延伸[6]。用更多的时间培养学生的数学建模思维, 理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

　　4. 提升教师自身业务素养, 提高在线性代数课程教学中数学建模思想融入的质量。

　　教师在学生的学习中起着主导的作用, 学生是否能顺利的接纳和吸收课堂上的内容, 教师的素质有着很重要的作用。将数学建模思想融入到线性代数中的教学改革, 需要老师无论是从教育理念, 还是教学方法上都要有新的突破。这就需要老师不断学习, 对自身的知识体系和内容及时更新补充。跟上时代步伐, 适应信息化社会的需要, 将现代教学手段与传统课堂教学相结合, 达到课堂效果的最大化。老师要积极调动学生学习热情, 积极参与到学生学习中, 积极主动的学习数学知识。老师也要结合自己所学方向, 将专业知识与实际问题相结合, 不断提高自己的数学能力和水平。

　　参考文献
　　[1]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学, 2006, (01) :9-11.
　　[2]Monk, D.H.Subject area preparation of secondary mathematics and science teachers and student achievement.Economics of Education Review, 1994, 13 (2) , 125-145.
　　[3]许小芳.数学建模思想融入线性代数教学的探索[J].湖北理工学院学报, 2013, 6 (05) :67-70.
　　[4]谢加良, 朱荣坤, 宾红华.新工科理念下线性代数课程教学设计探索[J].长春师范大学学报, 2018, 37 (04) :131-133+138.
　　[5]杨闻起.论《线性代数》的应用型教学方法[J].宝鸡文理学院学报 (自然科学版) , 2015, 35 (01) :78-80.
　　[6]蓝宗强.基于数学建模思想的高等数学课程教学研究[J].教育现代化, 2017 (26) :143-144+147.