克里普克“时间与思想之谜”的解决方案

　　1引言

　　本文讨论的是克里普克的“时间与思想之谜”（下文简称“克里普克悖论”）。虽然从上世纪 60 年代起克里普克就开始思考这一悖论，但其正式发表却大大推迟了.2011 年，克里普克论文集《哲学困扰》出版，该论文集的第十三章为“时间与思想之谜”,克里普克悖论即得名于此。由于该文集出版时间尚短，目前还未产生广泛的影响，但克里普克悖论本身所触及的问题却值得我们重视.克里普克悖论同卡普兰反对可能世界语义学的另一个悖论有着深刻的内在联系，因此该悖论在某种意义上也可以看成是克里普克针对卡普兰的批评而对可能世界语义学所做的辩护.正如克里普克所言：“无论人们如何看待卡普兰的悖论，我认为他都应该在当前悖论的启示下来考虑。”（Kripke 2011,378）2 克里普克悖论。

　　克里普克对“时间与思想之谜”的表述非常简短：假设在某个时刻我思考时间点（简称为时间）的集合S.比如，我可以思考电视没被人知道的所有时间的集合，星级旅行成为日常事务的所有时间的集合，等等.注意，我不需要知道问题中的集合是不是空集---我只需要通过用作定义的性质就能思考它。

　　但是，这有一个问题：假设我在某个时间 t0思考集合 S0,而S0包含所有如下的时间t,在 t 时我思考 St,而且t不属于 St.用传统的符号表示为：S0={t| St存在& t埸St}.现在，我在时间 t0思考S0.t0属于还是不属于S0呢？读者可以自己补充该悖论的结果。（Kripke2011,373）我们可以将悖论推导过程补充如下：如果t0属于S0,那么t0满足S0的定义条件，故 t0不属于S0;而如果t0不属于S0,那么t0同样满足 S0的定义条件，故 t0属于S0.t0属于S0当且仅当 t0不属于S0,悖论！

　　3 相关谜题

　　3.1 与罗素悖论的对比

　　初看起来，克里普克悖论非常类似于着名的罗素悖论：利用到某种造集规则造出一个集合，然后问某个元素是不是某集合的元素。而悖论之处则在于：该元素属于该集合当且仅当该元素不属于该集合。罗素悖论所利用的造集规则就是素朴集合论中的概括原则：任给一个性质 φ，存在集合 S,使得 S={x|φ（x）}.

　　换言之，概括原则说的是，任意的性质都可以定义一个集合，其元素恰好是具有该性质的那些元素.而罗素悖论正是利用了这样的概括原则和一个特别的性质“不属于自身”---x埸x,构造了集合S={x|x埸x}.而最后的问题是，S是否属于S?其悖谬之处在于，S∈S当且仅当S埸S.

　　换言之，由所有不属于自身的元素构成的集合属于自身当且仅当不属于自身.克里普克悖论显然也具有类似的特征，利用某个性质来定义集合，然后问某元素是不是该集合的元素.先看其利用到的性质：存在St& t埸St.

　　克里普克并没有直接问集合S0是否具有这样的性质.而是在S0的定义条件中包含St存在，当 t=t0时，相应地，St=S0.问题在于，S0是否存在呢？这里可以看出克里普克悖论和罗素悖论的类似之处，两者都依赖于集合存在的假定。而对罗素悖论的解决方案，无论是分支类型论或公理集合论，都直接或间接地拒斥集合S的存在性.假如克里普克悖论中的集合S0也不存在，那么t0之所以不属于S0是因为集合S0不存在，或者因为S0不存在，也就无所谓t0是属于还是不属于S0,那么，克里普克悖论就可以得到一种自然的消解。

　　但是，克里普克悖论与罗素悖论中的集合存在性并不一样.罗素集合 S 的存在性由素朴集合论中的概括原则保证，所以公理集合论的方案可以通过拒斥概括原则来排除罗素悖论；而克里普克集合S0的存在性由什么保证呢？克里普克本人及其评论者杜米特鲁（Dumitru 2012）都认为其只依赖于分离公理，而不依赖于概括原则（两人的表述大同小异，这里只引克里普克）：

