我国地震巨灾风险债券的定价步骤

　　4 我国地震巨灾风险债券的定价步骤

　　本文对巨灾风险债券进行定价研究采用以下三个步骤，在下文各个小节将会根据步骤详细地进行实证研究:（1）市场假设。为了选择适用的理论方法，需要提前假定该地震灾害巨灾债券（2）建立地震灾害风险损失模块。为了确保计算结果的准确性，应当正确评估地震灾害所造成的损失，这主要依靠调查（3）取证以及统计计算。具体包括历史损失数据、损失函数建立以及地震次数的拟合等方面。包括触发条件的设置、定价模型的选择等等，充分考虑资本市场利率、信用评级等因素，由收益率进而最终确定。

　　4.1 巨灾债券定价模型及方法的选取

　　4.1.1 巨灾债券定价模型比较分析

　　综合考虑多方面的因素，在金融理论下的模型和风险理论下的模型综合比较得出结论。笔者认为，金融理论下的巨灾债券定价简单且通常将巨灾债券的定价研究限制在一个理想范围内。这种理想的状况对于研究问题是非常有利的。这种情形下构造的模型不仅利于模型的理论分析，还可以根据所需要的条件进行模型的假设与改造，可见，相比风险分析下对于技术要求超高的状况，金融理论下的模型更加适合本文对问题的研究.因此本文选取金融理论下的模型，也即 CAPM 模型对巨灾债券的收益率进行确定.

　　4.1.2 蒙特卡洛方法
　　
　　（1）蒙特卡洛方法的概念及优势

　　蒙特卡洛（Monte Carlo）方法又称随机抽样或统计试验方法，是与某个概率模型联系在一起的。它有两个最显著的特征：一是利用计算机求解，二是以概率方法作为其指导核心。两个特点结合起来可以表述为该方法就是计算机与数理统计结合的结合品。

　　这从它的发展史就可以看出来，计算机的飞速发展才导致此方法得到推广。该方法解题思想如下：先要根据实际研究的问题建立一个概率模型。这是把实际问题转化成数学问题的第一步，上述模型也可以建成一个随机过程模型。当然建立的过程需要有对应关系，即构造的新模型的参数等于问题的解。第二步是随机数的产生过程。

　　这个通过对模型的观察或抽样试验来得出。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。最后一步就是建立各种估计量。也即根据所求参数的统计特征最后给出所求解的近似值，而解的精确度可用近似方法得出。具体使用概率论的方法来估计，即可用估计值的标准误差来表示。

　　利用人工方法进行大量的实验是该方法必须的。因为实验次数越多，所得到的结果才越精确。否则，得不到满意精确度的近似解。因此，蒙特卡洛方法直到利用计算机来模拟数目巨大随机试验过程，才得以广泛利用。电子计算机的迅速发展，简单轻松的程序问题代替了费时费力的实验过程，整个过程简单易行。由于该方法有很强的适应性，因为不论多么复杂的问题，都可以使用这种方法解决。尤其是近年来，蒙特卡洛方法凭借它独特的优势开始在金融领域中逐渐发挥它的作用。

　　综上，可以看出蒙特卡罗方法是独具风格的一种计算方法，其优点可以归纳如下：

　　蒙特卡罗方法本身程序比较简单。由于蒙特卡罗方法对问题进行采样，所以它不是严格的、精确的解法。因此，可以用相当小的样本来求得维数较大问题的解。收敛速度与问题维数无关。蒙特卡罗方法有着确定的收敛速度。因此，对于高维问题而言，这个方法显现出不可比拟的优势。这是因为该方法是在概率意义收敛，弱化了维度的关系。蒙特卡罗方法的适用性非常强。这是因为该方法没有很多严格的条件，对于很多问题而言都比较适用。

　　（2）运用蒙特卡洛方法的定价步骤由此可见，蒙特卡洛方法是和电子计算机是密切相关的，特别是在高维衍生证券定价时，不但计算速度快，计算精度也高，因此该方法具有一定的实用性.

　　运用蒙特卡洛方法求解的操作步骤如下：根据需要解决的问题，自行构造一个概率模型。该模型应该包含为问题的重要指标，例如均值、标准差、偏度、峰度等。这一步是构造概率模型，将实际问题转化为数学问题，用数学的方式来处理。当然上述指标要与实际问题一一对应的，可以充分体现所要解决的问题的特点。

　　第二步就是根据各随机变量的相应分布，产生 N 组随机数。这是利用计算机产生一系列伪随机数的过程，这一步充分体现了计算机在这一方法中的重要作用。

　　计算得到拟合值。

　　依据拟合值求出近似解。

　　4.2 我国地震巨灾损失经验累计分布函数的建立

　　4.2.1 样本数据选取

　　通过查阅地震年鉴，五十年之前，我国地震统计尚不完善。例如国家地震局只是统计了地震发生的时间、地点以及震级，对于损失额度并没有详细记录。因此，之前年度的地震数据搜集起来比较困难，不利于做研究。因此，为了进行进一步的分析和实证，我们样本数据选取 1966 年以来的地震在 5 级以上的损失数据。