　　与罗素悖论不同的是，谓词“我思考（时间的）集合 S”是有意义的，这里没有任何东西与传统的策梅洛集合论或更强的如 ZF 的理论不相容。我们处理的只是所有时间的集合的一个子集，而这通过分离公理就可以定义。（Kripke 2011,373）要利用分离公理来保证 S0的存在性，还有两个细节性的问题需要应对：第一，所选取的性质本身是不是分离公理的一个实例？正如克里普克在一个脚注（Kripke 2011,373）中所说：在策梅洛的公理集合论中，分离公理中的性质只限那些在集合论语言中一阶可定义的性质.而克里普克认为策梅洛的意图是希望用分离公理来说任何“限定的性质”都可以用来定义一个给定集合的子集。于是，只要将集合论的语言扩充到足以表达悖论中使用到的性质（某人在某个时间思考某个时间集合），就可以在扩充后的语言中利用分离公理.第二，所有的时间本身是否构成一个集合？克里普克提到“所有时间的集合可以等同于实数”（Kripke 2011,373）、“所有时间点的集合的基数恰好是连续统的基数。所以，没有人会质疑所有时间点的集合这个概念的有意义性”（Kripke 2011,375）。克里普克的断言也许过于武断，但他无疑正确地指出了想要拒斥S0的存在性所不得不面临的巨大挑战：或者需要说明为何所有的时间不构成一个集合，或者需要说明并非任何时间集合都能成为思考的对象（即，我们并不能自由地思考某些时间集合）.

　　3.2 与卡普兰悖论的对比

　　另一个与克里普克悖论密切相关的谜题是卡普兰悖论.后者由卡普兰在“可能世界语义学的一个困难”中正式提出（Kaplan 1995），简称卡普兰悖论.卡普兰用其悖论来质疑可能世界概念和命题概念（被理解为可能世界的集合），进而质疑可能世界语义学，当然更完整的说法是质疑利用可能世界语义学来处理内涵的非逻辑概念的恰当性（Lindstr觟m 2009）。

　　这里引用克里普克的转述：如果所有世界的集合的基数为 κ，那么所有命题的集合，即所有世界集合的集合的基数为 2κ.

　　进一步假设对每个命题 p 和固定的时间点 t0,存在一个世界我在其中恰好在 t0时思考命题 p.这给出了从集合的幂集到集合本身的一一映射，与着名的康托尔定理相矛盾。（注意，如果有比可能世界集更细致的命题概念，那只会使问题更糟。）（Kripke 2011,373~374）此悖论涉及两个一般性的假定。第一个假定是所有的可能世界构成一个集合，因而才有基数问题及其幂集的基数问题.

　　虽然时间和模态、时态逻辑和模态逻辑之间具有类似性，但克里普克悖论和卡普兰悖论一个重要区别在于：“所有的可能世界是否构成集合”与“所有时间是否构成集合”的可疑程度是不同的.

　　比如，克里普克自己就质疑是否可以一般性地谈论所有可能世界的集合：对于任意的基数κ,存在可能世界其中恰好有κ个对象，而这直接就可以推论出所有的可能世界不构成集合，所以就更谈不上所有可能世界的集合的幂集.正如上面谈到的，克里普克对“所有的时间是否构成了一个集合”的回答是肯定的.

　　克里普克还提到刘易斯对其悖论的一个评论，认为也可以不用时间，而是用人来构造其悖论.如果用人来构造刘易斯版的克里普克悖论，那么相应的问题就变成“所有人构成一个集合吗”.似乎答案更应该是肯定的，而且也很可能只是一个有限的集合.

　　此时我们可以得出结论：卡普兰悖论、克里普克悖论和刘易斯版本的悖论都不是基数问题，而且也不与可能世界、时间或人等特别的对象因素有关.卡普兰悖论的第二个假定是“对每个命题 p 和固定的时间点 t0,存在一个世界我在其中恰好在 t0时思考命题 p”.卡普兰用如下的公理（A）来为其辩护：（A）坌p◇坌q（Qq圮p=q）其中“Qq”可以解释为“某个人在某个时间思考命题 q”.卡普兰的假定中也有时间因素，而克里普克悖论中却没有可能世界的概念；但是，我们完全可以按照克里普克的方式重新表述卡普兰悖论中的假定，从而只保留可能世界，而不需要用到时间概念.比如，将假定修改为：“对每个命题 p,存在一个可能世界w 我在其中思考且只思考命题 p”,这时公理（A）中的“Qq”可以解释为“某人思考命题 q”.