　　由于损失变量数据时间跨越大，而且包含通货膨胀以及物价指数等经济因素，直接运用这些数据会在很大程度上造成不准确的影响。因此，为了结果更加准， 需要对原始数据作一些改变，这主要是消除时间造成的通货膨胀等因素，处理掉这些因素的影响。

　　首先要做的就是对这些数据作初步处理，才能确保结果较为准确且有实际应用价值[59].于是，选取 1990 年为基准年份，将其他年份的损失额以 1990 年的 CPI 为基准进行调整。

　　4.2.2 建立我国地震损失的经验累计分布函数
　　
　　根据上表中的原始数据，可以看出我国地震损失金额差别比较大。导致其分布很不均匀。因此，需要将其进行分组处理。处理的依据是利用数学上统计的方法，根据原始数据，进行整理，通过组距式--不等距分组，得到损失区间[60].

　　4.3 我国地震灾害经济损失分布的拟合

　　4.3.1 损失分布拟合函数的选取

　　拟合函数选取的依据是表 4-1 中的统计的样本数据。

　　上一节中已经根据分布并不均匀的原始数据做了不等距的分组[61],这不仅能很明晰的看出损失的最大值，最小值，还能得到每个损失区间的损失数据，使结果更加直观。根据不同损伤区间对应的频率，由频率分布计算出频率密度，并绘制出频率密度线形图，见图 4-1.

　　

　　根据表 4-1,计算得出样本的描述性统计变量，包括峰度，偏度，均值和最值等，如表 4-3 所示。

　　

　　由上表可以看出损失金额在 100-3000 亿元的样本频率密度只有 0.000044615.

　　之所以这么低是因为在这个区间里只有两次记录，也就是唐山和汶川大地震。这两项统计数据由于损失程度较平均损失高很多，毕竟是发生概率极低的世间，如果采用，会对结果的准确性产生干扰。为了避免这个重要的负面影响，需要将这两个特殊数据当做奇异点排除。初步处理之后，选取其余 63 次地震数据作为样本点，并重新得出统计表量表，会得到较好的修正样本数据[62],如表 4-4 所示。

　　

　　上表中两项指标可以看出，去除奇异点之后，标准差小了很多，均值也更符合数据的平均水平，可以得知，优化之后数据更有可研究性。从上表统计数据可以看出由我国地震灾害损失金额的样本的一些特征量。经过重新优化过的样本具有单峰的特点。其它数据特征具体如下所列：偏度为 5.742,可以看到是正偏的特点；峰度为 38.258,分散度较高，在图表上显示不陡峭也即较平坦。

　　根据如上所列的描述特征，不防假设其损失分布服从三种分布。首先是对数正态分布，这是常用的分布。由于对于分布状况曲线比较类似，伽玛分布也较为适合。第三种非常容易根据原始数据分布假设的分布是威布尔分布。可以分别用这三种分布对优化的数据进行拟合，综合比较结果，最终选取拟合最好的，作为我国地震损失分布的拟合函数。

　　作者在上文中提到的对数正态分布、威布尔分布以及伽玛分布进行了简单的介绍，这三种分布各自具有不同的特点。在实际运用中，由于保险业的损失数据的特征与这三者比较契合，因此它们被广泛的运用到了一般非寿险、寿险以及健康险等诸多险种的保险标的损失分布拟合当中。举例来说，对数正态分布在医疗费用损失分布的拟合中最为常见；威布尔分布在汽车保险的损失分布拟合方面较为常用；伽马分布则在非寿险中的应用比较广泛。

　　因此在拟合之前，还需要将上表中的统计数据做一下排序处理，这样就可以很直观地表示成函数的形式。通过处理，建立的经验分布函数如下表所示：

　　据表 4-4 经验分布函数绘制如上的损失分布散点图。从上图中可以看出，20 亿元以下地震灾害损失，其累计频率达到了已经 98.32%,散点图分布更直观地看出分布不均匀。较低的损失额的陡峭程度过大，导致拟合的结果不准确。为了解决损失额较小的时期上升过快的问题，根据经验，为了减小误差，需要对数据进行对数变换处理。

　　具体的处理方法是将损失额作对数变换，即 y=lnx.经过这种变换，就可以讲陡峭的分布图形变得平坦，从而建立由 y 与 fny 的对应函数，修匀（x,F（x）），得到修匀的经验分布函数曲线：

　　图 4-3 明显显示出对数据处理的效果比较理想。这体现在数据经过对数变换处理之后，不在那么陡峭，正如预想的那样，图形变得平坦，符合本文进行合理实证的数据要求。因此，本文就选取对数处理后的数据作为实证研究的根据。