　　在卡普兰看来，逻辑学应该对形而上学问题保持中立，即便有哲学的理由来拒斥（A），模态逻辑本身也不应该排除（A）。而事实却是，在通常的可能世界语义学中，（A）不是有效的.所以，卡普兰对可能世界语义学的质疑可以总结为，可能世界语义学使得某些直观上合理的原则不有效。

　　但克里普克并没有假定任何类似于（A）的公理。他使用的唯一假定是他可以自由地在给定的时间 t0思考集合 S0.这个假定不仅非常普通，而且他事实上就满足了这个假定；在陈述其悖论时，他事实上就在某个特别时刻思考这个集合（KripKe 2011,375）。

　　4 可能的解悖方案克里普克明确提到的可能的解悖方案有二：一是某种形式的分支类型论；二是内涵的有根性真理论.先看分支类型论.罗素明确地用分支类型论来处理说谎者悖论。对说谎者语句而言，当某个克里特人断言“克里特人断言的每个命题都是假的”,或“对所有的 p,如果克里特人断言 p,那么 p 是假的”,克里特人的断言本身必须是更高的类型，从而不在量词“所有的 p”的辖域内。就克里普克悖论而言，因为是通过定义来思考集合的，所以相应的性质“思考”也应该有类型的不同，从而也可以区分出时间集合的类型.一旦意识到这种限制，那么如其悖论中所定义的 S0,就比定义中使用到的St和“思考”具有更高的类型（Kripke 2011,376）。

　　解决克里普克悖论的分支类型论方案也有不足.首先，我们不能表述关于时间的一般原则。比如，我们并不能表述类似“所有的时间构成一个集合”之类的命题。而克里普克显然希望这样的原则成立。其次，如果分支类型论的原则是关于命题的，甚至其也是自我反驳的，因为如果不能说“所有的命题”,那也就不能说“所有的命题都有类型”.对于性质也是一样，如果不能说所有的性质，那么也不能说所有的性质都有类型。再次，克里普克提到的一个对比也可以看成是其本人对分支类型论不满的原因。如果将内涵逻辑中的悖论看成是语义悖论的类似物，那么分支类型论就是有穷的塔斯基分层理论的类似物。正是基于对塔斯基分层理论的不满，克里普克才提出他自己的有根性真理论（Kripke 1975）.总之，克里普克本人也不赞同用分支类型论来消解自己的悖论。因为这意味着我们不能不加限制地去谈论某些整体，但谈论时间的整体似乎不应该有这种限制，至多只是某些谈论会没有真假.

　　而克里普克正是利用有根性的概念来说明一般的真值间隙.对于内涵的有根性真理论，他并没有给出任何细节。我们可以参考克里普克（Kripke 1975）和杜米特鲁（Dumitru 2012,125-126）的一些表述加以补充.这里的关键概念是有根性.要判断一个含有真值谓词的句子的真假，就需要先判断去掉真值谓词所得的语句的真假；而后者如果还有真值谓词，就还需要继续这个过程，最终推至一个不含真值谓词的句子.如果我们能判定其真假，从而就可以回过头来判断最初的句子的真假，那么最初的句子就是有根的；否则就是无根的.

　　比如，句子---“‘雪是白的'是真的”是假的---是有根的.

　　而对于说话者语句“本语句是假的”则是无根的.

　　悖论性的句子都是无根的，而无根的句子却不都是悖论性的，比如“本语句是真的”也是无根的，但不会导致任何悖论.

　　就克里普克悖论而言，时间与思想之谜中的悖论性句子就是无根的，既不在真谓词的外延之中，也不在其反外延之中.这里的要点在于，对真谓词的解释是部分的，有些句子被刻画为真谓词可以适用的，有些被刻画为真谓词不能适用的，而剩下的则未被刻画。克里普克的建议是无根的句子并没有明确地表达命题，所以其既不是真的也不是假的。

　　我们并非不能谈论克里普克悖论中的时间整体，而是在这样做时，并非每次谈论都有真值，只有有根的谈论才有真值。很容易去验证，克里普克悖论中的 S0是无根的。但是，我担心的是，将克里普克的有根性真理论内涵化，也会遇到其原本遇到的问题：有时即便某些句子是无根的，我们也能判断矛盾的陈述中一真一假，而非都无真值.

　　帕里克也提出了一个类似的问题，直接与 S0相关：假设克里普克在时间 t0考虑集合 T0,而 T0包含所有这样的t,他在 t 时思考 Tt,而Tt的确包含t.

　　问：t0是T0的元素吗？这不是无解，而是有两个一致的解（Parikh 2013,125）.

　　但问题却在于，如果原来的 S0被诊断为是无根的，那么这里的 T0也应该被诊断为是无根的.

　　实际上，克里普克悖论还有第三种可能的解悖方案：否定克里普克关于“我可以自由地在某个时间t0思考集合 S0”的假定。对此方案的一个极其简略的论证是：既然克里普克认为这是他所做的唯一的假定，那么在这个假定之下会导致悖论的事实，就足以证明这个假定不成立；换言之，克里普克悖论本身即是对该假定的归谬。从而，剩下的问题就在于解释，为何克里普克会在他实际上没有这种自由时，误以为自己有这种自由。在我看来，这正是帕里克给出克里普克悖论的语义学解悖方案所基于的背景性考虑。

　　5 帕里克的语义学解悖方案帕里克关注的首要问题是，克里普克悖论中的“思考某个对象”是什么意思？他提到两种可能的理解方式：通过语言来思考和通过图像来思考。比如，要思考某个人，也许不需要通过这个人的名字，而是通过回忆这个人的图像.但是，对于多数的情形而言，尤其是对于克里普克悖论中的集合而言，似乎很难找到相应的图像。

　　那么，我们如何能够通过语言来思考一个对象呢？帕里克运用普特南的语言劳动的分工理论来加以说明：普特南并不能区分一棵树是榆树还是山毛榉，但这并不影响他说“榆树”时指的是榆树，说“山毛榉”时指的是山毛榉；用集合论的术语，他不知道眼前的一棵树是属于所有榆树的集合，还是属于所有山毛榉树的集合。但这里通常不会产生悖论。因为是语言的社会分工决定了“榆树”到底指称什么，而且同样的社会分工使得普特南可以只通过使用语词“榆树”便能思考所有榆树的集合。

　　假定克里普克在时间 t0也是通过语词 S0来思考相应的集合。那么，他思考的是什么集合呢？也许是M（S0）.要说明t0是否属于 M（S0），还需要说明意义函数M.假如克里普克在时间 t0没有思考“S0”而是在思考某个命题 p,那么 t0就会属于M（S0）.

　　但克里普克并没有思考p.相反，他思考的是“S0”,而通过思考“S0”,他将t0拿出M（S0）；而通过将 t0拿出，他又将其放回去了.在帕里克看来，克里普克悖论的根源不在于他思考“S0”这样的事实，而是在于他通过思考“S0”从而干扰了意义函数M.克里普克在t0时思考“S0”,t0是否属于 M（S0）呢？帕里克认为，这只能是他自己决定的，其他人帮不上忙。换言之，对于 S0,克里普克需要自己确定意义函数M.

　　帕里克将克里普克悖论与一个实践问题相对照，并认为克里普克悖论并不比这个实践问题更困难.假设史密斯由于某种特殊的宗教原因，只能在人数为偶数的房间里听讲座.他在进A房间之前，发现里面刚好有20个人，于是他走了进去.问题出现了，现在A房间有21个人.

　　于是他换到隔壁的B房间，但他看见那边也有20 个人，问题仍然存在。他进去之前 A、B 房间恰好是符合条件的，进去之后就不符合了。作为实践问题，其不是无解，而是有很多的解。比如，他可以不去听讲座，或者干脆换个实际点的宗教信仰，或者请 A 房间的某个人换到 B 房间去。帕里克将此归结为更简单的问题：我们可以进入一个空的电梯吗？当然可以，只要我们决定“空的”的意思是指我们进去之前是空的。

　　对克里普克悖论而言，之所以能够通过语言自由地思考任何时间的集合，是因为相应时间集合的意义函数是在思考之前确定的.帕里克将意义函数一般化为如下的三元函数 M（p,t,d）：其中 p 是一个名词性的表达式，t 是一个时间点，d 是先于时间 t 的关于世界的和包括克里普克在内的所有人先于时间 t的思想的数据.如果 d 和 d’在 t 之前且不包括 t 的所有时间上都一样，那么 M（p,t,d）=M（p,t,d‘）。主体通过语言来思考对象被定义如下：给定时间 t,某个主体 a 在思考某个表达式 p,a 的共同体在 t 时关于 p 的意义函数是 M（t,p），那么主体 a 就被认为是在思考对象 M（t,p）。（Parikh 2013,125）就克里普克悖论而言，假设他在时间 t0时决定思考“S0”.而这不是 t 时的数据的一部分（因为 t 时的数据都必须在 t0之前）.所以 M（S0,t0,d）已经是确定的，其要么包含 t0,要么不包含。克里普克在 t0时所想的并不是数据的一部分，所以不会影响 M,而且他也可以自由地使用一个业已存在的意义函数 M 来想他所想.而克里普克在思考“S0”也可以作为 M 的参数，但却不能干扰 M 本身。