　　4.3.2 三种概率分布拟合效果比较

　　上文提到说，假设三种分布都符合，虽然上述几个常用分布在一般的保险业务中广泛应用，然而对于巨灾保险而言情况则完全不同。首先，对于损失金额而言，巨灾所造成的损失金额往往是十分巨大的，其计量单位少则数以百万计，严重时甚至可以达到几十亿到几百亿元元，与一般的保险损失差别较大。其次，从发生概率上来说，巨灾的发生概率一般十分微小，相比于一般的保险承保事故风险而言，巨灾事故绝对是小概率事件。

　　此外，国外学者在早期的研究中就有提到，保险人一般都是具有风险厌恶特性的，当其他条件保持不变的情况下，发生灾害事故或赔偿损失的不确定性越高，保险人就越会呈现出较强的模糊规避特性，从而提高对保费的预期水平。而对于在一般保险中常用的几种分布而言，其在对巨灾事故损失数据的拟合估计中，往往会出现尾部概率高估或低估的情况，加之之前提到的保险公司的模糊规避特性，可能会导致所得结果出现偏差。

　　因此，下文分别针对每个函数情况进行探讨。对数正态分布（Lognormal Distribution）指的是其变量服从对数函数。如果 X 是服从正态分布的随机变量，则 exp（X） 服从对数正态分布，则 X 具有对数正态分布特征。其概率密度函数为：

　　

　　如果一个变量可以看做是很多独立的很小很小的因子的乘积，那么这个变量就满足对数正态分布。而且它的适用条件是变量不能为负值，同时也适用于大数值、有小概率的变量。这一点从图形上就可以看出，图线以 x轴为界，没有在 x轴以下的数值。

　　图 4-4 就是根据样本数据做出的对数正态分布的拟合效果。

　　伽玛分布（Gamma Distribution）是连续概率函数的一种。在此分布中存在三个参数，即形状参数a、尺度参数 P 和位置参数 L.它的密度函数的确定必须通过高等数学的公式推导得出。同时他还可用于不完全随机的事件。就这些特点来说，该分布适合用在保险领域，当然，该分布已经在保险中应用也相当广泛。当两随机变量服从 Gamma 分布，互相独立，且单位时间内频率相同时，Gamma 分布具有加成性。这种特性适用于事件过程不完全随机的状况。

　　伽玛分布根据参数的取值不同呈现出不同的分布特点。取a=l 和 L=0 时，该分布被称为厄兰分布（Erlang Distribution）。它的试验定义是假设随机变量 X 为等到第a件事发生所需的等候时间。那么厄兰分布的概率密度函数表示如下：

　　

　　该分布也根据参数取值特殊性，而呈现出不同的状态。例如取 k=l,厄兰分布就是指数分布。取 k=2,分布向右上方偏斜。随着 k 值的不断增大，偏斜度随之降低，k上升到一定程度，厄兰分布的形态类似于正态分布的形态。

　　

　　示。

　　a和b的取值不能为负。威布尔分布（Weibull Distribution）在被广泛应用于一些重要的工程预估上，也被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。原因在于它能取若干不同形状的概率分布。从上面三种分布的拟合情况，可以很直观的看出，对数正态分布的拟合效果最优。为准确起见，我们再对对数正态分布进行 K-S 检验。检验结果表明，显著性水平为 0.05时，K-S 检验值不同。其中对数正态分布的为 0.695.对对数正态分布同样进行一下卡方检验，通过检测结果。

　　针对一般的非寿险业务而言，其损失分布大致上具有右偏的表现形式，因此在对非寿险损失的研究当中，往往以这一特点为基础构建损失模型，然后根据实际发生的损失情况来对未来损失进行预测，以便于对未来的保险进行安排。通过上述多种检验检测结果看出，与我国地震灾害损失分布拟合效果最好的是对数正态函数。

　　因此本文选取 Lognormal分布作为我国地震灾害损失的分布函数.为了进一步验证对数正态分布是最好的拟合效果，作者又作出了 P-P 图，其中Y = lnx.其中，y=lnx.可以看出各个点分布在 45 度直线的两侧，且残差分布也比较合理，充分验证了符合对数正态分布。

　　4.4 我国地震巨灾发生次数的拟合通常使用泊松分布（Poisstion Distribution）来拟合次数分布。这是因为泊松分布属于离散型分布。而发生次数也是离散的，最适合这种次数拟合。此外，泊松分布是概率论中常用的一种离散型概率分布对此也完全适用，这是由泊松分布的特点决定的。

　　简单描述下泊松分布。该分布主要有一个重要的参数，即l .对我国每年地震发生的次数进行假设检验。利用计量学的知识，首先确定我国每年地震灾害发生的次数假设检验的0H.根据本文要研究的次数拟合，表述如下：

　　H0:假设次数服从 l 的泊松分布，
 

　　其中，参数l 指单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。计算结果由表 4-5 可以看出，P=0.169>0.025,因此不能拒绝原假设。

　　以下是两者的对比表。

　　

　　由上表可知，泊松分布的拟合效果比较好。检验结果认为样本来自的总体与指定的分布无显著差异。换句话讲就是样本服从假定的分布。因此，每年地震次数服从以下分布：