　　6 意向性行为 vs.二元关系帕里克的方案揭示了某些关键的因素，克里普克悖论产生的原因正是在于他对S0的思考.帕里克的解悖方案是直接规定这样的思考不能影响意义函数，因为意义函数总是由先前的数据所决定的.而在我看来，这样的思考之所以会影响意义函数，正是在于思考本身是一种意向性行为.而任意自反的意向性行为都可以造出一个类似的克里普克悖论.

　　考虑这样的例子:存在某些人的集合，作者将他的书献给该集合中的人，而作者自己却不属于该集合，那么，我将我的书献给所有这些作者.问：我的书献不献给自己？很容易发现，那么，这就会导致一个类似的悖论，权且称为“献词悖论”.如果我自己不将书献给我自己，那么我就符合相应的献给条件，从而又该将书献给自己；而一旦我将书献给自己，则又不符合相应的献给条件，从而又不该将书献给自己。看起来我有将书献给任意某个人群的自由，而献词悖论表明，实则不然。

　　如果只从静态的角度看，似乎在任何时候，我们都可以问，一个对象和一个集合是否有什么关系？如果静态地理解“思考”,那么，可以问，在我正在思考一个时间集合时，这个时间点和所思考的集合是什么关系，是否属于该集合？然而，从动态的角度看，正如我们不能问，我正在进入一个空房间的时候，我是在房间里还是不在房间里？对于房间而言，当然我可以正在进入，因而既不在里面也不在外面。对于集合而言，似乎动态的“思考”达到的效果是类似的，静态的集合我们当然不能说某个元素既不是在该集合中，又不是不在该集合中。如果将“思考”理解为动态的过程，那么，“思考”就类似于一种函数运算，正是因为我的“思考”,被“思考”的集合改变了.

　　要问我正在“思考”的时候，该集合是什么样子，就类似于问：我正在改变一个集合的时候，该集合是什么样子.可以说，克里普克悖论和献词悖论的出现，恰好是对动态过程做静态理解的结果.只要能将相应的行为理解为二元关系，那么就可以给出克里普克悖论的一般形式：令集合S0={t|存在St:RtSt& t埸St}.已知 Rt0S0,则 t0∈S0当且仅当 t0埸S0.要解决献词悖论，关键在于认识到“献给”本身是一种意向性行为，因此，所有献给的对象必须是在行为之前就确定的.

　　然而，并非任意行为都足以造成悖论.意向性是必要条件.对比献词悖论与帕里克所说的进入空电梯的例子，进入空电梯本身不会造成任何悖论，因为大家都将“空的”确认为是进入之前是空的，人们很容易看出行为之前和之后的区别；而对于意向性行为，却很容易忽略这样的区别.“思考”、“献给”等意向性行为通常被看成是一种二元关系，如果a思考S,那么a和S之间就有这样一种抽象的关系：思考（a,S）。但是，如果我们将思考也看成是一种行为，那么，就不会有这种简单的二元分析。通常来说，行为都更像是一个动态的函数，我做某个行为可以表示为：F:D→D'.我的行为 F 将 D 变成 D'.只有在D=D’的特殊情形下，行为才可以还原于二元关系。一般行为的后果总是显见的，因而人们不太容易将其误认为是一种二元关系.而意向性行为的后果却不那么显见，所以就很容易被看成是二元关系。在意向性行为不会对对象有所改变的时候，其本身当然可以简化为二元关系.但克里普克悖论和献词悖论等的存在，恰恰表明并非任何时候都可以做这种简化.所以，解悖的关键在于，行为不能一般化地归约为二元关系。

　　换言之,任何人都可以自由地思考任意的时间集合，只不过其思考方式未必像初看起来那样简单。

　　参考文献：
　　[1]陈波.悖论研究[M].北京：北京大学出版社，2014.
　　[2]索伦森.悖论简史[M].贾红雨，译.北京：北京大学出版社，2007.
　　[3]张建军.逻辑悖论研究引论[M].南京：南京大学出版社，2002.